《最新【导与练】（新课标）高考数学二轮复习+专题2+函数与导数+第4讲+与函数的零点相关的问题+理优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新【导与练】（新课标）高考数学二轮复习+专题2+函数与导数+第4讲+与函数的零点相关的问题+理优秀名师资料.doc（32页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、【导与练】（新课标）2016高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第4讲 与函数的零点相关的问题 理第4讲 与函数的零点相关的问题 函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间0,2上,通过观察y=cos 2x的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x?0,1x时,g(x)=2-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是
2、( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程ff(x)=0有且只有一个实则实数a的取值范围为 . 数解,解析:依题意,得a?0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由ff(x)=0,得f(x)=1, 当x0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x?0时,函数y=的图象与直线y=1
3、没有交点,若a0,结论成立;若a0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a1,得-1a0,则实数a的取值范围为(-1,0)?(0,+?). 答案:(-1,0)?(0,+?) 1 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ?若a=1,则f(x)的最小值为 ; ?若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 . 解析: ?当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ?当a?0时,显然函数f(x)无零点; 当0a1时,易知f(x)在(-?,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x?1时,f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a?1,即a?,则?a1,由二
4、次函数的性质可知,当x?1时,f(x)有2个 零点, 则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-?,1)上无零点,则2-a?0,即a?2. 综上可知,满足条件的a的取值范围是 ,1)?2,+?). 答案:?-1 ?,1)?2,+?) 确定函数零点所在的区间 5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x0)的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析:设f(x)=ln(x+1)-,则f(1)=ln 2-20,得f(1)f(2)0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B. x26.(2015河南郑州市一模)设函
5、数f(x)=e+2x-4,g(x)=ln x+2x-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则( A ) (A)g(a)0f(b) (B)0g(a)f(b) (C)f(b)0g(a) (D)f(b)g(a)0 x解析:考查函数y=e与y=4-2x的图象,得其交点的横坐标a应满足0a1;考查函数y=ln x2 2与y=5-2x的图象,得其交点的横坐标b应 满足1be+2-40,可排除C,D;0a1,g(a)ln 1+2-50)上的最小值; x(3)若存在两不等实根x,x?,e,使方程g(x)=2ef(x)成立,求实数a的取值范围. 122x解:(1)当a=5时g(x)=(-x+5x-3)
6、?e,g(1)=e. 2xg(x)=(-x+3x+2)?e,故切线的斜率为g(1)=4e. 所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e. (2)f(x)=ln x+1, x (0,) (,+?) f(x) - 0 + f(x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增 ?当t?时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数, 所以f(x)=f(t)=tln t, min?当0t时,在区间(t,)上f(x)为减函数,在区间(,t+2)上f(x)为增函数, 所以f(x)=f()=-. minx2(3)由g(x)=2ef(x),可得2xln x=-x+ax-3, a=x+2ln x+, 令h(
7、x)=x+2ln x+, h(x)=1+-=. x (,1) 1 (1,e) h(x) - 0 + 3 h(x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增 h()=+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2. h(e)-h()=4-2e+0,于是(x)在(0,1)上单调递增; 4 当x?(1,2)时,(x)0,于是(x)在(1,2)上单调递减; ,依题意有 解得ln 3-1?b1,0b=log20 3f(-1)=log2-1-log2=-10, 33x所以根据函数的零点存在性定理得出函数f(x)=a+x-b的零点所在的区间是(-1,0),故选B. 2.(2015凉山州模拟)设函数f(x)=|ln
8、 x|-的两个零点为x,x,则有( A ) 12(A)xx1 (B)xx=1 1212(C)1xx (D)xx? 1212解析:由f(x)=|ln x|-=0,得|ln x|=, 的图象如图. 作函数y=|ln x|与y=不妨设xx, 125 由图可知,x1x, 12则ln x|ln x|, 112所以-ln xln x,则ln x+ln x0,即ln (xx)0, 121212所以xx0或-2+a2,或a1或a?0.故选D. 4.(2014重庆卷)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( A ) (A)(-,-2?(0, (
9、B)(-,-2?(0, (C)(-,-2?(0, (D)(-,-2?(0, 解析:g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(x)的图象与函数y=m(x+1)的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数f(x)=和函数y=m(x+1)的图象,如图,当直线y=m(x+1)与y=-3,x?(-1,0和y=x,x?(0,1都相交时,0m?;当直线y=m(x+1)与y=-3,x?(-1,0有两个交点时,由方程组22消元得-3=m(x+1),即m(x+1)+3(x+1)-1=0,化简得mx+(2m+3)x+m+2=0,当=9+4m=0,即m=-时,直线y=m(x+1)
10、与y=-3相切,当直线y=m(x+1)过点(0,-2)时,m=-2,所以m?6 (-,-2.综上,实数m的取值范围是(-,-2)?(0,故选A. 5.(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x?0时, 2f(x)=x-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( D ) (A)1,3 (B)-3,-1,1,3 (C)2-,1,3 (D)-2-,1,3 解析:当x?0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根, 2由x-3x=x-3, 解得x=1或3; 当x0时,由f(x)是奇函数得 2-f(x)=f(-x)=x-3(-x), 2x-3x. 即f(x)=-由f(x)
11、=x-3得x=-2-(正根舍去).故选D. x6.已知x是函数f(x)=2+的一个零点,若x?(1,x),x?(x,+?),则( B ) 01020(A)f(x)0,f(x)0 (B)f(x)0 1212(C)f(x)0,f(x)0,f(x)0 1212x解析:函数y=2,y=在(1,+?)都为单调增函数, x所以f(x)=2+在(1,+?)上为单调增函数. 因为f(x)=0, 0所以x?(1,x),x?(x,+?)时, 1020f(x)f(x)=0,从而答案B正确. 10207.已知函数f(x)=则下列关于函数y=ff(kx)+1+1(k?0)的零点个数的判断正确的是( C ) (A)当k0
12、时,有3个零点;当k0时,有4个零点;当k0时,有3个零点 (C)无论k为何值,均有3个零点 7 (D)无论k为何值,均有4个零点 解析:令ff(kx)+1+1=0得, 或 解得f(kx)+1=0或f(kx)+1=;由f(kx)+1=0得, 或 即x=0或kx=; 由f(kx)+1=得, 或 kx即e=1+(无解)或kx=; 综上所述,x=0或kx=或kx=; 故无论k为何值,均有3个解.故选C. 28.(2015怀化二模)定义域为R的函数f(x)=若关于x的函数h(x)=f(x)+af(x)+有5个不同的零点x,x,x,x,x,则+等于( C ) 12345(A)15 (B)20 (C)30
13、 (D)35 解析:作函数f(x)=的图象如图, 8 2则由函数h(x)=f(x)+af(x)+有5个不同的零点知, 1+a+=0, 解得a=-, 2则解f(x)-f(x)+=0得, f(x)=1或f(x)=; 故若f(x)=1,则x=2或x=3或x=1; 若f(x)=,则x=0或x=4; 故+=1+4+9+16=30.故选C. 9.(2015郑州二模)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( A ) (A)-1,3) (B)-3,-1 (C)-3,3) (D)-1,1) 解析:因为f(x)= 所以g(x)=f(x)-2x= 而方程-x+3=0的
14、解为3, 2方程x+4x+3=0的解为-1,-3; 若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点, 则解得,-1?a3. 实数a的取值范围是-1,3).故选A. 2510.(2015衡阳二模)已知(x-)的展开式中的常数项为T,f(x)是以T为周期的偶函数,且当x?0,1时,f(x)=x,若在区间-1,3内,函数g(x)=f(x)-kx-2k有4个零点,则实数k的9 取值范围是( C ) (A)(0, (B)0, (C)(0, (D)0, 2525-r-3rr10-5r; 解析:(x-)的通项T=(x)(-x)=(-1)xr+1令10-5r=0得,r=2;则常数项为=2, f(x)是以2为
15、周期的偶函数, 因为区间-1,3是两个周期, 所以在区间-1,3内函数g(x)=f(x)-kx-2k有4个零点, 可转化为f(x)与r(x)=kx+2k有四个交点, 当k=0时,两函数图象只有两个交点,不合题意; 当k?0时,因为函数r(x)的图象恒过点(-2,0), 则若使两函数图象有四个交点, 必有0r(3)?1;解得,0k?.故选C. 3211.(2013安徽卷)若函数f(x)=x+ax+bx+c有极值点x,x,且f(x)=x,则关于x的方程121123(f(x)+2af(x)+b=0的不同实根个数是( A ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:先求函数的导函数,由极值点的性
16、质及题意,得出f(x)=x或f(x)=x,再利用数形结合12确定这两个方程实数根的个数. 2因为f(x)=3x+2ax+b, 函数f(x)的两个极值点为x,x, 12所以f(x)=0,f(x)=0, 122所以x,x是方程3x+2ax+b=0的两根. 122所以解关于x的方程3(f(x)+2af(x)+b=0得f(x)=x或f(x)=x.不妨设xx, 1212由题意知函数f(x)在(-?,x),(x,+?)上单调递增,在(x,x)上单调递减. 121210 又f(x)=xx,如图,数形结合可知f(x)=x有两个不同实根,f(x)=x有一个实根,所以不同11212实根的个数为3.故选A. 二、填
17、空题 12.(2015兰州二模)设函数f(x)=函数y=ff(x)-1的零点个数为 . 解析:因为函数f(x)= 当x?0时, xxy=ff(x)-1=f(2)-1=log2-1=x-1, 2令y=ff(x)-1=0,x=1(舍去). 当01时, y=ff(x)-1=f(logx)-1=log(logx)-1, 222令y=ff(x)-1=0,log(logx)=1, 22则logx=2,x=4, 2故函数y=ff(x)-1的零点个数为2个. 答案:2 13.(2011山东卷)已知函数f(x)=1ogx+x-b(a0,且a?1).当2a3b4时,函数f(x)的零a*点x?(n,n+1),n?N
18、,则n= . 0解析:对函数f(x),因为2a3b4, 所以f(2)=log2+2-b1+2-b=3-b1+3-b=4-b0. a即f(2)f(3)0, 易知f(x)在(0,+?)单调递增, 所以f(x)存在唯一的零点x,且x?(2,3), 00所以n=2. 答案:2 14.(2015潍坊模拟)已知f(x)是定义在(0,+?)上的单调函数,f(x)是f(x)的导函数,若对x?(0,+?),都有ff(x)-2?x=3,则方程f(x)-=0的解所在的区间是 .(区间长度不大于1) xx解析:由题意,可知f(x)-2是定值,令t=f(x)-2, x则f(x)=2+t, t又f(t)=2+t=3,解得
19、t=1, x所以有f(x)=2+1, x所以f(x)=2?ln 2, x令F(x)=f(x)-=2?ln 2-, 11 12可得F(1)=2?ln 2-40, x即F(x)=2?ln 2-零点在区间(1,2)内, 所以f(x)-=0的解所在的区间是(1,2). 答案:(1,2) 利用导数研究方程根的问题 训练提示:利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路 (1)将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题. (2)利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象. (3)结合图象求解. 2
20、x+x)e,其中e是自然对数的底数,a?1.(2015贵州七校联盟第一次联考)已知函数f(x)=(axR. (1)当a0时,解不等式f(x)?0; (2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在t,t+1上有解. x2解:(1)因为e0,所以不等式f(x)?0,即为ax+x?0, 又因为a0,所以不等式可化为x(x+)?0, 所以不等式f(x)?0的解集为-,0. xx(2)当a=0时,方程即为xe=x+2,由于e0, 所以x=0不是方程的解, x所以原方程等价于e-1=0, x令h(x)=e-1, x因为h(x)=e+0对于x?0恒成立, 所以h(x)在(-?,0)和(0,+?
21、)内是单调增函数, 2-3又h(1)=e-30,h(-3)=e-0, 12 所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间1,2和-3,-2上, 所以整数t的所有值为-3,1. x【教师备用】 (2015广东江门市3月模拟)设函数f(x)=e(ln x-a),e是自然对数的底数,a?R为常数. (1)若y=f(x)在x=1处的切线l的斜率为2e,求a的值; (2)在(1)的条件下,证明切线l与曲线y=f(x)在区间(0,)至少有1个公共点. x解:(1)f(x)=e (ln x-a+), 依题意,k=f(1)=e(ln 1-a+1)=2e,解得a=-1, (2)由(1)f(1)=e,
22、直线l的方程为y-e=2e(x-1), 即y=2ex-e, x令g(x)=f(x)-(2ex-e)=e(ln x+1)-2ex+e, -4e-4-3-4则g()=(1-ln 2)0,g(e)=-3e-2e+e-3+e0(用其他适当的数替代e亦可) -4因为y=g(x)在(e,)上是连续不断的曲线, -4-4g(e)g()0,y=g(x)在(e,)内有零点, -4而(e,)?(0,),从而切线l与曲线y=f(x)在区间(0,)至少有1个公共点. x2x2.(2015福建龙岩市5月质检)已知函数f(x)=e(sin x+cos x)+a,g(x)=(a-a+10)e(a?R且a为常数). (1)若
23、曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线过点(1,2).求实数a的值; (2)若存在实数x,x?0,使得g(x)1)在(0,+?)上的零点个数,并说明理由. xxx解:(1)f(x)=e(sin x+cos x)+e(cos x-sin x)=2ecos x, 又曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线过点(1,2), 得f(0)=, 即2=1-a,解得a=-1. (2)存在实数x,x?0, 1213 使得g(x)f(x)+13-成立, 21即g(x)0恒成立,g(x)=(a-a+10)e在0,上递增, 2g(x)=g(0)=a-a+10, min22故a-a+10+a+13-,得a-2a-3
24、0)得 -+1+ln x=0, 化为=1-x-xln x, 令h(x)=1-x-xln x,则h(x)=-2-ln x, -2由h(x)=-2-ln x=0,得x=e, 故h(x)在(0,)上递增,在(,+?)上递减, h(x)=h()=1+. maxx再令t(x)=b(1+)e, x因为b1,所以函数t(x)=b(1+)e在(0,+?)上递增, 14 0t(x)t(0)=b(1+)e=b(1+)1+. 知t(x)h(x),由此判断函数(x)在(0,+?)上没有零点, ,max故(x)在(0,+?)上零点个数为0. ,【教师备用】 (2015四川成都市一诊)已知函数f(x)=-,g(x)=m-
25、,其中m?R且m?0.e=2.71828为自然对数的底数. (1)当m0时,若函数g(x)存在a,b,c三个零点,且abc,试证明:-1a0beg(x)成立?若存在,求出m1212的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:(1)f(x)=-m? =m? (x0且x?1). =所以由f(x)0,得x;由f(x)0,得0x0). 所以g(x)在(-?,0)上单调递增,(0,)上单调递减,(,+?)上单调递增. 因为函数g(x)存在三个零点, 所以?0m. 所以0me2. mm由g(-1)=m-me=m(1-e)0, 所以g(e)=m-=m(1-)0. 15 综上可知,g(e)0,g(-1)0, 结合
26、函数g(x)单调性及abc可得 a?(-1,0),b?(0,e),c?(e,+?). 即-1a0beg(x), minmax因为f(x)= 由m0,所以函数f(x)在(1,)上单调递减,在(,+?)上单调 递增. 所以f(x)=f()=-2me. min因为g(x)= 由mm-,不等式两边同乘以负数m, 22得-2me,即m. 由m0,解得me. 1212(1)解:因为f(x)=ln x-cx, 所以x?(0,+?), f(x)=-c=. 当c?0时,f(x)单调增区间为(0,+?), 当c0时,f(x)单调增区间为(0,),f(x)单调减区间为(,+?). 2(2)解:因为f(x)?x, 2
27、所以ln x-cx?x, 所以c?-x. 设g(x)=-x,所以g(x)=, (0,1)单调递增,在(1,+?)单调递减. 所以g(x)在所以g(x)=g(1)=-1, max所以c?-1. (3)证明:因为f(x)有两个相异零点, ln x=cx,ln x=cx, ? 1122所以ln x-ln x=c(x-x), 1212所以=c, ? 2而x?xe,等价于ln x+ln x2,即cx+cx2, ? 121212由?得(x+x)2, 12不妨设xx0,则t=1, 12上式转化为ln t(t1), 设H(t)=ln t-(t1),则H(t)=0, 故函数H(t)是(1,+?)上的增函数,所以
28、H(t)H(1)=0, 17 即不等式ln t成立, 2故所证不等式x?xe成立. 12222.(2015郑州质量预测)已知函数f(x)=(x-2x)ln x+ax+2. (1)当a=-1时,求f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; -2,设函数g(x)=f(x)-x-2,且函数g(x)有且仅有一个零点,若ex0时m的取值范围. 22解:(1)当a=-1时,f(x)=(x-2x)ln x-x+2,定义域为(0,+?), f(x)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x. 所以f(1)=-3,又f(1)=1,f(x)在(1,f(1)处的切线方程为3x+y-4=0. 22(2)令g(x)=f(x
29、)-x-2=0,则(x-2x)ln x+ax+2=x+2,即a=, 令h(x)=, 则h(x)=-+=. 令t(x)=1-x-2ln x,t(x)=-1-=, 因为t(x)0,所以t(x)在(0,+?)上是减函数, 又因为t(1)=h(1)=0, 所以当0x0,当x1时,h(x)0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1. 22当a=1,g(x)=(x-2x)ln x+x-x, -2若exe,g(x)?m,只需g(x)?m, maxg(x)=(x-1)(3+2ln x),令g(x)=0得x=1或x=, -2又因为exe, -2所以函数g(x)在(e,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在
30、(1,e)上单调递增, -32又g()=-e+2,g(e)=2e-3e, -3因为g()=-e+22e2e(e-)=g(e),即g()0, 所以g(x)有两个零点x,x,即3-2ax-1=0(i=1,2),且xx0,a=, 12i12不妨设x00且g(x)0, 12或g(x)0且g(x)0, 12又g(x)=-a-x+1=-x+1 iii=-+1(i=1,2), 32x设h(x)=-+1,所以h(x)=-x-0, 所以h(x)为减函数, 又h(1)=0,所以x0,x1时h(x)0, 所以x(i=1,2)大于1或小于1, i由x00,所以a0,h(x)为增函数, 又h(1)=0.所以当x0,g(
31、x)为增函数; 当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)为增函数; 所以g(x)在x=1时取极小值1. 又当x趋向于0时,g(x)趋向于正无穷; 又当x趋向于负无穷时,g(x)趋向于负无穷; 又当x趋向于正无穷时,g(x)趋向于正无穷. 所以g(x)图象大致如图所示. 所以方程a=x-+只有一个实根时,实数a的取值范围为(-?,1). 【教师备用】 设函数f(x)=xln x(x0),g(x)=-x+2. (1)求函数f(x)在点M(e,f(e)处的切线方程; 2(2)设F(x)=ax-(a+2)x+f(x)(a0),讨论函数F(x)的单调性; (3)设函数H(x)=f(x)+g(x),
32、是否同时存在实数m和M(m0),则函数f(x)在点M(e,f(e)处的斜率为f(e)=2,f(e)=e, 所以,所求切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e. 2(2)F(x)=ax-(a+2)x+ln x+1(x0), F(x)=2ax-(a+2)+= 20 =(x0,a0) 令F(x)=0,则x=或. ?当0a时, 令F(x)0解得0x; 令F(x)0解得x2即时, 函数F(x)在(0,),(,+?)上单调递增,在(,)上单调递减. (3)H(x)=-x+2+xln x,H(x)=ln x. 令H(x)=0,则x=1. 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。当x在区间,e内变化时,H
33、(x),H(x)的变化情况如下表: （2）顶点式：定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;x (,1) 1 (1,e) e H(x) - 0 + 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：H(x) 单调递减 极小值1 单调递增 2 2- 0 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，
34、优弧用三个字母表示。)因为2-2,所以H(x)在区间,e内值域为1,2, （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一由此可得, 21 tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。若则对每一个t?m,M,直线y=t与曲线y=H(x)(x?,e)都有公共点,并且对每一个t?(-?,m)?(M,+?),直线y=t与曲线y=H(x)(x?,e)都没有公共点. 综合以上,存在实数m=1和M=2,使得对每一个t?m,M,直线y=t与曲线y=H(x)(x?,e)都有公共点. 一年级下册数学教学工作计划22