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1、【强烈推荐】高一数学必修1各章知识点总结高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*
2、或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法:a,b,c 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2(3) 空集 不含任何元素的集合 例:x|x=,5, 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 或反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作 2(“相等”关系:A=B (5?5，且5?5，则5=5) 2实例:设 A=x|x-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 即:? 任何一个集合是它本身的子集。 ?真子集:如果且那
3、就说集合A是集合B的真子集，记作ABA) ?如果 那么 ? 如果同时 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 nn-有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集 B(或 例题: 1.下列四组对象，能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合a，b，c 的真子集共有 个 ，则M与N的关系是 . 3.若集合M=y|y=x2-4.设集合，若，则a的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 人，化学实验做得正确得有31人， 两种
4、实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M= . 7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若B?C?，A?C=，求m的值 二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f， 使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它 对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)，x?A(其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值 相对应的y值叫做函数值，
5、函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域( 注意: 1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 40 (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 无关);?定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2(值域 : 先考虑其
6、定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4(区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示
7、( 5(映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)(象)” 对于映射f:A?B来说，则应满足: (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域
8、是各段值域的并集( 补充:复合函数 如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=fg(x)=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。 二(函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1) ,f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间称为y=f(x)的单调减区间
9、. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: x2?D，且x1<x2; ? 1 任取x1，2 作差f(x1),f(x2); ? 3 变形(通常是因式分解和配方); ? 4 定号(即判断差f(x1),f(x2)的正负); ? 5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)( ? (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
10、复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8(函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数( (2)(奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数( (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定
11、义域，并判断其是否关于原点对称; ? 2确定f(,x)与f(x)的关系; ? 3作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0，则f(x)是? 偶函数;若f(,x) =,f(x) 或 f(,x)，f(x) = 0，则f(x)是奇函数( 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)?f(x)=0或f(x),f(-x)=?1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求
12、两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10(函数最大(小)值(定义见课本p36页) 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ? 2 利用图象求函数的最大(小)值 ? 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ? 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例
13、题: 1.求下列函数的定义域: ? ?设函数f(x)的定义域为0，1，则函数f(x2)的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为，3，则函数的定义域是 函数 ，若，则 5.求下列函数的值域: ? y6.已知函数，求函数f(x)，的解析式 7.已知函数f(x)满足，则f(x)= 。 8.设f(x)是R上的奇函数，且当时 则当时f(x) f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: ? ? 10.判断函数的单调性并证明你的结论( 11.设函数判断它的奇偶性并且求证:( 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1(根式的概念:一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中n&g
14、t;1， *且n?N( 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。 当n是奇数时，当n是偶数时， 2(分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定: n， a 的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质 (1) ; (2) ; (3) ( (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地，函数且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R( 注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1( x 注意:利用函数的单调性，结合图象还可以看出: (1)在a，b上，且值域是f(a),f(b)或x f(b),f(a); (2)若，则;f(x)取遍所有正数当且仅当
15、; x(3)对于指数函数且，总有; 二、对数函数 (一)对数 x1(对数的概念:一般地，如果，那么数x叫做以(a为( 底(N的对数，记作:(a 底数，N 真数，logaN 对数式) 说明:?1 注意底数的限制，且; ; ? 3 注意对数的书写格式( ? x 两个重要对数: 1 常用对数:以10为底的对数lgN; ? 2 自然对数:以无理数为底的对数的对数lnN( ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果，且，M，那么: ，logaN; ? M ,logaN; N ( ? 2 loga? 注意:换底公式 logcb ，且;，且;)( (logca 1n ( logab;(
16、2) logbam 利用换底公式推导下面的结论 (1) (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数，且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，+?)( 注意:?1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如:，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数( 5 2 对数函数对底数的限制:，且( ? (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数( 2、幂函数性质归纳( (1)所有的幂函数在(0，+?)都有定义并且图象都过点(1，1); (2)幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数(特时， 别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; (3)
17、时，幂函数的图象在区间上是减函数(在第一象限 ( ) 计算: ?;2535= ; 21 log2764 1 ? 18 3.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为 22 4.若函数在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，则a= 5.已知且，(1)求f(x)的定义域(2)求使的x的取值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数，把使成立的实数x叫做的零点。 函数2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根，亦即函数2、加强家校联系，共同教育。第二章 二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 即:方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点( 3、函数零点的求
18、法: 经过同一直线上的三点不能作圆.1 (代数法)求方程的实数根; ? 64.24.8生活中的数3 P30-352 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的? (3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）图象联系起来，并利用函数的性质找出零点( 点在圆上 d=r;4、二次函数的零点: 104.305.6加与减（二）2 P57-60二次函数( 三、教学内容及教材分析：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.(1)?,，方程有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点( (2)?,，方程有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点( (3)?,，方程无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点( 1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。2222