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1、（16）算术漫谈洛书转盘与勾股乘方 转 中国人很早就知道“勾三股四弦五” ，现存于世的古老天算著作周髀算经就记载了这一结果。一般来说，直角 三角形的两直角边平方和等于斜边的平方。三三而九，四四 十六，五五二十五，正好有这样一种加法关系。当年，文渊阁大学士李光地 （公元 1642年 1718 年），奉康熙 皇帝之命，率四十九名进士，编纂周易折中 ，搜罗百代 之精华，集萃前贤之大成。此书附有易学启蒙篇章，开河洛 勾股之先河。后继者江永 （公元 1681年 1762 年），字慎修，著作河洛精 蕴。江永七十九岁时，作此书，阐奥发微，一生研究所得， 尽在其中。二位大儒的著作，在清代，产生了非常深广的影响
2、。九数这 篇短文的题目“勾股乘方”四字就取自河洛精蕴 ，在他 们的基础上，我稍微作了点引申。四九二三五七八一六（一）洛书转盘 看了古人留下的许多洛书图式，我认定万年淳的外圆内方洛 书图式最适合表现转盘旋机结构。 在洛书旋机与全息结构 这篇短文中，我们引过一句话天道左旋，地道右转。这 是古人留下的观点， 在洛书中， 可以有非常简明的数字表现。1 阳数天盘，九，口三，七，一，口左旋三倍：一三九七一三：1*3=3，化为 1*3 三 3 （模 10）;三九：3*3=9，化为3*3三9 （模10）;九-七：9*3=27，化为9*3三7 （模10）;七一：27*3=81，化为 7*3 三 1 （模 10）
3、右旋七倍：一七九三一七：1*7=7，化为 1*7 三 7 （模 10）;七九：7*7=49，化为 7*7 三 9 （模 10）;九三：9*7=63，化为 9*7 三 3 （模 10）;三一：3*7=21，化为 3*7 三 1 （模 10）。2 阴数地盘四，二，八，六右旋七倍：二四八六二四：2*7=14，化为 2*7 三 4 （模 10）;四八:4*7=28，化为4*7三8 （模10）;八:8*7=56，化为 8*7 三 6 （模 10）;六二：6*7=42，化为 6*7 三 2 （模 10）。左旋三倍：二六八四二六：2*3=6，化为 2*3三6 （模 10）;六八: 6*3=18，化为 6*3
4、三8 （模 10）;八四：8*3=24，化为8*3三4 （模10）;四二：4*3=12，化为 4*3 三 2 （模 10）。很明显，这里写成模 10 的同余式，是用观察乘法所得的结 果来描述转盘数字循环模式的。洛书口诀中，有一句“左三右七” ，我们这里正是用这种模 式来解释的。左旋三倍，右旋七倍，这是对天盘和地盘都适 用的统一模式。可以说，这是最佳的选择。（二）周期循环在周易折中里，记有“河图为加减之原，洛书为乘除之原”的说法。实际上，在洛书中有完全的加减乘除四则算术规律。从乘方的角度来看洛书，更能够展现出旋转的特点。1阳数天盘，九，口三，七，一，口一的乘方个位数字总是按照一循环，周期为一。三
5、的乘方个位数字总是按照三九七一循环，周期为四。七的乘方个位数字总是按照七九三一循环，周期为四。九的乘方个位数字总是按照九一循环，周期为二。1A1=1 ; 1A2=1 ,3A1=3, 3A2=9 , 3A3=27, 3A4=81 ; 3八5=243 ,7A1=7, 7八2=49, 7八3=343, 7八4=2401 ; 7八5=16807,9A1=9， 9A2=81 ； 9A3=729，2阴数地盘四，二八，六二的乘方个位数字总是按照二四八六循环，周期为四 四的乘方个位数字总是按照四六循环，周期为二。 六的乘方个位数字总是按照六循环，周期为一。八的乘方个位数字总是按照八四二六循环，周期为四2A1=
6、2 , 2A2=4 , 2A3=8 , 2A4=16 ; 2A5=32 ,4A1=4 , 4八2=16 ; 4八3=64 ,6A1=6 ; 6A2=36 ,8八1=8, 8八2=64 , 8八3=512, 8八4=4096 ; 8八5=32768，3 河洛对照非常有趣的是，前面归纳的洛书中乘方个位数字规则，如果 放在河图中看，正好是同类的居相同方位。 七口 二口八三五四九 一 六 二七，南方火，恰好周期都为四，在洛书中反时针。三八，东方木，恰好周期都为四，在洛书中顺时针。 四九，西方金，恰好周期都为二。对于这些数来说， 有一个共同的特点， 无论各自周期是多少，五次方的结果，其个位数字总回到该数
7、本身。写成同余式，即 aA5= a （模 10）。（三）卍字螺旋我们从卍字符的角度看洛书，将洛书划分为四条螺旋臂。四三五，二九五，六七五，八五。这里的数字排列，是从边缘走向中心数字五。四，九，二三，五，七八，一，六仔细看，四T三T五，这分明是勾三股四弦五的模式。难道 这洛书也能够和勾股定理连上？是的，当年江永就是这样看 的。为此，他作了四幅洛书勾股图，每条螺旋一幅图（注： 万字的形成与勾股定理和弦图都有密切关联，与洛书也直接 相关）。也许有人会问，那“二T九T五”呢？这也难不住江永，他 用前面的“左旋三倍”乘法规则来解释。四T三T五：4A2+3A2=5A2二T九T五：12A2+9A2=15A2
8、六T七T五：36A2+27A2=45A2八一五：108A2+81A2=135A2注意到卍字符是旋转的，上面的模式还可以继续下去。四三五：324A2+243A2=405A2二九五：972A2+729A2=1215A2六七五：2916A2+2187A2=3645A2八ff 五：8748八2+6561八2=10935八2勾 3f 9f 27f 81f 243f 729f 2187f 6561 f 股 4f 12f 36f 108f 324f 972f 2916f 8748f 弦 5f 15f 45f 135f 405f 1215f 3645f 10935f 很明显， 卍字符每旋转四分之一圆周， 数字
9、就都扩大三倍了， 如此循环下去，直至无穷。在这个变化过程中，洛书中的数 字，记录的正好是所得大数的个位数字。就这样，小小的洛 书中，存储了无数的勾股弦数字组合。（四）黄金比例黄金比 0.6 1 8 ，这是西方人认识的奇妙数字。许多人都 认为，这个数字也写在洛书里面了。因为我们分明看见洛书 最下方排列的是“八一六” ，如此离黄金比也就不远了。人 们可以用这三个数字写出一个小数0.6 1 8，这正好是黄金比的近似值。四，二八，六请注意观察偶数在洛书中的排列，按照顺时针方向，从左上 角开始，正好是四二六八。非常有趣的是， 4+2=6 ， 2+6=8 ， 6+8=14 ，这里 14 的个位数字正好回到
10、了出发点4。这里， 并没有按照“左旋三倍”的乘法来看，而是不断的作加法，这 正是黄金数列的生成规则！继续演算下去， 8+14=22 ， 14+22=36 ， 36+58=94 ， 58+94=152 ， 94+152=246 ， 152+246=398 。就这样，我们得出了一个序列： 4， 2， 6， 8， 14， 22， 36，58, 94, 152, 246, 398,很明显这个序列的个位数字 恰好是按照4-2-6-8的顺序循环出现。一般来说, x1=4 , x2=2 , xn+xn+1=xn+2 ,由此就可 以完全确定这个序列。由于这个序列与斐波那契数列的生成 规则一致,都是 xn+xn
11、+1=xn+2 ,因此同样会有相邻二 项的比值xn : xn+1越来越接近0.618（黄金比）。我们算几个例子看一下吧。22/36=0.61111，58/94=0.61702 ，94/152=0.61842 ，246/398=0.61809 。好几个世纪以前，一位德国人开普勒说过，几何学里有两大 宝藏， 一个是勾股定理， 一个是黄金比例。 非常有意思的是， 人们按照易的象数思维，这两大宝藏竟然都和洛书连上了。也许是因为洛书的地位实在太崇高吧，人们总是想尽可能的 往洛书里面多装点好东西。有时候，我在想，八卦就是一只葫芦，里面装着天地间无数 的真宝。八卦如此，河图洛书也是如此，天干地支甲子五行 还
12、是如此。这是典型的东方人发展学术的方式，后人为前人 注解的时候，这个“注”字生动的表达了又有新的东西注入 其中了。这个过程，就是往葫芦里装宝的过程。（五）算术妙趣从前，有一位法国人，非常喜欢东方文化，尤其是对中国的 洛书河图八卦有极大的兴趣，花了大量的时间学易。非常有 趣的是，这位法国人竟然从洛书中领悟了一个有趣的数字排 列。四，九，二三，五，七 八，一，六他发现，在洛书中，按照“三T八T T六T五T四T七T 二T九”这样的顺序取数，可以得出一组非常奇妙的数字。依次得出的是一位数到九位数： 3， 38， 381， 3816， 38165 ， 381654 ， 3816547 ， 3816547
13、2 ， 381654729 。请看下面的除法计算。一位数字：三，3 + 1=3;二位数字：三八，38 + 2=19;三位数字：三八一， 381 + 3=127;四位数字：三八一六，3816 + 4=954;五位数字：三八一六五，38165 + 5=7633;七位数字：三八一六五四七，3816547 + 7=545221 ;八位数字：三八一六五四七二，38165472 + 8=4770684;九位数字：三八一六五四七二九，381654729 + 9=42406081他的发现是， 在这个顺序中， 取几位数， 该数就是几的倍数。 需要注意的是，“三-八-一 ”与“七-二-九”正好在洛 书中处于中心对
14、称的位置。你看，这位法国人的发现确实非 常有趣呢！ 这样的一种数字研究，对于古代的中国人来说，是非常陌生 的。因为这完全是西方人的传统，他们受古希腊的影响，重 视几何和素数。算数，对于古代的中国人来说，就是加减乘除乘方开方，并 不关心数之间的分解与合成，也就没有素数合数这样的内容 了。在二千多年前，中国人并没有素数的概念，这是当时希 腊人的文化。算筹算盘这些算具的发明，意味着古代中国人 擅长的是计算。注：道德经：道生一一生二生三，若以道为零，则其中顺序 涉及五个数： 零一一二三， 恰好为斐波那契数列的前五个数， 该五个数可以隐含三条规则： 0+1=1 ，1+1=2，1+2=3，根据 数学归纳法，第一条、第二条规则为归纳，对应，入和证， 第三条规则为验证，对应合，则可以归纳出全套斐波那契数 列，故后有“三生万物”句。黄帝内应云：五日为一侯，所 其中涉及的五个数字恰乃构成一侯。