第六讲解决问题.doc

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1、第 1 讲解决“和、差、倍的问题一、和倍问题，顾名思义就是已知大小两个数的和以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题。这部分内容主要涉及这样几个数量：和、一份数（ 或一倍量）、倍数、大数、小数。其数量关系式是：量数之和 （大数份数小数份数） =一份数（小数）一份数 倍数 =几倍数（大数）或两数之和-小数解答这类应用的关键是把小数作为标准数（一份） ，再确定大数是几份，求出份数之和，最后求出大、小数。解答这类应用题常用的方法是画线段图。例 1、甲、乙二人共加工零件 100 个，乙加工的零件个数是甲的 4 倍。甲、乙各加工零件多少个？分析：关键是确定 1 份这个标准量。如果把甲加工

2、零件个数看作 1 份，则乙就应该是 4 个 1 份，也就是 4 份，甲和乙的份数之和就是 5 份（ 14），用两数之和除以两数份数之和就可以求 1 份量，就是甲是多少， 然后再求出 4 份是多少，也就是乙加工的零件个数。解：例 2、某校学生共植树160 棵，其中男生植树的棵树是女生植树棵树的2 倍多 10 棵。男、女生各植树多少棵？分析：女生植树棵树是1 倍量，男生植树棵树是女生植树棵树的2 倍，还多 10 棵。如果从总数中去掉 10 棵，即 160-10=150（棵），150 棵对应的就是 1 2=3 倍，即可转化为例 1 形式，从而先求出女生植树棵数。解：例 3、鸡和鸭共 180 只，其中

3、鸡是鸭的 3 倍少 20 只。鸡和鸭各多少只？分析：把鸭的只数看作 1 倍量，如果把鸡的只数也增加了 20 只，那么鸡的只数就正好是鸭的3 倍，这时，鸡和鸭的总只数也增加了20 只，变成 18020=200（只），正好是鸭的只数的4 倍，从而求出鸭的只数。也可以理解为：鸡和鸭的总数180 只加上少的 20 只（ 18020=200 只）以后，总只数正好是鸭的只数的4 倍，从而求出鸭的只数。解：例 4、学校图书馆买来文艺书和科技书共 480 本，其中科技书比文艺书多 2 倍。文艺书和科技书各多少本？分析：文艺书为 1 倍量，科技书比文艺书多 2 个 1 倍量，相当于文艺书的12=3 倍。总本数

4、480 本对应的应是 1 1 2=4 倍，就可以求出文艺书的本数。例 5、甲、乙两数之和是 420，其中甲的个位是 0，若把 0 去掉，则甲是乙的 2 倍。甲、乙各是多少？分析：已知甲的个位是 0，若把 0 去掉，要是甲和乙相等，说明甲是乙的 10 倍。而此时，甲还是乙的 2 倍，说明甲应该乙的 20 倍（ 10 2），把乙作为 1 倍量，则甲、乙份数之和应是 1 20=21，即 21 份对应总和 420，用除法即可求出乙数，乙的 20 倍就是甲数。解：二、差倍问题，顾名思义就是已知两个数的差以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少的电信应用题。 它是应用两数相差多少也就是这两个相差几倍

5、，从而推出一倍数是多少。本讲主要涉及差、倍数、大数、小数、1 倍数几个概念。差倍问题的解题思路与和倍问题相似， 先要确定 1 倍量，然后找到两数的差以及对应的份数， 再用差除以它所对应的份数， 求出一份数， 然后再求出另一个数。解题关键是找出两个数的差以及份数的差，求出份是多少。基本公式：差 （倍数 -1） =1 倍数（小数）小数倍数=大数例 1、爸爸比小明大 24 岁，爸爸的年龄是小明年龄的 4 倍，爸爸和小明的年龄各是多少岁？分析：把小明年龄看作 1 倍量，爸爸的年龄就是 4 倍量，爸爸比小明多4-1=3（倍），又知道爸爸比小明的年龄多 24 岁。由此可知，多的 3 倍正好是 24 岁，就

6、能求出 1 倍量是多少， 也就是小明的年龄， 然后再求出爸爸的年龄是多少岁。解：例 2、鸡的只数比鸭的只数多 250 只，鸡的只数是鸭的只数的 3 倍多 50 只，鸡、鸭各是多少只？分析：把鸭的只数看作 1 倍量，如果把鸡的只数减去 50 只，那么鸡的只数就比鸭的只数多 250-50=200（只），鸡比鸭多 3-1=2 倍， 200 只对应的是 2 倍，可以求出 1 倍量即鸭的只数，进而求出鸡的只数。解：例 3、苹果树比梨子树多 28 棵，而且苹果树比梨树的 3 倍少 12 棵。苹果树、梨树各多少棵？分析：苹果树比梨树多 28 棵，如果苹果树再增加 12 棵，苹果树就比梨树多 28 12=40

7、（棵），这时苹果树就是梨树的 3 倍，苹果树就比梨树多 3-1=2（倍）， 2 倍多 40 棵，就可以求出 1 倍量，也就是梨树的棵数，进而可以求出苹果树棵数。例 4、第一根电线长 36 米，第二根电线长 24 米。两根电线用去同样的长度后，第一根电线剩下的长度的 3 倍。两根电线各剩下多少？分析：在没用去之前，第一根电线比第二根电线长 36-24=12 米，因为两根电线用去的长度相等， 所以第一根电线剩下的长度仍然比第二根电线剩下的长度多 12 米，把第二根电线剩下的长度作为 1 倍量，第一根电线剩下的长度就是3 倍量，第一根电线剩下的长度比第二根剩下的长度多3-1=2 倍，用两数差12 2

8、=6（米）就是第二根电线剩下的长度。解：例 5、甲桶内有油 120 千克，乙桶内有油 30 千克。现在给甲、乙加入同样多的油后，甲桶内油的重量是乙桶内油的重量的 3 倍。甲、乙各加入多少千克油？分析：加入油之前，甲桶比乙桶多120-30=90（千克），因为加入的油重量相等，所以加入油后，甲桶还是比乙桶多 90 千克，而此时，甲桶油重量是乙桶油重量的 3 倍，甲桶油应比乙桶油重量多 3-1=2 倍，用 90 2 即可求出 1 倍的量，即乙桶加入以后重多少，然后再求出加入了多少千克。解：三、和差的问题： 已知两个数的和与它们的差， 求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题。这部分内容涉及和、差、

9、大数、小数几个基本概念。解题的基本方法是：（和 差） 2=大数和-大数 =小数（和-差） 2=小数和-小数=大数解答和差应用题的关键： 首先找出两个数的和是多少， 再找出这两个数的差是多少，然后用两数的和加上两数的差就等于大数的 2 倍，除以 2 可求出大数；两数的和减去两数的差就等于小数的 2 倍，除以 2 可求出小数。而题中“差”与“和”往往不直接给出，需要通过条件转化才能求得。画线段图仍是解答和差问题的好办法。例 1、有两筐桔子，共重 120 千克，大筐比小筐重 30 千克。两筐桔子各重多少千克？分析： 120 千克就是两数之和， 30 千克就是两数之差，也就是大筐比小筐多的千克数，用（

10、和差） 2 即可求出大数，就是大筐重量。 （和 -差） 2 就是小筐重量。解：例 2、两层书架共放书 88 本，如果从上层拿出 10 本给下层，则两层书一样多。上层、下层各放书多少本？分析：从线段图上可以看出，上层给下层 10 本，上下层相等，说明原来上层应该比下层多 2 个 10 本，即 102=20(本 )，也就是上下两层的差是 20，又知两层共放 88 本，即已知上下两层之和是 88，和与差已知，可义求出原来各放多少本？解：例 3、两个连续单数的和是200，这两个单数各是多少？分析：连续单数是指像 1、3、5、7、9、11 这样的数，仔细观察可以发现，每两个连续单数之间总是相差 2，如

11、3-1=2，,5-3=2，从题意可知这两个单数的和是 200，两数之和与两数之差都已知，可以求出这两个数。解：例 4、姐姐和弟弟共有贺卡 80 张，如果姐姐给弟弟 3 张后，还比弟弟多 4 张。姐姐和弟弟原来各有多少张？分析：姐姐给弟弟 3 张，说明姐姐比弟弟多 2 个 3 张即 32=6（张），又知姐姐给过弟弟后， 还比弟弟多 4 张，可知姐姐原来一共比弟弟多 64=10（张）即 324=10（张），这也就是姐姐与弟弟贺卡的数量差，题中知道二人贺卡张数和，可以求出原来两人各多少张。解：例 5、红球、黄球共 100 个，如果红球拿出 24 个，黄球比红球多 16 个。红球、黄球原来各有多少个？

12、分析：红球拿出 24 个后，黄球比红球多 16 个，可以知道红球要比黄球多24-16=8（个）也就是两数之差，又知两数之和是 100 个，可以求出红球、黄球原来各是多少个？解：练习一1、一个长方形，周长是48 厘米，长是宽的 3 倍，求这个长方形的面积。2、有两堆木料，第一堆 50 根，第二堆 70 根，从第一堆拿多少根木料到第二堆，才可使第二堆木料数是第一堆的 3 倍？3、师傅和徒弟共加工零件100 个，师傅加工的零件个数是徒弟的2 倍少 20个。师傅和徒弟各加工零件多少个？4、李新有邮票 45 张，王磊有邮票 30 张。要使李新的邮票数是王磊的 2 倍，那么王磊要给李新多少张邮票？5、甲乙

13、两数之和是99,乙数末尾添上 0 后就和甲数相等。 甲、乙各是多少？6、陈军和张军两人共用 72 元购买奥运体育彩票， 陈军买彩票的钱数是张军的 3 倍少 8 元。问两人购买奥运体育彩票各用了多少元？7、妈妈的年龄比小明大 24 岁，今年妈妈的年龄正好是小明年龄的 4 倍。今年妈妈和小明各多少岁？8、某饲养场养鸡只数比养鸭只数多 1000 只，养鸡的只数是养鸭只数的 3 倍少 200 只。饲养场养鸡、鸭各多少只？9、某厂男工人数比女工人数的 3 倍多 15 人，男工人数女工人数多 189 人。男、女工各有多少人？10、甲、乙二人存款相等，如果甲取出 1000 元，乙存入 2000 元，那么乙的

14、钱数是甲的钱数的 3 倍。甲、乙原来各存款多少元？11、两根电线一样长，如果从第一根上剪 21 米给第二根电线，这时，第二根电线的长度正好是第一根的 4 倍。两根电线原有多长？12、两根同样长的铁丝，第一根用去 80 厘米，第二根用去 20 厘米。结果所剩铁丝，第二根的长是第一根的 3 倍。原来两根铁丝各长多少米？13、某校男生、女生共 816 人，男生人数比女生人数多 74 人，男、女生各是多少人？14、甲、乙两箱水果共 100 千克，如果从甲箱中取出 8 千克放入乙箱中，这时，甲、乙两箱水果重量相等。两箱原来各有水果多少千克？15、一个长方形操场的长与宽相差 50 米，小军沿操场跑一周 2

15、80 米。这个操场的长与宽各是多少米？16、一厂、二厂共有工人 606 人，若一厂增加 46 人，二人减少 54 人，两个厂工人人数相同。一厂、二厂原来各有工人多少人？17、王军上服装超市买衣服，花 85 元钱买了一条裤子和一件上衣。已知上衣比裤子贵 15 元，买上衣花了多少元？第 2 讲 数学魔牌二十四“数学魔牌二十四”也称为“速算二十四” 。它源于一种扑克游戏：将 54 张扑克去掉 2 张“王”，剩下的扑克便是 113 的 4 种不同图案组合。 游戏中是任意抽取四张扑克牌，在很短的时间内运用、 -、四则运算，有时还需要加上括号，使最后得数是 24。这是一个发展智力、培养能力的很好的游戏，它

16、需要有敏捷的思维，灵活的计算技巧，并经济加以练习才行。 “速算二十四”有许多奇妙的组合，非常有趣，并被人们广泛地应用。首先来介绍一下数的组合：第一种组合： 4 张牌数字相同。如：(1)3、3、3、3333-3=24(2)5、5、5、555-55=24第二种组合： 4 张牌两两数字相同。如(1)1、1、4、4（114） 4=24(2)2、2、3、3（22）（ 33）=24(3)4、4、5、555-44=24(4)5、5、7、75577=24第三种组合： 4 张牌是连续自然数。如：(1)1、2、3、4（ 1 2 3） 4=24(2)5、6、7、8【5-（ 8-7）】 6=24第四种组合： 4 张牌

17、中有两张数字相同，两张数字不同。如：(1)2、2、5、6（5-22） 6=24(2)1、4、4、6（16） 4-4=24第五种组合： 4 张牌的数字都不相同。如：(1)8、7、11、6【 8-（11-7）】 6=24(2)7、5、2、6（ 7-5） 6 2=24还有许多奇妙的组合， 这里先介绍这几种。 小小的数字， 简单的四则运算符号，能使数学变化多端， 其乐无穷， 到底有什么窍门呢？下面我们就来通过具体例子来进行一些探索。例 1、2，2，4，8（1）把 8 固定。 （ 2）把 4 固定。（ 3）2 固定。分析：得数是 24 必须先想两个数如何凑24。38=2446=242 12=24124=

18、24241=24482=24204=24168=24 等等。解：【有专家统计， 数学魔牌凑 24 共有 404 道题，变化无穷的数字和符号， 带着你的思维像在跳体操，一会儿是这种组合，一会是那种组合，十分美妙。其中方法用的最多的还是38,46,212。下面我们再探索一下别的窍门。1、抓同数相除得 1，相邻自然数相减得1。在 404 道魔牌题目中， 有些题目很特别， 它们都与 1 有关，下面我们就巧妙地抓住 1 解开一道魔题。例 2、3，6，7，8 （1）把 8 固定。 （2）把 6 固定。解：例 3、5，5，6，6解：当魔牌中 4 个数里出现两个相同数时， 可将两个相同数固定， 将其他两个凑成

19、相应的数来凑成 24。例 4、（1）2、3、3、 5 把 3 固定（2）2、2、3、8 把 2 固定（ 3）2、5、6、6把 6 固定（4）4、7、8、8把 8 固定（5）3、4、4、9 把 4 固定解：练习二1、(1)4、 4、 4、 4(2)6 、6、6、62、(1)1、 1、 5、 5(2) 1、1、6、6(3) 2、2、4、4(4)2、2、7、7(5)3、 3、 5、 5(6)4、 4、 8、 8(7)5、 5、 8、 8(8)5、 5、 10、103、(1)2、 3、 4、 5(2)3、 4、 5、 6(3)4、 5、 6、 7(4)6、 7、 8、 94、(1)1、 2、 6、 6

20、(2)2、 2、 4、 9(3)3、 3、 4、 7(4)3、 4、 4、 4、5、(1)3、 5、 5、 8(2)2、 3、 4、 8(3)3、 5、 6、 9(4)4、 5、 3、 3(5)1、 2、 9、 11(6)7、 2、 5、6第三讲相遇、行船的问题一、小学数学应用题中， 行程问题是其中的一大主要学习内容， 而且在各种数学竞赛中都离不开这类应用题。 它内容丰富，形式多样，变化多端，贴近生活，同学们学起来饶有趣味，是数学学习中的一大快餐。行程问题所涉及的其本数量关系式是：速度时间 =路程路程时间 =速度路程速度 =时间相遇问题和追及问题是行程问题中的两种主要类型。 这一讲我们先来学习

21、相遇问题。相遇问题可有两种情况： 相向相遇和反向相遇。 一般情况， 相向相遇的形式多一些，作为主要学习内容。它的特点是：两个运动着的物体从两地出发，相向运动，越行越接近，到一定时候二者可以相遇，两个运动物体同时起行，相遇时所用的时间相同。例 1、小秋和小冬分别住在一条街东西两头，两家相距 810 米。两人同时从家中出发相向而行，小秋每分钟走 40 米，小冬每分钟走 50 米，问：（1）他们经过多长的时间相遇？（ 2）5 分钟时，他们还相距多少米？（3）15 分钟时他们相距多少米？分析：（ 1）根据题意，小秋和小冬家相距810 米，称为总路程。小秋每分走 40 米，小冬每分走 50 米，可知小秋

22、和小冬同时走 1 分钟共行路程是 4050=90（米），我们把它称为速度和， 810 米里有几个 90 米就是走了几分钟。解：分析：（ 2）根据题意，小秋和小冬每分钟共行 4050=90（米），5 分钟可以行 905=450（米），用总路程减去两人行了的路程就是还没有行的路程，也就是他们还相距多少米。解：分析：根据题意， 15 分钟时他们相距多少米，就是他们相向走了 9 分钟相遇，这时他们相距为 0，然后相背（或反向）而行，又走了 15-9=6（分钟），这时两人反向相离的路程。解：￥根据以上例子，我们可以总结出相遇问题中数量之间的基本关系式是：速度和相遇时间 =总路程总路程速度和 =相遇时间总

23、路程相遇时间 =速度和总路程相遇时间 -一个速度 =另一个速度解相遇问题， 我们必须熟练掌握有关的数量关系式， 此时，应借助于线段图来直观地分析和理解题意，以突破题意的难点。例 2、甲、乙两人骑自行车同时从A、 B 两地出发，相向而行，甲每分钟行200 米，乙每分钟行220 米， 15 分钟后两人相遇，求A 、B 两地的距离。分析：此题根据数量关系就能直接求出，求 A 、B 两地的距离就用速度和相遇时间 =总路程。解：例 3、一辆客车和一辆货车同时从 630 千米的两地相相向而行， 客车的速度是每小时 50 千米，货车的速度是每小时 55 千米，问几小时后两车相距 105 千米？分析：两车在相

24、距 630 千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距 105 千米，这时两车共行的路程是 630-105=525（千米），然后根据总路程速度和 =相遇时间解：例 4、慢车从甲地开往乙地，开出 1 小时后，离甲地 40 千米，这时，快车从乙地开往甲地，快车开出3 小时后两车相遇。已知甲、乙两地相距340 千米，求快车的速度。分析：慢车开出 1 小时后，离甲地 40 千米，说明慢车的速度为每小时 40 千米。也说明慢车比快车先出发 1 小时，行了 40 千米后，快车才出发。那么快车用了 3 小时与慢车相遇，这个 3 小时是两车共同用的时间。共同行的路程340-40=300（千米）

25、，然后用路程相遇时间-一个速度 =另一个速度进行求解。解：例 5、甲、乙两列火车从相距 770 千米的两地相向而行，甲车每小时行 41 千米，乙车每小时行 45 千米，甲车先出发 2 小时后，乙车才出发。乙车行几小时后与甲车相遇？分析：甲车先出发 2 小时，所行的路程是 41 2=82（千米），这时乙车才出发，那么甲、乙同时相向而行的路程是 770-82=688（千米），然后用路程速度和 =相遇时间，便可求出乙车用的时间。解二、行船问题是行程问题中的一种特殊的题型， 它是指船在流水中航行的问题。除了具有的路程、 速度和时间之间基本的数量关系外， 同时还涉及水流的问题。行船问题涉及的数量有：船速

26、、水速，顺水速度和逆水速度。它们的含义是这样的：船在静水中航行的速度叫船速；江河水流动的速度叫水速； 船从上游向下游顺水而行的速度叫顺水速度；船从下游逆水而行的速度叫逆水速度。各种速度之间的关系：顺水速度 =船速水速逆水速度 =船速 -水速（顺水速度逆水速度）2=船速（顺水速度 -逆水速度） 2=水速例 1、甲、乙两港间的水路长 270 千米，一只船从甲港开往乙港，顺水 9 小时到达，从乙港返回甲港，逆水 15 小时到达，求船在静水中的速度和水流的速度。分析：根据题意，要想求出船速和水速， 必须先求出顺水速度和逆水速度，顺水速度用路程顺水时间求得： 2709=30（千米 /小时），逆水速度用路

27、程逆水时间求得： 270 15=18（千米 /小时），然后根据上面的基本数量关系求出船速和水速。解：例 2、一艘船顺水行 360 千米需用 9 小时，水流速度为每小时 15 千米，这艘船逆水每小时行多少千米？这艘船逆水行这段路程需用几小时？分析：由顺水行 360 千米需用 9 小时，可以求出顺水的速度为： 3609=40 （千米 /小时），由顺水速度每小时 40 千米和水流速度每小时 15 千米，可以求出船在静水中的速度为： 40-15=25（千米 /小时），再由船速每小时 25 千米和水流速度每小时 15 千米，可以求出逆水速度为： 25-15=10（千米 /小时），那么这艘船逆水行 360

28、 千米需用的时间为 36010=？小时。解：例 3、一艘轮船从甲码头开往乙码头，顺水而行每小时行 28 千米，返回甲码头时逆水而行用了 8 小时，已知水速是每小时 4 千米，甲、乙两码相距多少千米？分析：根据顺水速度- 水速 =船速，可求出船在静水中的速度为：28-4=24（千米 /小时）。再根据船速 -水速 =逆水速度，可求出逆水速度为：24-4=20（千米/小时）。最后由逆水速度时间=路程求出两码头的距离：208=160（千米）。解：例 4、一条大河的水流速度是每小时 3 千米，一只船在河中行驶，如果船在静水中的速度是每小时行 13 千米，那么这只船在河中顺水航行 160 千米需要几小时？

29、如果按原航道返回，需要几小时？分析：求顺水航行 160 千米需要几小时，必须先求出顺水的速度。由船速水速 =顺水速度，求出顺水速度为 133=16（千米 /小时）。再用 16016=10 （小时），求出了顺行需要的时间；按原航道返回，船程仍是 160 千米，要求逆回需要时间，必须先求出逆水速度。由船速 -水速 =逆水速度，求出逆水速度为13-3=10（千米 /小时）。再用 16010=16（小时），求出了逆行需要的时间。解：练习三1、两辆摩托车同时从甲乙两地相对开出， 一辆摩托车每小时行 62 千米，另一辆摩托车每小时行 65 千米，经过 5 小时相遇。甲、乙两地相距多少千米？2、A 、B 两地相距 70 千米，小孙和小万分别从 AB 两地骑自行车同时出发，相向而行，小孙每小时行 18 千米，小万每小时行 17 千米，问两人几小时后相遇？3、一个圆形跑道的周长是 500 米，两个学生同时从同地相背而行。甲每分钟走 65 米，乙每分钟走 60 米，经过几分钟才能相遇？4、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距 800 千米的两地出发，相向而行，汽车每小时行 45 千米，摩托车每小时行 55 千米， 6 小时后两车还相距多少千米？