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1、初一奥数竞赛第2讲绝对值例1 a, b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1) I a+b | = | a | + | b | ab | = | a | | b | ; (3) | a-b | = | b-a | ;(4若 | a | =b,则 a=b;(5)若 |a |v|b| ,则 avb;(6若ab,则 |a | |b | .例2设有理数a, b, c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简| b-a | + | a+c | + | c-b |.cb o2團1-1例3 已知xv-3,化简：| 3+| 2-| 1+x|.例4若航利 则名佥+二的为有可能值是什么？|a|冋忖例5 若
2、| x | =3, | y | =2,且 | x-y | =y-x,求x+y的值.例6 若a, b, c 为整数，且 | a-b | 19+ | c-a | =1,试计算 | c-a | + | a-b | + | b-c | 的值.例T若丨x-y + 3 I与I x+y-1999 I互为相反数，求二空的值.x-y例 8 化简：| 3x+1 | + | 2x-1 | .例 9 已知 y= | 2x+6 | + | x-1 | -4 | x+1 | ,求 y 的最大值.例 10 设 avb vcvd,求 | x-a | + | x-b | + | x-c | + | x-d | 的最小值.例11
3、若2x+ | 4-5x| + | 1-3x | +4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值.练习二1. x是什么实数时，下列等式成立:(1)1 (x-2)+(x-4)= | x-2 | + |x-4 | ;(2) | (7x+6)(3x-5) =(7x+6)(3x-5.)2 .化简下列各式:| x+5 | + |x-7 | + |x+10 | .3. 若a+bvO,化简 | a+b-1 | - | 3-a-b| .4. 已知y= | x+3 | + | x-2 | -1 3x-91 ,求y 的最大值.5. 设T= | x-p | + | x-151 + | x-p-15| ,其中0vpv1
4、5,对于满足px0时成立(5不对.当b0时成立.6)不对.当a+b 0时成立例2解由图1-1可知，a0, bv0, cv0,且有| c | | a | | b | 0.根据有理数加减运算的符号法则， 有b-av0, a+cv0, c-b0.再根据绝对值的概念，得| b-a | =a-b, | a+c | =-(a+c) | c-b | =b-c于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.例3分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号. 解原式 =| 3+ | 2+(1+x)| | (因为 1+x0,所以y-xO, yx.由 | x
5、 | =3, | y | =2可知，x0,即x=-3.(1) 当 y=2 时，x+y=-1；(2) 当 y=-2 时，x+y=-5.所以x+y的值为-1或-5.例6解a, b, c均为整数，则a-b, c-a也应为整数，且| a-b | 19, | c-a |99为两个非负整数，和为1,所以只 能是| a-b |19=0 且 | c-a | 99=1,或| a-b| 19=1 且 | c-a | 99=0.由有 a=b且 c=a 1,于是 | b-c| = | c-a | =1;由有 c=a且 a=b 1,于是 | b-c| = | a-b | =1.无论 或者P有| b-c| =1 且 |
6、a-b | + | c-a | =1,所以| c-a | + | a-b | + | b-c | =2.例7解依相反数的意义有| x-y+3 | =- | x+y-19991 .因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有| x-y+31 =0且| x+y-19991 =0.即K-y+3=0, x + y-1999 = 0T由有x-y=-3 由有x+y=1999 得2y=2002 , y=1001.-1000x + 2y x + y + y 1999 + 1001所以例8分析本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符 号则是很容易的事.例如，化简|
7、3x+1 | ,只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号这里我们是分与篡-两神情况加以讨论的，此吋，x二+是一个分界 点-类似地，对于I 2x-l |而言，土是一个分界点.为同吋去掉 两个绝对值符号，我们把两个分界点-+和丄标在谿由上，把数轴分为三个部分（如图12所示），即这样我们就可以分类讨论化简了.解（1）当囂 冷时,12歹异J 2*原式=-(3x+1)-(2x-1)=5xI 3x + l I + ! 2x-l i =1-5x,当x_右时x + 2 当-时扌原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2原式=(3x+1)+(2x-1)=5x时.（3）当 说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于
8、零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这 些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分 段法”.例9分析首先用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，选出最大者. 解有三个分界点：-3, 1,-1.当 xW-3 时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1由于xW-3,所以y=x-11 时，y =(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,由于x1,所以1-xWO, y的最大值是0. 综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6.例10分析本题也可用零点分段法”讨论十算，但比较麻
9、烦.若能利用 I x-a | , | x-b | , | x-c | , | x-d | 的几何意义来解题，将显得更力D简捷便利.解设a, b, c, d, x在数轴上的对应点分别为A, B, C, D, X,则| x-a |表示线段AX之长，同理，| x-b |, | x-c | , | x-d | 分别表示线段 BX, CX, DX之长.现要求 | x-a |, | x-b |, | x-c | , | x-d | 之和的 值最小，就是要在数轴上找一点X,使该点到A, B, C, D四点距离之和最小.因为avbvcvd,所以A, B, C, D的排列应如图13所示：*_* XA BX CE图1-3所以当X在B, C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC,即(d-a)+(c-b.)例11分析与解要使原式对任何数x恒为常数，贝U去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即 x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0一申情况.因此必须有| 4-5x | =4-5x且 | 1-3x | =3x-1.故x应满足的条件是f4-5x0,解之得詐此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7 .