《(完整word版)等比数列知识点总结与典型例题(精华word版),推荐文档.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整word版)等比数列知识点总结与典型例题(精华word版),推荐文档.docx（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、等比数列知识点总结与典型例题20,第2页共12页1、等比数列的定义:anan 1n 2,且n N , q称为公比2、通项公式：ann 1 a1 naq q qnA B a1q 0,AB 0 ,首项：a公比：qan n m am推广：anamqnn m Kq 一qam3、等比中项:(1)如果a, A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2 ab或A VOb注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(2)数列an是等比数列an2an 1 an 14、等比数列的前n项和Sn公式:(1)当q 1时,Snna1(2)当q 1时,Sna1 1 qn1 qa1 anq1 qa1a1
2、n1 q 1 q qA Bn ABn A(A,B,A,B为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义：对任意的n,都有an 1qan或an1 q(q为常数，an 0) an为等比数列 an(2)等比中项：an2 an 1an 1(an 1an 10)an为等比数列(3)通项公式：an A Bn A B 0an为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a-q q 0 n 2,且nan 1*3N 或 an 1qanan为等比数列7、等比数列的性质:(2)对任何m, n N ,在等比数列an中，有ann mamq。*、(3)右m n s t(m,n,s,t N ),则an am as at特别
3、的，当m n 2k时，得an am aj注：a1 ana2 an 1a3an 2等差和等比数列比较:等差数列等比数列定义an 1 an dan i/q(q 0) an递推公式anan 1 d ? an am n mdn ma n an 1q ； a n amq通项公式ana1(n 1)dn 1anaiq( ai ,q 0)中项an k an k z*、A n k 2 n k (n,k N ,n k 0)*-、/,*Gan kan k(an kan k 0) (n,k N , n k 0)前n项和nSn 万(aian)Q na Mn - zS n nadn2nai(q 1) n Sn ai 1
4、qai anqi n (q 2)1 q1 q重要性质am an ap aq，一*、(m, n, p,q N ,m n p q)a m an a p a q,- . *、(m, n, p, q N ,m n p q)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1.等比数列an中，31a964,a3a720 ,求 a11.思路点拨：由等比数列的通项公式,q ,可得aii ;或注意到下标1 9通过已知条件可列出关于 诩和q的二元方程组，解出ai和3 7 ,可以利用性质可求出33、37,再求aii.解析:法一：设此数列公比为q ,则aia9a38ai aq2a7 aq64aiq6 20由(2)得：aiq
5、2(i q4)20(3), , a1 0 .由(i)得：(aiq4)2 64 ,aiq4 8 (3) (4)得:i q42q2082q4 5q2 2 0,解得 q2 2 或q2 -2当 q2 2 时，a1 2, a a1 qi0 64；当 q2 1 时，a1 32, a a q10 1 .2法二：V a a9 a3 a7 64，又 a3 a7a7为方程x220x 64 0的两实数根,a3a746 或 a：416, a3 alla7 , , a112a7a31 或 aii64 .总结升华: 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量;解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常
6、常整体代入以达降次目的，故较多变形要用 除法（除式不为零）.举一反三:【变式1an为等比数列，a1=3, a9=768,求a6o【答案】均6法一：设公比为 q,贝U 768=aiq8, q8=256, a q=i2, .市=均6;法二：a5 o=aia9 a5=48 q=立，/=96。【变式2 an为等比数列，an0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【答案】64；.2 a1a89a45 16,又 an0, - a45=4 a44 a45 a463a4564 o第5页共12页【变式3】已知等比数列an,若a1 a2 a3 7 , a1a2a3 8 ,求an。【答案】an 2n1或a
7、。 23n；法一：aa32a2 ，aa2 a33a28 , . . a22从而 a1aa aiq aq8aqq2) 7, a(1qq2)7,(1)a；q38&q2(2)：解之得 a1 1 , a3 4 或 a1 4, a3 1aa34一 一.1当 a1 1 时，q 2 ;当 a1 4 时，q 。 2故 an2n 1 或 an23 n。法二：由等比数列的定义知a2a1q , a3a1q22 i代入已知得a1a1qa1q7,2 一将 ai 一代入（1）得 2q 5q 2 0 ,qi解得q 2或q 一21a1 4由（2）得a1或 1,以下同方法q 2q -2类型二：等比数列的前n项和公式 例2.设等
8、比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.解析：若 q=1,贝有 S3=3ai, S6=6ai, S9=9ai.因aiwq彳4 S3+S6W2s显然q=1与题设矛盾，故qw1.由 S3 S6 2S9 得，X)山D 2a1(1 q9) 1 q 1 q 1 q整理得 q3(2q6-q3-1)=0,由 qwQ 彳42q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q3w故q3,所以q o22举一反三：、， 1 1的前6项和。364o243【变式11求等比数列1,1,1,L3 9364；243a11 ，61313【变式2】已知：an为等比数歹I,aa2a3=27,S3
9、=13,求 S5.121 【答案】121或目9.3, a227a2 3,13a1(1 q3)1_.、一，则 a1=1 或 a1=931 351 3121 或 S.5=1-535二3【变式3】在等比数列a。中,ai an 66 ,a2 an ii28 , Sn i26 ,求 n 和 q。【答案】q工或2, n 6； 2- a2 an iai an,aian i28解方程组al an i28 ，曰 ai，得a an 66an64或aian64将aian64代入&2aianqi q由anaqn i ,解得 n6；将ai 2代入Snan 64 naianq2,由anaqn i ,解得 n6。第5页共i
10、2页类型三：等比数列的性质例3.等比数列a。中,a5a69,求 log3a log 3 a2. log3aio.解析:.an是等比数列，.a1 a10a2a9a3 a8a4 a7a5 a69 log 3 ailog 3 a2log3 aiolog3(ai a2 a3L aio),，、55log3(a5 a6)log39 io举一反三:【变式 il 正项等比数列an中,若 ai aioo=ioo；则 lgai+lga2+lgaioo=【答案】ioo；ioo)lgai+lga2+lga3+lgaioo=lg(ai a2 a3 而 ai aioo=a2 a99=a3 a98=a5o a5i,原式=l
11、g(ai aioo)5o=5oig(ai aioo)=5o igioo=ioo。【变式2】在274aa5 aiq32和红之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 32【答案】2i6;法一：设这个等比数列为an,其公比为q,4 8i-q , q , 3i663 216。法二：设这个等比数列为an,公比为q,则8327注万，.2336. a2 a? a4aq aqa1qa q第9页共12页加入的三项分别为a272由题意ai , a3, a5也成等比数列，.二a2.23 a? a ada3 a3 a3 216 o类型四：等比数列前n项和公式的性质例4.在等比数列an中，已知Sn
12、48,S2n 60 ,求 S3n。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一：令 b仁Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12, b3=S3n-S2n观察 b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an),b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)b2 122易知b1,b2,b3成等比数列，；b3包12 3,h 48. S3n=b3+S2n=3+60=63.法二: S2n 2Sn , q 1 ,ad1 48 由已知得
13、1 qa1(1 q2n)60 1 qO得1 qn 5 ,即qn144代入得a164 ,1 qa1(1 q3n)1. S3naiA_q_L 64(1 ) 63。1 q43法三：.an为等比数列，：Sn,S2nSn,S3nS2n也成等比数列J,;(S2nSn)2Sn(S3n&n),(Sn S)2(60 48)2.gn J) S (860 63。648举一反三：【变式U等比数列an中，公比q=2, S4=1，贝U S8=.【答案】17;S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+aiq4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(ai+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1 41+2
14、4)=17 【变式2】已知等比数列an的前n项和为Sn,且Sio=10, 1=40,求:S30=?【答案】130;法一：S10, S20-S10, S30-S20 构成等比数列，.二(S20-S10)2=S10 (S30-S20)即 302=10(S30-40),630=130.法二：:2S10W20,. q 1 ,a1 (1 q10)a1(1 q20)S10 10,S20 -40,1 q1 q 1 q101 . 10a1;h20 二，-q3 , 51 q 41 q30c S30-1q- ( 5)(1 33) 130.1 q【变式3】等比数列an的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560,
15、前n项中最大的一项为54,求 n.【答案】: 旦&，；q 1(否则邑-) S2n6560S2n2.Sn 翻1 q ) =80 (1)1 qS2n -1 q )=6560，1 q(2) (1)得：1+qn=82,；qn=81(3)二.该数列各项为正数，由 知q1an为递增数列， an为最大项54. an=a1qn-1=54,； a1qn=54q, 81a1=54q(4)54224 ；q 二q 代入(1)行二q(1 81) 80(1 q), 8133q=3, n=4.【变式4】等比数列an中，若a1+a2=324, a3+a4=36,则a5+as=第7页共12页【答案】4;令 bi=ai+a2=a
16、i(1+q), b2=a3+a4=aiq2(1+q),b3=a5+a6=aiq4(1+q),b2362易知：bi, b2, b3成等比数列，. b3=一=4,即 a5+a6=4.b1324【变式5】等比数列an中，若ai +a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。【答案】448; an是等比数列，(a4+a5+a6)=(ai+a2+a3)q3,q3=8, 3 , - a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q =56 8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例5.已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32,则成等差数列.若再将此等差 数列的第二项减去4,则又成
17、等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并 将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数歹！J .a2 (a d)(a d 32)(1)(a 4)2 (a d)(a d)(2).2由(2)得 a=d(3)8由(1)得 32a=d2+32d(4)代(4)消a,解得d 8或d=8.当 d 8时,a 26;当 d=8 时,a=1039原来三个数为2,26,338或2,10,50.9 99法二：设原来三个数为a, aq, a(2,则a
18、, aq,a(2-32成等差数列，a, aq-4, a-32成等比数列 _2.2aq a aq32.(1)22 _(aq 4) a(aq 32)(2)2由(2)得a代入(1)解得q=5或q=13q 4,一一2当 q=5 时 a=2;当 q=13 时 a -.9原来三个数为2, 10, 50或二，受，338. 999d,总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为aa, a+d；若三数成等比数歹J,可设此三数为 x , x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式11 一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4,
19、那么所得的三项就成为等差数列， 如果再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数 列.【答案】为2, 6, 18或2, -,50； 99 9设所求的等比数列为a, aq, aq2;贝U 2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32)；2解得 a=2, q=3 或 a - , q=-5;9故所求的等比数列为2, 6, 18或2, 10,50.99 9【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27,它们的平方和为91,求这三个数【答案】1、3、9或一1、3、9 或 9、3、1 或一9、3、一1第14页共12页设这三个数分别为a,a,aq, q
20、由已知得aa aq 27 q2a 22 22 a a q q91a 3a2(4 q2 1) 91 q1得 9q4 82q2 9 0 ,所以 q2 9 或 q2 -,9故所求三个数为:1、3、9 或一1、3、9 或 9、3、1 或一9、3、一1 o【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第 四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.【答案】0, 4, 8, 16或 15, 9, 3, 1;设四个数分别是x,y,12-y,16-x.2y x 12 y.(1)(12 y)2y(16 x).由(1)得 x=3y-12,代入(2)得 144-24y
21、+y2=y(16-3y+12) 144-24y+y2=-3y2+28y, 4y2-52y+144=0, .y2-13y+36=0, . y=4 或 9,x=0 或 15,四个数为 0, 4, 8, 16或 15, 9, 3, 1.类型六：等比数列的判断与证明例6.已知数列an的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n C N+),求出数列an的通项公式，并判 断an是何种数列？思路点拨：由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.解析：. log5(Sn+1)=n,. .Sn+1=5n, . .&=5n-1 (n N+),a1=S1=51-1=4,当 n2时，a
22、n=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4 5n-1而 n=1 时，4 沟n-1=42,有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)Cn=2n+3n, . (2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)H(2n+3nAp(2n-1+3n-1)即(2-p) 2n+(3-p) 3n 2=(2-p) 2n+1+(3-p) 3n+1 (2-p) 2n-1+(3-p) 3n-1 1c c.整理得：(2 p)(3 p) 2 30,解得：p=2 或 p=3,6显然Cn+1-pCnWQ故p=
23、2或p=3为所求.【变式2设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列J Cn不是等比数列J .【证明】设数列an、bn的公比分别为p, q,且pwq为证Cn不是等比数列，只需证Ci C3 C2.-2、22 2.22 C2 (a1P b1q)a1P b q2a1blpq,/1-2.2、22.22 i,22、CiC3(a1b1)(apbq )apbqapq )2，/、2 Ci C3 C2 abi( p q),又; pwq, /0, b0,C20 即 C1 C3第16页共12页数列Cn不是等比数列.【变式3】判断正误：(1)a n为等比数列a7=a3a4 ；(2)若b又i0S
24、ni an i5an i 6(n2),=ac,则a, b, c为等比数列；(3)an, bn均为等比数列,则anbn为等比数列;an是公比为q的等比数列，则a；、1 仍为等比数列;an(5)若 a, b, c成等比，贝 logma, logmb, logmc成等差.【答案】(1)错；a7=aiq ai=2, . an=5n-3., a3a4=aiq2 aiq由-得 i0an(a： a2 i)5(anan i),即(anan i)(anani 5) 0 ; an+an-i 0,an-an-i=5(n 2).当 ai=3 时，a3=i3, ai5=73, ai, a3, ai5不成等比数列=ai2
25、q二 ai w 当 ai=2 时，a3=i2, ai5=72,有 a32=aiai5,等比数列的下标和性质要求项数相同；(2)错；反例：02=0X0,不能说0, 0, 0成等比；(3)对；anbn首项为aibi,公比为qiq2； i2 an i2 an ii对；一2- q，下 一；anqan(5)错；反例：-2, -4, -8成等比，但logm(-2)无意义.类型七：Sn与an的关系例7.已知正项数列an,其前n项和Sn满足i0Sna25an6 ,且ai,a3,ai5成等比数列,求数列an的通项an. 2 解析：.i0Sn an 5an 6,2 .i0ai ai 5ai 6 ,解之得 ai=2
26、 或 ai=3.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是ana1(n 1)，尤Sn Si (n 2)其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b(a *1)则数列an是等比数列；命题2：若 数列an的前n项和Sn=na-n,则数列an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中， 真命题为 个.【答案】0;由命题 1 得，a1=a+b,当 n2时,an=Sn-Sn-1=(a-1) an1.若an是等比数列，则a,即aa) a, a1a b所以只有当b=-1且aw。时，此数列才是等比数列.由命题 2 得，a1=a-1,当 n22 时，an=Sn-Sn-1=a-1 ,显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a-1WQ即awl时数列an才又是等比数列.