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1、浙江省宁波市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷（含解析）2016-2017学年浙江省宁波市高一（下）期中数学试卷二选择题（共1.为A.2.化简cos15( )ip近PB-C8小题，每小题5分，共40分）cos45 cos75 sin45 的值-D).- -已知 ABC中，a=五，b=衣，B=60 ,那么角A等于（）A.45B.60C.120或60D.135或453.在等差数列an中，若a2+a8=10,则a1+a3+a5+a7+a9的值是()A10B.15C.20D254 .设正项等比数列an的前n项和为之若a3+a5=20)a2a6=64)贝US4=()A.63或126B.252C
2、.120D.635 .已知民、0都是锐角)COSa=1?COS(A.a + B )B.A13,65 C -6.数列a n满足则oos B值为(D.2anJan+1 = 2%T，）若a1=则a2oi6的值是（A.：B.：CD.7 .若c=acosB）b=asinC）贝UABCM（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形8 .在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，b=c,且满足普与吟.若点O是4ABC外一点，/AOB=）（0V0V兀），OA=2OB=2平面四边形OACBT积的最大值是（A.B.4+W5C. 3 D.4+5V3-2二.填空题（本大题共7小题，其中多
3、空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9. （6分）记等差数列an的前n项和为S,若力而，S尸2C,贝Ud=,S6=.10. （4分）在等比数列an中，ai=3,a，=24,则a3+a4+a5=.11. .（6分）若cos民+3sine=-限）则tana=）sin2a=.12. （4分）已知钝角ABC的三边a=k,b=k+2,c=k+4）求k的取值范围.13. （6分）在四边形ABCDK已知ADLDQABBC,AB=1,AD=2,/BAD=120,则BD=,AC=.14. (4分)已知锐角0满足sin(-t+v)=t,贝Icos(0理1)的值为.15. (6分)数列an满足an+i+(-1)
4、nan=2n1,其前n项和为Sn,则(1) a+a3+a5+a99=；(2) &n=.三.解答题(本大题共5小题，共74分)16(14 分) 已知函数z7T、tTT._sin(x+-)/3cos(.(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)方程f(x)=m在在卷内有解，求实数m的取值范围.17. (15分)三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(AC)+cosB=1)a=2c.(I)求C角的大小(n)若a=色求ABC的面积.18. (15分)已知数列an中，d=3,且an=2an1+2n-1(nR2且nGN*)a-(I)证明：数列$为等差数列；(n)求数列an的前n项和S.1
5、9. (15分)已知在锐角ABC中，a,b,c为角A)B)C所对的边)且(b-2c)cosA=a-2acos21.(1)求角A的值；(2)若a=正，则求b+c的取值范围.20. (15分)各项均为正数的数列an中，前n项和-W(1)求数列an的通项公式；(2)若定+段+，Twk恒成立，求k的取值范围；(3)是否存在正整数m,k,使得am,am+5,ak成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由.2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1 .化简cos15cos45-cos75sin45的值
6、C.D.【考点】GP两角和与差的余弦函数.【分析】先利用诱导公式把cos750转化为sin15。，进而利用两角和的余弦函数求得答案.【解答】解：cos15cos45-cos75sin45=cos15cos45-sin15sin45=cos（15+45）=cos60=1故选A.【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数和诱导公式的运用，利用诱导公式把cos75转化为sin150关键.属于基础题.2 .已知ABC中，a吟b=”B=60,那么角A等于（）A.45B.60C.120或60D.135或45【考点】HR正弦定理.【分析】根据正弦定理，即可求出A的大小.【解答】解：.ABC中，a*b=E.a
7、vb,且AvB,又B=60o,即Av60,由正弦定理Wr+得sinA=asinB V2 义则A=45或135（舍去），故选：A.【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键，注意要判断角A的取值范围.3 .在等差数列an中，若a2+a8=10,则ai+a3+a5+a7+a9的值是（）A10B.15C.20D.25【考点】85:等差数列的前n项和；84:等差数列的通项公式.【分析】由等差数列的性质可得：a2+a8=10=a+a9=a3+a7=2a5)即可得出.【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a8=10=a+a9=a3+a7=2a5).=a5=5)/.ai+a3+a5+
8、a7+a9=5&=25.故选：D.【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.4 .设正项等比数列an的前n项和为且于若a3+a5=20)a2a6=64)则&=()A.63或126B.252C.120D.63【考点】89:等比数列的前n项和.【分析】设正项等比数列an公比为q,且0Vq=L1,根据a3+a5=20,a2a6=64=a3a5,解得a3=16,a5=4.可得q2=|,0q1,解得q,ab利用求和公式即可得出.【解答】解：设正项等比数列an公比为q,且04+1q=h，a3+a5=20)a2a6=64=a3a5)解得a3=16)a5=4.-q2=
9、Z,0q1,解得q=j,；=16)解得ai=64.61-3)4则S4=-=120.故选：C.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.5 .已知小5(a + B )=一芯)B都是锐角,则00s B值为(3cos a =专)cos)AD且八里c”A.力B.标C.前D.前【考点】GP两角和与差白余弦函数；GQ两角和与差的正弦函数.【分析】根据同角三角函数基本关系的应用分别求得sina和sin(a+0)的值，进而根据余弦的两角和公式求得答案.【解答】解：7a,3都是锐角，cosa=,cos(a+B)=-占，sina=Ji-8q=I?sin(a+B)
10、I-12=vl-coS(a+P)=15,cos3=cos(a+3-a)=COS(a+3)COSa+sin(a+3)Sina=芯*5+5*-13=65故选：C.【点评】本题主要考查了余弦函数的两角和公式的应用.注重了对学生基础知识的考查.2a,0色6.数列an满足an+尸I)，若ai=E则2an-b1-n1a2oi6的值是()A.：B.C.D.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【分析】由数列an满足an+1=2、,a1=a口彳导an+3=an.【解答】解：.数列an满足an+1 =2anJ2%T，5a1=-)a4=2a3= ,)53 .a2=2a1一1=7,a3=2sb1=y) an+3=a
11、n贝Ua2016=a671X3+3=a3=Y.故选：C.【点评】本题考查了分段数列的性质、分类讨论方法、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7 .若c=acosB,b=asinC,贝iJ/XABC是（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形【考点】HP正弦定理.【分析】由余弦定理化简c=acosB得：a2=b2+c2,判断出A=90,再由正弦定理化简b=asinC,判断出B、C的关系.【解答】解：因为：在ABC中，c=acosB,929所以：由余弦定理得，c=axT3,化简得，a2=b2+c2,则：ABCi：直角三角形，且A=90,所以：sinA=1,又因
12、为：b=asinC,由正弦定理得，sinB=sinAsinC,即sinC=sinB,又因为：Cv90,Bv90,则C=B所以：4AB渴等腰直角三角形，故选：B.【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查了边角互化，即根据式子的特点把式子化为边或角，再判断出三角形的形状，属于基础题.8 .在ABC中，a,b,c分别为内角A）B,C所对的边，b=c,且满足：=:.若点O是ABC外一点，/AOB=（0V0V兀），OA=2OB=2平面四边形OACB面积的最大值是AB:C.3D.【考点】GL三角函数中的恒等变换应用；HR余弦定理.【分析】依题意，可求得ABC为等边三角形，利用三角形的面
13、积公式与余弦定理可求得TTSOAcB=2sin ( 0 -(0 V 0 TT ) ,从而可求得平面四边形OACBT积的最大值.【解答】解： ABC中,sinBIyosBsinAcosA)sinBcosA+cosBsinA=sinA)即sin(A+B)=sin(兀一C)=sinC=sinA)，A=G又b=c).AB8等边三角形;二SoaceFsaoe+SABCf|OA|?|OB|sine+x|AB|2x坐=X2X1Xsin0+哼(|OA|2+|OB|2-2|OA|?|OB|cos0)=sin0+(4+1-2X2X1Xcos9)=sin9-&cos0+平=2sin(0-t)+手).ovev兀,_(
14、_2L/22L3U33)当6-7=,即0f时，sinT)取得最大值1,，平面四边形OACB面积的最大值为乂还一字2+.:-I故选：A.【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得SoAc=2sin（6-费）+是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题.二.填空题（本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9.记等差数列an的前n项和为S,若叫s4=2c,贝Ud=3,&=48,【考点】85:等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.【解答】解：设等差数列an的公差为d,%S4=2C/.+号d=20）解得d=3.
15、S=：=48.故答案为：3,48.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10.在等比数列an中，ai=3,a4=24,则a3+a4+a5=84.【考点】84:等差数列的通项公式.【分析】根据ai=3,a4=24求出数列的公比，从而可求出a3+a+a5的值.【解答】解：.等比数列的通项公式为an=aqi,a4=aiq3=3q3=24解得q=2a3+a4+a5=3q2+3q3+3q4=84故答案为：84【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，利用等比数列性质的能力，同时考查了运算求解的能力，属于基础题.11.若cosa+3sina=一万,贝Utan
16、a3) sin25=【考点】GI:三角函数的化简求值.【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得sinB）进而可得cos民）可得tanB）利用倍角公式即可求得sin2民的值.【解答】解：:3sina+cosa=6二cose=一后-3sin民)代入sin25+cos25=1可得sin2a+(6二 cos a = - 6一期上 tan a =cosa故答案为：3;3sina)2=1解得sina=3sina=iq)3=3)sin2a=2sin5cos民=3【点评】本题考查三角函数计算，涉及同角三角函数基本关系，二倍角的正弦函数公式的应用，属基础题.12.已知钝角ABC的三边a=k,b=k+2,c=k+
17、4,求k的取值范围(2.6).【考点】HR余弦定理.【分析】根据余弦定理以及C为钝角，建立关于k的不等式，解之可得-2k=(k+2)2+k2即(k+2)2+k2v(k+4)2,解之得-2k6,c,.k+(k+2)k+4,解之得k2综上所述，得k的取值范围是(2,6)故答案为：(2,6)【点评】本题给出钝角三角形的三边满足的条件，求参数k的取值范围，着重考查了利用余弦定理解三角形和不等式的解法等知识，属于基础题.13.在四边形ABC并，已知ADLDCABBGAB=1,AD=2/BAD=120,贝UBD=5,AC=2VF-【考点】HT:三角形中的几何计算.【分析】由余弦定理求出BD,利用AC为直径
18、，根据正弦定理，即可求出.【解答】解：ABD中，由余弦定理可得BD=二二一=/AD1DGABBC,.A,B,C,D四点共圆，AC为直径，Ar-2二2而AC=inl20=3故答案为:舟，呼.【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础.14.已知锐角0满足sin(y+v)=1)则cos(0+v)的值为_dt.【考点】GI:三角函数的化简求值.【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式进行化简求值.【解答】解：:sin(t+t)=f,sin2(t+看)=!=,贝Ucos(9错)25 0ve上i,百V9+32425_ _ _/ 元.八 叮 _ _)=cos ( + 0 + )
19、=sin24 sin(9+9/.sin(+y =cos(+平(0+t)=-故答案为：【点评】本题考查了三角函数的化简求值，熟记公式即可解答，属于基础题，考查学生的计算能力.15.数列an满足an+什(1)nan=2n1)其前n项和为S,则(1) a1+a3+a5+a99=50;(2) S4n=8n2+2n,a2n+l+a2n【考点】8H:数列递推式.【分析】(1)由已知数列递推式可得1=2.分别取n=1、3、5、49,可得ai+as+a5+a99的值；(2)由已知数列递推式结合(1)可得色,n=4k-3_ *. 、(k G N ).设 bn=a4n2n-3+apn=4k-2&n2-%，n=4k
20、-l2n_l-apn=4k*、3+a4n2+a4nl+a4n=16n6(nGN)则bn为首项为10,公差为16的等差数列.由此求得Sln=bl+b2+bn.【解答】解：(1).an+i+(1)nan=2n-1,a2n+a2n=4n1,a2na2n1=4n3.两式相减得a2n+1+a2n1=2.贝Ua3+a=2,a7+a5=25)a99+a97=2)a+a3+a5+a99=25X2=50;(2)由(1)得,a3=2一a1aa2n+3+a2n+1=2)*、a2n+3=2a2n+1=2(2a2n1)=a2n1(nGN).*当n=2k(kGN)日寸,a4k+3=a4k1=,一=a3=2a1;*、当n=
21、2k1(kGN)时)a4k+1=a4k3=.=a1.由已知可得a4k1+a4k2=8k5)a4ka4k1=8k3(k*,GN).a4k2=8k5a4k1=8k7+a1)a4k=8k3+a4k1=8k1a1.*, (kG N)包卜n=4k-32n-3+arn=4k-2a=-112-d,n=4k-l2n_l-apn=4k设bn=a4n3+a4n2+&ni+a4n=16n6(nGN),则bn为首项为10,公差为16的等差数列.Sn=bl+b2+bn=0nJ6n().故答案为：(1)50;(2)8n2+2n.【点评】本题考查数列递推式，考查了逻辑思维、推理论证以及计算能力，考查等差数列前n项和的求法，
22、题目难度较大.三.解答题(本大题共5小题，共74分)16.(14分)(2017春?堇B州区校级期中)已知函数f(x)=2co式sinCi+)73ccs(x+)(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)方程f(x)=m1在*。，专内有解，求实数m的取值范围.【考点】GL三角函数中的恒等变换应用；H2:正弦函数的图象.【分析】(1)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(cox+0)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；(2) xo,平内有时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性
23、质，可得f(x)的值域.即得实数m的取值范围.化简可得：f(x)=2cos(x+)?sin(x+3)一无X2cos2(x+y)=sin(2x+平)Mcos(2x+)一=2sin(2x+等)加(1) -1sin(2x玲)w1.IT2点2且n*GN)an1=2(ani1)+2)(nA2且nGN)且一，等式两端同除以2n得出：.Tn=nX2n+1-2X2n+2,S=nX2n+1-2n+1+2+n【点评】本题考察了数列的递推关系式的运用，错位相减法求解数列的和，考察了学生的分析问题，化简计算的能力.19.(15分)(2017TW河口市校级模拟)已知在锐角ABC中，a,b,c为角A,B,C所对的边，且(
24、b-2c)cosA=a-2acos端.(1)求角A的值；(2)若a=,则求b+c的取值范围.【考点】HR正弦定理；GL三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)在锐角AB8,根据条件利用正弦定理可得(sinB-2sinC)cosA=sinA(-cosB),化简可得cosA巨，由此可得A的值.(2)由止弦1AtL理口彳可sinB_sinC=sinA二2,TT可得b+c=2(sinB+sinC)=2灰sin(B+v).再由2冗兀，求得B的范围，再利032用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围.【解答】解：(1)在锐角ABC中,2c)cosA-a-2acos用-a-2a?平詈利用正弦定理可得(s
25、inB-2sinC)(-cosB)即sinBcosA+cosBsinA-2sinCcosA根据（b-cosA=sinA即 sinC=2sinCcosA)(2 )若 a= M._ _ _ A 1. A n. cosA-2 :. A=3则由正弦定理可得sinh sinC_ a-sinA=2(B+A)-2sinCcosA)b+c=2(sinB+sinC)=2=3sinB+正cosB=2sin(B+g-).由于,. 其 30bt。告bWv B诺号）求得 T Bt ），sin (B+v ) G (V32,1,. b+cG (32正.【点评】本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.
26、20.（15分）（2016春？徐州期中）各项均为正数的数列an中，前n项和4二(1)求数列an的通项公式；(2)若就L七4T2,利用等差数列的通项公式即可得出.(2)由题意得kaia2+a2a3+anan+)n招，利用11IfaharH-l(2n+l)22n-l2n+l,“裂项求和”方法即可得出.k,使得am,.可得,进而得(3)an=2n-1.假设存在正整数m,am+5,ak成等比数列,即熹如1二笔半加19+舞出.角+1【解答】解：(1).减得2) =0, an an 1=2) nAan=2n 1.题 意 得九7/。）息+（高12n+l)1+31 3 9 a z a两式相an=(竽1()2)
27、2彳导(an+an1)(anan-1.数列an的各项均为正数，.2,an是公差为2的等差数列,又SH竽)2得ai=i,W(2)由k-+H)ala2a2a3*1-1_Lanar1-(2n-l)(2n+l)2、2n-l2n+l(3)an=2n1.假设存在正整数m,k,使得am,am+5,ak成等比数列)即I即(2m+92=(2m-1)?(2k1)(2m2k-l二粤芈1219+卢)ZilL加一17.2k1GZ,，2m1为100的约数，2m1=1)m=k=61.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题.1=1麻数，.a1二3,a-1，数列十T为等差数列，且首项为1,公差为1,A1(2).根据(1)得出净=1+(n-1)X1=n,an=nX2n+1，数列an的前n项和&=(1x21+2X22+3X23+nX2n)+n,令Tn=1X21+2X22+3X23+nX212Tn=1X22+2X23+3X24+(n-1)X2n+nX2n+-得出：-Tn=2+22+23+2n-nX2n+1,