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1、高考2012届高考数学快速提升成绩题型训练抽象函数2009届高考数学快速提升成绩题型训练抽象函数 1. 已知函数y = f (x)(x?R，x?0)对任意的非零实数，恒有xx12f()=f()+f(), xxxx1212试判断f(x)的奇偶性。 2 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f (1-m)0. fx()x,f()0,22(1)求; f(1)*(2)求和; ()nN,ffffn(1)(2)(3).()，(3)判断函数的单调性,并证明. fx()14.函数的定义域为R,并满足以下条件:?对任意,有0;?对任意xR,fx()fx()1y,有;?. fxyfx(
2、)(),xyR,f()1,3(1)求的值; f(0)(2)求证: 在R上是单调减函数; fx()2(3)若且,求证:. abc,0bac,fafcfb()()2()，,的定义域为R,对任意实数都有,且当15.已知函数fx()mn,fmnfmfn()()()，,时,. x,00()1,fx(1)证明:; fx(0)1,0,且时,f(x)1(2)证明: 在R上单调递减; fx()22,(3)设A=,B=(,)(2)1,xyfaxyaR,，,若=,(,)()()(1)xyfxfyf,AB试确定的取值范围. a16.已知函数是定义在R上的增函数,设F. fx()()()()xfxfax,(1)用函数单
3、调性的定义证明:是R上的增函数; Fx()a(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形. yFx(),0)217.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. x,1fx()(1)求的值; f(0)(2)证明: 函数是周期函数; fx()(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数xR,fxxx()(01),fx()至少一个周期的图象. fx()18(函数对于x0有意义，且满足条件减ffxyfxfyfx(2)1,()()(),(),，是fx()函数。 ; (1)证明:f(1)0,(2)若成立，求x的取值范围。 fxfx()(3)2，,19(设函数在上满足，且在fx()(,)
4、,，,fxfx(2)(2),，fxfx(7)(7),，闭区间,0，7,上，只有( ff(1)(3)0,(1)试判断函数的奇偶性; yfx,()(2)试求方程=0在闭区间,-2005，2005,上的根的个数，并证明你的结fx()论( 20. 已知函数f(x)对任意实数x，y，均有f(x，y),f(x)，f(y)，且当x,0时，f(x),0，f(,1),2，求f(x)在区间,2，1上的值域。 ()对任意，满足条件()，(),2 +(，)，21. 已知函数fxfxfy fxy且当,0时，(),2，(3),5，求不等式的解。 xfxf22. 设函数f(x)的定义域是(,?，?)，满足条件:存在，使得，
5、对任何x和y，成立。求: (1)f(0); (2)对任意值x，判断f(x)值的正负。 23. 是否存在函数f(x)，使下列三个条件:?f(x),0，x ?N;?;?f(2),4。同时成立,若存在，求出f(x)的解析式，如不存在，说明理由。 24. 设函数y,f(x)的反函数是y,g(x)。如果f(ab),f(a)，f(b)，那么g(a，b),g(a)?g(b)是否正确，试说明理由。 25. 己知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三条件: ?当是定义域中的数时，有; ?(),1(,0，是定义域中的一个数); faaa?当0,2时，(),0。 xafx答案: 1. 解:令= -1，=x，
6、得f (-x)= f (-1)+ f (x) ?为了求f (-1)的值，令xx12=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得xxxx1212f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ?f(-1)=0代入?式得 f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。 2. 分析:根据函数的定义域，-m，m?-2,2，但是1- m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢,如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f(-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。 解:?f (x)是偶函数， f (1-m)f(m) 可得，?
7、f(x)在0，2f(1,m),f(m)22,1,m,m,mmm1,2，,1,上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1?m0, ?令xR,fx()xy,0,22得, fff(0)(0)(0)1,11(2)任取任取,则令,故 xxRxx,且pp,xpxp,121212112233?函数的定义域为R,并满足以下条件:?对任意,有0;?对任xR,fx()fx()1y意,有;? fxyfx()(),xyR,f()1,31111pp12? ,0fxfxfpfpff,()()()()()()12123333? fxfx()(),12?函数是R上的单调减函数. fx()(3) 由(1)(2)知，? fbf()(
8、0)1,fb()1,acac,bb? ()()(),()()fafbfbfcbfb,bb,ac，ac2bbb?，而 acacbb，,222fafcfbfbfb()()()()2()，,，,acb，2bb? 2()2()2()fbfbfb,? fafcfb()()2()，,15. (1)证明:令,则 mn,0,1fff(01)(0)(1)，,?当时,故,?,?当时, x,0x,00()1,fxf(1)0,f(0)1,0()1,fxf(0)1?当时,则 x,0,x0fxxfxfxfx()()()()1,，,fxfx()(),(2)证明: 任取xxRxx,且,则 1212fxfxfxxxfxfxxf
9、xfx()()()()()()(),，,2121112111,()1()fxxfx211?,?0,故0 1212?是R上的增函数; Fx()a(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的Mxy(,)Mxy(,)yFx(),0)00002对称点为N(),则 mn,xmyn，a00,故 maxny,000222?把代入F得, max,()()()xfxfax,0=- yfaxfaaxfaxfx()()()(),，,00000a?函数=的图象关于点(成中心对称图形. yFx(),0)217.(1)解:?为R上的奇函数, ?对任意都有,令fx()xR,fxfx()(),则 x,0,ff(0)(0),
10、?=0 f(0)(2)证明: ?为R上的奇函数, ?对任意都有, fx()xR,fxfx()(),?的图象关于直线对称, ?对任意都有, x,1fx()xR,fxfx(1)(1)，,? 用代得, x1，xfxfxfxfx(2)1(1)()()，,，,?,即 fxfxfxfx2(2)(2)()()，,，,fxfx(4)()，,?是周期函数,4是其周期. fx()xx(11),x,1,3时， (3)当fx(),，,，,xx2(13),当时， 4141kxk,，kZ,fxxk()4,当时， 4143kxk，,，kZ,fxxk()24,，,xkkxk,，4(4141),? fxzR(),，,，,，xk
11、kxk24(4143),图象如下: y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 18.(1)证明:令，则，故 xy,1fff(11)(1)(1)，,，f(1)0,(2)?，令，则， ? f(2)1,xy,2fff(22)(2)(2)2，,，,f(4)2,?fxfx()(3)2，,22 fxxffxxfxxx(3)(4)(3)(4)3414,?成立的x的取值范围是。 ,13xfxfx()(3)2，,19(解:(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为, x,2和x,7y,f(x)从而知函数不是奇函数, y,f(x)f(2,x),f(2，x)f(x),f(4
12、,x),由 ,f(4,x),f(14,x),f(7,x),f(7，x)f(x),f(14,x),从而知函数的周期为 T,10,f(x),f(x，10)y,f(x)又,故函数是非奇非偶函数; f(3),f(0),0,而f(7),0y,f(x)(2)由f(2,x),f(2，x)f(x),f(4,x),f(4,x),f(14,x),f(7,x),f(7，x)f(x),f(14,x),f(x),f(x，10)又 f(3),f(0),0,f(11),f(13),f(,7),f(,9),0故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有y,f(x)402个解,在-2005.0
13、上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个y,f(x)解. 解:设，?当，?， 20. ?， ?，即，?f(x)为增函数。 在条件中，令,，则，再令,0，则(0),2 yxxyff(0)，? f(0),0，故f(,x),f(x)，f(x)为奇函数， ? f(1),f(,1),2，又f(,2),2 f(,1),4， ? f(x)的值域为,4，2,。 21. 解:设，?当，?，则， 即，?f(x)为单调增函数。 ?， 又?f(3),5，?f(1),3。?，?， 即，解得不等式的解为,1 a 3。 22. 解:(1)令y,0代入，则，? 。若f(x),0，则对任意，有，这与题设矛盾，
14、?f(x)?0，?f(0),1。 (2)令y,x?0，则，又由(1)知f(x)?0，?f(2x),0，即f(x),0，故对任意x，f(x),0恒成立。 23. 分析:由题设可猜想存在，又由f(2),4可得a,2(故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下: (1)x,1时，?，又?x ?N时，f(x),0，?，结论正确。 (2)假设时有，则x,k，1时，?x,k，1时，结论正确。 11.利用三角函数测高为一切自然数时。 综上所述，x二特殊角的三角函数值24. 解:设(),，(),，由于()是()的反函数，?()famfbngxfxgm,，(),，从而，?()?agnbgmg(n),g(m，n)，以a
15、、b分别代替上式中的m、n即得g(a，b),g(a)?g(b)。 7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。25. 解:(1)?()的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有 fx3、观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的，学生将经历从立体图形到平面图形的过程,认识长方形、正方形、三角形、圆等平面图形，初步体会面在体上，进一步发展空间观念。，?在定义域中。? 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.， ?f(x)是奇函数。 8、加强作业指导、抓质量。(2)设0,x,x
16、,2a，则0,x,x,2a，?在(0，2a)上f(x),0， 1221?f(x)，f(x)，f(x,x)均小于零，进而知中的1221当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。，于是f(x), f(x)，?在(0，2a)上f(x)是增函数。 12又，?f(a),1，?，?f(2a),0，设2a,x,4a，则0,x,2a,2a， 2、加强基础知识的教学，使学生切实掌握好这些基础知识。特别是加强计算教学。计算是本册教材的重点，一方面引导学生探索并理解基本的计算方法，另一方面也通过相应的练习，帮助学生形成必要的计算技能，同时注意教材之间的衔接，对内容进行有机的整合，提高解决实际问题的能力。4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即，于是f(x),0，即在(2a，4a)上f(x),0。设2a,x,x,4a，则0,x,x,2a，从而知f(x)，f(x)均大122112于零。f(x,x),0，?，?，即 212、100以内的进位加法和退位减法。f(x),f(x)，即f(x)在(2a，4a)上也是增函数。综上所述，f(x)在12(0，4a)上是增函数。