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1、实用标准二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次 根式的化简与运算时，一般遵循以下做法:先将式中的二次根式适当化简二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算.二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项.运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧， 会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例 进行分类解析.1
2、.公式法文档【解】原式+实用标准（而一龙）,从而使计算较为简便.【解后评注】以上解法运用了 “完全平方公式”和“平方差公式”2 .观察特征法2存病-30【例2】计算：2:尤-加【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以启,即得分子，于是可以简解如下:【解】原式【例3】 把下列各式的分母有理化.(1)匠司匠;（2）【方法导引】式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子,这就启示我们可以用如下解法:文档【解】原式-飞倒（胞-8 ）
3、 &而%一需m + Ji 1 /-+ja福 + lc实用标准【方法导引】式可以直接有理化分母，再化简.但是，不难发现式分子中工-1的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1” 了！因此，可以解答如下:【解】原式3 .运用配方法【例4】化简反=匠/ =/-1【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“简而历表【解】=6-/35 + 246-辱%十闰I十6十病文档实用标准= 12 + 2735 = 714，出二庭十匹西=取.【解后评注】对于这类共知根式 0一五与厘*他的有关问题，一般用平方法都可以进行 化简5 .恒等变形公式法【例6】化简（中的-折+（志-中扃【方法导引】若直接展
4、开，计算较繁，如利用公式（封+k-因=2b*）,则使运算简化.原式|+：=2（同+他-国=2x（A8-4后）= 22-8x56 .常值换元法例7】化简屈砺演还丽丽后【解】令19稣=廓，则:盾 1 一 -二”一二痴? +3-1 口 十矢 + 2）+ 1文档实用标准=JQm + 2G 十 5a）+1=+ 十 1）3= fla+3a4-l=1998?+3xl99S41=39979997 .裂项法11 1al44 4 八+ -【例8】化简1+应武+点心*M + TW【解】原式各项分母有理化得,. i-i.1.1,1：=Vi0Q-l = 10l=9【例9】化简2 4 2%屈4佟传+振曲回腔厅）西+回田呵
5、【方法导引】 这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：_匹+历砌（#+运）+（4+候）【解】原式 【二二一一1111=+m，瓜2+/7万* a ”上文档实用标准迎二衣5-2 屈一匹”姮* 3- 33-3=；-币币-2 + V13 -+ 4 - J= g8.构造对偶式法【例10】化简【解】构造对偶式，于是没宽理+ 2 J/-4 1 理+2-J拶-4?B十上-2点十49=4咫+目岫=2匕43原式b /埒口 (口 十，“=J - 2a ah3.22=咫422=9 .由里向外，逐层化简199 即Ji 9S7 Ji 996719951
6、993 + 1 + 1 +1 + 1邮 71995x1993*1 = )(1994+ 1)094 1) + 1而.：一-文档实用标准/997乂的95 + 1 = 7(1596+ 1X19%-1) + 1 =/996二=1996，原式- ,一.一 + j.【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处 理.10 .由右到左，逐项化简【例11】化简42+内 + +J2 +也+壬+ ,2 -2 +也+书【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简.展+，后,十+ E，加，-f，及十,2十【解】原式Y I)=也十出 72 + &+君山_42+后3-同
7、=1【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去, 逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的.文档实用标准返回二次根式大小比较的常用方法二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数(即二次根式)的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用.1.根式变形法的大小【例1】比较【解】将两个二次根式作变形得3而二序？一丽5/=于1 =标.不45, .,#是即* 0时，夜 &，则而 赤；若口 12 .主也2万文档实用标准【解后评注】本法的依据是：当鼻
8、0 , A0时，如果,则白占，如果/,则或 七 .3 .分母有理化法通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小.2【例3】比较 格-1与& T 的大小2. 11 V2 + 1后pnCM.历又 :一 一 】 , ,4 .分子有理化法在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小.文档【例4】比较用与相一尼的大小尼-、徊-【解】（厉-而）麻+ 间_1实用标准又1一；J- /15 + TH VM + x/13,而4一旧而F后5 .等式的基本性质法【例5】比较9一灰与痴一,B的大小【解法i-八的斗质卜炉增斯-6+卜咫+石)=,后又：； 一一， 一
9、 L能.同=12 + 27 = 12+2 后.J 一 .：一币-&a一加【解后评注】本解法利用了下面两个性质：都加上同一个数后，两数的大小关系不变.非负底数和它们的二次募的大小关系一致.【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得( - 回用 + 砌# +同=浜*招文档实用标准（或-回（取+而X6+闾=小十而又，.后+庭）.布-忝）巫-后【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变.6 .利用媒介值传递法【例6】比较户一与历-3的大小【解】 2近3 .小灰又；一.；，行”屈7【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较.7 .作差比较法
10、在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：小厘一小口口 =厘/? 小s Z? c 口 =小 ；近+ 1 变【例7】比较五T与的大小立+1历.风巧-1）_&缶+ 11I文档实用标准8 .求商比较法与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当。二 口, &1口时，则：M a 巴占；占【例8】比较 5-向与2+出的大小.t冉曰*137百13-屈【解】1. - -1I 口，二一 5-万ja福 + lc实用标准【方法导引】式可以直接有理化分母，再化简.但是，不难发现式分子中工-1的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1” 了！因此，可以解答如下:【解】原式3 .运用配方法
11、【例4】化简反=匠/ =/-1【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“简而历表【解】=6-/35 + 246-辱%十闰I十6十病文档实用标准= 12 + 2735 = 714，出二庭十匹西=取.【解后评注】对于这类共知根式 0一五与厘*他的有关问题，一般用平方法都可以进行 化简5 .恒等变形公式法【例6】化简（中的-折+（志-中扃【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式（封+k-因=2b*）,则使运算简化.原式|+：=2（同+他-国=2x（A8-4后）= 22-8x56 .常值换元法例7】化简屈砺演还丽丽后【解】令19稣=廓，则:盾 1 一 -二”一二痴? +3-1
12、 口 十矢 + 2）+ 1文档实用标准=JQm + 2G 十 5a）+1=+ 十 1）3= fla+3a4-l=1998?+3xl99S41=39979997 .裂项法11 1al44 4 八+ -【例8】化简1+应武+点心*M + TW【解】原式各项分母有理化得,. i-i.1.1,1：=Vi0Q-l = 10l=9【例9】化简2 4 2%屈4佟传+振曲回腔厅）西+回田呵【方法导引】 这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：_匹+历砌（#+运）+（4+候）【解】原式 【二二一一1111=+m，瓜2+/7万* a ”上文档实
13、用标准迎二衣5-2 屈一匹”姮* 3- 33-3=；-币币-2 + V13 -+ 4 - J= g8.构造对偶式法【例10】化简【解】构造对偶式，于是没宽理+ 2 J/-4 1 理+2-J拶-4?B十上-2点十49=4咫+目岫=2匕43原式b /埒口 (口 十，“=J - 2a ah3.22=咫422=9 .由里向外，逐层化简199 即Ji 9S7 Ji 996719951993 + 1 + 1 +1 + 1邮 71995x1993*1 = )(1994+ 1)094 1) + 1而.：一-文档实用标准/997乂的95 + 1 = 7(1596+ 1X19%-1) + 1 =/996二=199
14、6，原式- ,一.一 + j.【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处 理.10 .由右到左，逐项化简【例11】化简42+内 + +J2 +也+壬+ ,2 -2 +也+书【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简.展+，后,十+ E，加，-f，及十,2十【解】原式Y I)=也十出 72 + &+君山_42+后3-同=1【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去, 逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的.文档实用标准返回二次根式大小比较的常用方法二次根式的化简具
15、有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数(即二次根式)的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用.1.根式变形法的大小【例1】比较【解】将两个二次根式作变形得3而二序？一丽5/=于1 =标.不45, .,#是即* 0时，夜 &，则而 赤；若口 12 .主也2万文档实用标准【解后评注】本法的依据是：当鼻0 , A0时，如果,则白占，如果/,则或 七 .3 .分母有理化法通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小.2【例3】比较 格-1与& T 的大小2. 11 V2 + 1后pnCM.历又 :一 一 】 , ,4
16、 .分子有理化法在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小.文档【例4】比较用与相一尼的大小尼-、徊-【解】（厉-而）麻+ 间_1实用标准又1一；J- /15 + TH VM + x/13,而4一旧而F后5 .等式的基本性质法【例5】比较9一灰与痴一,B的大小【解法i-八的斗质卜炉增斯-6+卜咫+石)=,后又：； 一一， 一 L能.同=12 + 27 = 12+2 后.J 一 .：一币-&a一加【解后评注】本解法利用了下面两个性质：都加上同一个数后，两数的大小关系不变.非负底数和它们的二次募的大小关系一致.【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理
17、化因式的积，得( - 回用 + 砌# +同=浜*招文档实用标准（或-回（取+而X6+闾=小十而又，.后+庭）.布-忝）巫-后【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变.6 .利用媒介值传递法【例6】比较户一与历-3的大小【解】 2近3 .小灰又；一.；，行”屈7【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较.7 .作差比较法在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：小厘一小口口 =厘/? 小s Z? c 口 =小 ；近+ 1 变【例7】比较五T与的大小立+1历.风巧-1）_&缶+ 11I文档实用标准8 .求商比较法与求差比较法相对应的还有一种比
18、较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当口， &2口时，则：M a y Zj巴 1 O以占 ；上【例8】比较 5-向与2+出的大小.t冉曰*137百13-屈【解】1. - -1I J .二一T ,5-也/5 -1 /2 -14 .分子有理化法在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小.文档【例4】比较屈一后与万一匹的大小屈-四-【解】加一丹）肝+亚）_14 + a/13实用标准.*后十世 用十屈,而昭-旧屈-飞厄5 .等式的基本性质法【例5】比较行一或与否-出的大小【解法1=-#+的+有卜、心力斯-乔不（石小后卜n-斯又，：一一一（痛升时
19、=12 + 2而元=12+2辰7 7-二6即【解后评注】本解法利用了下面两个性质：都加上同一个数后，两数的大小关系不变. 非负底数和它们的二次募的大小关系一致.【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得（近-而+而康+同=娓*心（浜-,/T+（而+而）=干4新J. 一+卡痴4指.币-布）也文档实用标准【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变.6 .利用媒介值传递法【例6】比较G 一与，唇一 3的大小【解】 2/3，行 #”.一J.币”/质-3【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较.7 .作差比较法在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：8 小口 口 0厘）小；厘一右1口5 1 O A方；占j岳5-屈2 -包【例8】比较5-6与2 +后的大小.-13-73-13-7 - -I 一 J I .5-乖24后【解后评注】得上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解.有时 还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析， 以求用最佳的方法解出正确的结果.文档