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1、高等数学（一）疑难问题分析级数与应用题的解题思路高等数学(一)疑难问题分析级数与应用题的解题思路 维普资讯 /0. 年第 期 福建自学考试 ?学海导航 分复 . : 思路 :用比值判别法,即求面内容: 一 是数项级 .当时收敛.当. 数的敛散主: 二 是幂皱 时发散,但要注意当; 时本方法 数的收敛 间及和函数; 失敬,诙方法常用于判别古有阶乘 三 是函数的幂级数屠 高等敖爹一一 类、指数娄型的级数敛散性判别。 开 这三部分内容有着内 注意凡 一级数娄均不能用该方 在的必然联系,筒单地讲. 法. 一 为基础 二 、 三 可 思路 :用北较判别法,该方法 以看作是 一 的应用 田 常 下 有 一
2、缴数特征或具有等 此 数项级数敛敞性削别 问 疑难 题分析 为该部分的重点. 熟练 比级数特征的级数的敛散性判别。 级数与应用题的解题思路 在判别级数敛散性类题日时, 掌握 的基础 ,再 一 般地.我们首先看 下是否可用 纳总结 二 三 的力法、 口 沙淑波 李 剪 比值判别浊.当不能垌比值判别法 思路.就叮比较容岛地掌 一/ 时,考虑用比较判别法 往往有不 握该部分内释 少考牛不会用比较判别法,或者说 在数项级数 ,任意项 不知应该放大还是应该缩小一般 级数加绝对值后.变为正 项 对于这一问题,考生应学会考 项级数,因此,止项级数敛 察 般项的特征 若级数的一般项 散睦 别卫是重点中的重 点
3、 萼璧.应在这一部分山? .时,我们称其具有等比级 存 多下功夫 数特征,这时可考虑与等比级数 题 :给定正项级数 相比较;若级数的一般项 为 的 分 式 形 志 ? .判别其敛散 “ 时 ,我们称 一 富 较兰兰困难的课程之普馒罢到 枷 级数 一 这不仪 。荩具有 一级数特征 对于该类问 因为该课程比较抽象、推理严谨 发散 题.太多数情况下可以这样考虑; 逻辑性强.更重要的是大部分考牛 没有老师指导,又缺少必要的参考 书,造成知识面过于猿窄,从而影 响到思路的丹阔胜 因此.在 习 过程中, 可避免的会遇到一衅难 理解和掌握的问题,如级数问 题.庙埔题等。下面仪就这些 题 进行分析,以供参考
4、一 .级数的有关问题与解题思路 教材第六章级数部分,表面上 看起来内容散乱.方法备异,不易 把握重点。事实上该部分内容并不 ?维普资讯 /. ?学海导靛 福建自学考试 . 年第 期 证该级数是否满足 当 时,放大一般项为 ; 级数客 收敛? ? . ,当? ? 时,缩小为调和级数一般 例, ,判断级数 定善 的敛散性 项 这里, ,分别表分母 、分于 主一一 的敛散性。 一一 分析:分母为 ,一般项中含 的最高次 有指数,故用比值判别法。 分析:该级数为交错级数, , 判断级数? ,因此,用莱布尼兹判别 ? “ ? 的敛散性 ? 法解? , , ? 分析:级数一般项具有 . ?: ? 一级数特
5、征,且 ?,考虑缩小 【“击一 般项。 . 级数 ? 收敛, 解:. ? : ? “ 另外.在级数敛散性判别中,有 时要用到一些特殊不等式,例如: ? 而宝 发散 , ? 有时也可能需要 由莱布尼兹判别法知,级数 一 将两种方法结合起来。 故由比较判别法知主 发 收敛。注意:本题也 . , 数级数? 散 可以用下述解法 例 , . 用比较判别 ? 一 的敛散性 一 了 法判别级数 了 法判别级数 了了 至了了 ? 解: ? ? 一再 而 一? . ? “一的敛散性 而 收敛,故?一 件 分折 :该级数一般项? 绝对收敛, 一 而 车 等丽,其分母为“一?个 , 旦 收敛。 . 善 收敛 ;,具
6、有等比级 问题:给定任意项级数? , 收 数 征,因此: 由比较判别法知三 一 判定绝对收敛、条件收萤、发散。 敛。 思路:首先考察由 构成的 南级数,若 收敛,则绝对收 问题 :给定交错级数? 而埋数主 是收敛的敛。若发散,但收敛,则 一,判定其敛散性 条件收敛。 由比较判别法知, 思路:用莱布屁靠判别法,即验 一维普资讯 /.仨第 黠 福建自学考试 ?学海导靛 。 由以上基础公式很窨易得到 收敛区问为一 , 例,判定主【一 例, ,幂 级 数 下推导公式; “ 一的敛散性 【条件收敛还 订“ 告 善的收敛厦问 妻. 蔷一 是绝对收敛 苒 是:?【一 . ? , ? , ?【 , ? 求解形
7、如乏.的幂级 而乏 收敛 。订 数的收敛 间时,先把看作一 “ 个变量.求出 . 的收敛半径 、然 .绝对收敛 后再由 一 :? .考察? 的敛 散性,就可判断以、为端 问题:给定幂级数宝 . ,求 的区间类型 收敛区间。 解:易知乏的收敛半径为, 专鲁一鲁 思路:?首选球搬限 等 当一】.级数发散,当给出级数的收敛半径:当 ; 时. 【一?积分可得 时 级数发散,所以收敛区间为【 , ?;当 斗?时. ,应选?。 例 把 展开为 的幂级数 ; 问题 :给定函数 ,求 【的 幂级数展开式或 ? 的幂级数 当 为有限数时,过时 展开式,井写出收敛区间: ?毒? 需要讨论当 :土 时对应的数项级
8、解决问题 的关键足.考生必 数的敛散性然后确定收敛区间的 【 毛 须熟练掌握 个基础展开式.理解 娄型。 掌握有关的推导展开式 然后将所给函数转化为可应用公式的形式 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.、 ,.将 刍 定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;例 ,. 求主 74.94.15有趣的图形3 P36-41基础公式为: 展开为 的幂级数。 一? 一 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角二 ” (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.的收敛区间 推论2:直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；:乏 一 ? 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有解: 瘩 菩毒 一解: 一 3. 圆的对称性:孕 专荟号 一荟 : 喜 例: , . 将 了 当 : 时,原级数变为乏 展为 一 的幂级数 . 特别地当 一 时有 二 (2)两锐角的关系：AB=90；,收敛 丽 毒 125.145.20加与减（三）4 P68-74当一时,原级数变为乏 薹,一 ,发散。