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1、第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、若玄和82383585ja44是五阶行列式中带正号的一项，贝Ui 1 , j 2令 i 1, j 2 ,(12354)(13524)1 34，取正号。2、若将n阶行列式D的每一个元素添上负号得到新行列式D，则D= ( 1)nD5、A为n阶方阵，AAtE且A 0,则A E即行列式D的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D=( 1)nD1111003、设A,则a100 =。0101111112 3121 113a2,a3,L可得010101010 1014、设A为5阶方阵，a5,则5A5n1。由矩阵的行列式运算法则可知：5A 5n A
2、 5n 11, a 1,2由已知条件：aA e aat a at a e 1 a而：a e a aata e at Aa e6、设三阶方阵a2000xy可逆，则x,y应满足条件3x 2y。0232 (3x 2y)03x 2y。二、单项选择题(每小题4分，共24分)a11a12a132an2a122a137、设a 21a 22a23M 0，则行列式2a312a322a33aa 31a 32a332a212a222a23A.8MB. 2MC.2MD.8M可逆，则行列式不等于零:2a112a122a13a11ai2a13a11a12a132a312a322a332 3a31a32a338 ( 1)a
3、21a22a232a212a222a23a21a22a23a31a32a33由于0的必要条件是DnD 。&设n阶行列式Dn，则A Dn中有两行（或列）元素对应成比例B. Dn中有行（或列）元素全为零C. Dn中各列元素之和为零D.以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解9、对任意同阶方阵 A,B，下列说法正确的是 CA.(AB)11 r 1AA B B. AC. (AB)T btat d.ab ba10、设 A,B为同阶可逆矩阵,0为数，则下列命题中不正确的是1 1A.(A ) A1 1 1 1 1B.( A) A C.(AB) B A“ T、11、TD.(A ) (A )一 1 1 1 由
4、运算法则，就有（A） A1 1、设A为n阶方阵，且A a 0，则A1A. aB.a因为AAA 1C.an 1fnD. aA |A A 1 AnA1|An|A1 An1。121012、矩阵 3102 的秩为2,则a =D1a22oA. 2B. 3C.41210121 0通过初等变换，由秩为 2可得：3102 :073 21a220a 50 0三、计算题（每小题7分，共42分）411113、计算行列式：14111141111441117解：141171141各列加到 第一列上711147411111111111411703001141第一行乘-1 加到各行上003011140003=7第二=提7到
5、外面3o3 =18914、计算行列式:ai00th0a2b200b3a30b400a4解：先按第一行展开，再按第三行展开，有:a00b40 0a2b2b3a30 0b00a4a2=印b3b2a3a2b3b2a3佝比 bb4)(a2a3 bA)。15、问 取何值时，齐次线性方程组(1)X12X24X302x-i(3)X2X30有非零解。xX2(1)X30a4124034 (1)20=231=0 11+2111r1 (1 )ra1 11齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零:解:0,2, 316、设矩阵，计算B2A2(B 1A)解：因为A2, B7 ,所以都可逆,B2 A2(B 1A) 1B2
6、A2A1B B2AB(BA)B2o1917、解矩阵方程AX BX，求X，其中解：AX B X (A E)X1B X (A E) B ,02 3133 1(A E) 112 313X(A E) 1B 20013131 1o0018、设 A，利用分块矩阵计算A1。,A2 113132 313四、19、20、解:A10A210131302 31.3证明题（每小题5分,共10分）设n阶方阵A满足A证明矩阵A可逆,并写出A逆矩阵的表达式。证明:若矩阵矩阵。证明:因为A E 3从而A( A2A33Aata，则称矩阵3A23E)3A EA(A2A23A 3E) E，3A 3E。A为反对称矩阵，证明奇数阶反对
7、称矩阵一定不是满秩设A为n阶反对称矩阵，n为奇数，则AAtAAt( 1)n At|A所以A不可逆，即A不是满秩矩阵。第二套线性代数模拟试题解答填空题（每小题4分，共24分）1、A为3阶方阵，且A2, A是A的伴随矩阵，则4A 1 A =-4。因为：A A A1 2A14A1A 4A1 2A12A18A12、A 为 5 x 3 矩阵，秩(A )=3, B1 0 20 2 0，则秩(AB)=30 0 3因为B可逆，AB相当于对A作列初等变换，不改变 A的秩。3均为4维列向量，A (3)，B (2,1,2,3)，4 ，则 A B =40。2,21,2 2,23)2,2 1,2 2,23)2,1, 2
8、,3)1?12，38(1 4) 404，则 t =-4如果n元非齐次线性方程组AXB有解,R(A) r，则当n_时有唯一解; n_时有无穷多解。非齐次线性方程组有解的定义。6、设四元方程组 AX B的3个解是3。其中3，如4R(A)3，则方程组AX B的通解是01 k2311 。11因为R(A) 3，所以AX 0的基础解系含4-3=1个解向量；又 2都是AX 0的解，相加也是 AX 0的解，从而可得 AX 0的一个解为:2103112131232124125130111于是AX B的通解为：X k1 k。2131、单项选择题（每小题4分，共24分）7、对行列式做D_种变换不改变行列式的值。A.
9、互换两行B.非零数乘某一行C.某行某列互换D.非零数乘某一行加到另外一行& n阶方阵A,B,C满足ABC E，其中E为单位矩阵，则必有 D。A. ACB EB.CBA E C.BAC E D.BCA E1 1矩阵乘法不满足变换律，而 D中ABC E A ABCA A EA BCA E。12109、矩阵3102 的秩为2,则t =D1t 122A. 3B. 4C.512 101210通过初等变换，由秩为 2可得：31 02 :0732。1t 1 220 t 60010、若方阵 An不可逆，则 A的列向量中 C。A.必有一个向量为零向量B.必有二个向量对应分量成比例C.必有一个向量是其余向量的线性
10、组合D.任一列向量是其余列向量的线性组合方阵An n不可逆，则 A的列向量线性相关，由定义可得。11、 若r维向量组 1, 2 m线性相关， 为任一 r维向量，则一A一。A. 1 ,2 m,线性相关B. 1 ,2 m,线性无关C. 1, 2 m,线性相关性不定D. 1, 2m中一定有零向量由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关。12、若矩阵At 5有一个3阶子式为0，则C_。A.秩（A）w 2B.秩（A）w 3C.秩（A） 3 ?k11 k22 k33k4 4|k1,k2,k3, k4 R，则 V 是维向量空间。4、已知阶3方阵A的3个特征值分别为1，2，3，贝U A1
11、15、若x是方阵A的特征向量，那么P x是方阵p 1 AP的特征向量。6、线性方程组Xi X2 X3 X4 X5 X6 0的基础解系含有5个解向量。二、选择题。（每小题5分，共30分）1、设A，B为n阶方阵，满足AB 0，则 C。A A B 0， B A B 0 ， C A 0 或 B 0， D ABO。2 12、已知A为n阶方阵，且满足关系式 A 3A 4E 0，贝U A E _o1cL 1 A1A A E , B E A , C E A , D A 4E。2 23、 A为3阶可逆方阵，且各列元素之和均为2，则 AoAA必有特征值2 , B A 1必有特征值2 , CA必有特征值 2 ,1D
12、 A必有特征值 2 o1、设 可由1 , 2 ,s线性表出，但不能由向量组：1 , 2 , s 1线性DA的列向量组线性相关。表出，记向量组：1 ,2 , s 1 ,，贝U s BoA不能由，也不能由线性表出，B不能由，但能由线性表出,C能由，也能由线性表出，D能由，但不能线性表出。6、设A为mn的非零矩阵，方程 Ax 0存在非零解的充分必要条件是D_AA的行向量组线性无关,BA的行向量组线性相关,500三、已知A0121，求 A o （10 分）031解:A11OA-3OA2211515CA的列向量组线性无关,A221A22 A2217372717四、a为何值时,A11OA221737271
13、710线性方程组axa1有解，并求其解。（10 分）az解：对增广矩阵作初等行变换如下B Ab保留方程组为：x y z1111原方程组通解为：X C11C2 00 10010b-b-五、已知向量1,0, 12,2,0，3, 5,2，（10 分）!_b-易见当a 1时，R AR B 1，方程组有解,71 求242判断向量，F ，是线性相关还是线性无关。*!F-解：（1）2413130 3123123（2 ）由025r025102000六、求矩阵A231336的特征值和特征向量。（10 分）123解：AE21319 2336特征值为：10,2 1,3 9-3是线性相关的。123当10时，解方程组Ax0得：1231 0 1rA 2130 1 133 60 0 01得基础解系pi 11当21时，解方程组 A Ex0得：22311 0A E223 r00 133700 01得基础解系P2101对应于；21的全部特征值为k2P2k2 1k2080对应于10的全部特征值为k1P1 k1 1110k10当 3 9 时，解方程组 A 9E x 0 得：823110A 9 E283r0213330001得基础解系p3121对应于39 的全部特征值为k3p3k3 1k3 0 10