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1、哈尔滨市第六中学 20182018 届高三第四次模拟考试 数学试 卷（理工类） 第 卷（选择题 共 6060分） 一、选择题：本大题共 1212小题，每小题 5 5 分，共 6060分在每小题给出的四 个选项中，只有一个是符合题目要求的 1. 已 知 集 合 M x | x2 +2x+30 , N y | y 3sin x, x R， 求 M N ( ) A. 2, 3 B. 2, 3) C. 3, 4 D. (3, 4 1 2i 3 2.已知 a 为实数，若 ，则实数 a 的值为（ ） a i 2 1 A. 1 B. C. D. 2 2 1 3 cos( ) 3cos 2 2 3.已知 ，则
2、 tan（ + ） （ ） sin cos( ) 2 A. 5 B. 5 C. 1 D. 5 1 5 4.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人 苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“”我羊食半马 马主曰：“”我马食半牛 今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗， 禾苗主人要求赔偿 5 斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马 主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿 还 多少?已知牛、马、羊的主人应偿还 a 升， b 升， c 升，1 斗为 10升；则 下列判断正确的是（ ） 50 A. a,b,c 依次成公比为
3、2 的等比数列，且 a 7 50 B. a,b,c 依次成公比为 2 的等比数列，且 c 7 1 50 C. a,b,c 依次成公比为 的等比数列，且 a 2 7 1 50 D. a,b,c 依次成公比为 的等比数列，且 c 2 7 1 5.已知 a b 4 ，若 a 在b 方向上的投影为 2 , 且 在 方向上的投影为 3，则 和 的夹角 b a a b 3 等于（ ） A 3 B 6 C 2 3 D 3或 2 3 6.对于不重合的两个平面, ，给定下列条件：（1）存在直线l ，使得l ,l ；（2） 存在平面 ，使得 , ；（3） 内有不共线的三点到 的距离相等；（4）存在异 面直线l,m
4、 ，使得l A，l A,m A,m A .其中可以判定 A 的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 1 1 7若 ，则下列结论正确的是（ ） 0 a b b a A. a2 b2 B. 1 1 1 2 2 b a C. 2 D. aeb bea a b 8若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形， 俯视图为边长为 2 的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ） A. 2 B. 2 3 C. 3 D. 2 2 开始 9. 已知曲线 y x3 3x 和直线 y x 所围成图形的面积是 输入十进制 x m (x m)5 x3 ，则 的展开式中 项的系数为（ ） n=0 n=n+
5、1 A. 480 B. 160 C. 1280 D. 640 x 除以 6 取商 y 余数 z zn=z 否 y=0？ x=y 10. 张老师为哈六中某位同学的高考成绩 x 设计了一个程序 是 框图，执行 如图所示的程序，若输出的数码为3030，则这位 zn=z 同学的高考分数x 是（ ） 输出数码 A.666 B.686 C.680 D.688znzn-1z1z0 结束 11. 某校的 A、B、C、D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若已知每门选修课至少有一 2 人选修的前提下，则 A,B 不选修同一门课的概率为（ ） 11 1 5 1 A. B. C. D. 12 6 6 12 f x
6、 x me f (x) 0 m ( ) 2 3 x 12.已知函数 ，若 有三个不等实根，则实数 的取值范围是 （ ） 6 6 (2e, ) (, ) (0, 2e) A. 3 B. C. D. e e 3 6 (0, ) e 3 第 卷（非选择题 共 9090分） 本试卷包括必考题和选考题两部分第 1313题第 2121题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2222题第 2323题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020分将答案填在机读卡上相应的位置 13.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取 6
7、0 袋牛 奶进行检验,利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按 000 , 001, 799 进行编号，如果从随 机数表第8行第 8 列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号 . （下面 摘取了随机数表第 7 行至第9行） 8442 1753 3157 245 5 0688 7704 7447 6721 7633 5025 8392 1206 76 6301 6378 5916 9556 6715 5610 5071 7512 8673 5807 4439 5238 79 3321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 027
8、9 54 x y 2 0, 14. 已知 x, y 满足约束条件 则目标函数 的 最小值 x y ( 2) ( 1) 2 2 0, z x 2 y 2 2x y 2 0, 为 x y 2 2 15. 已知 M 为双曲线： 的右支上一点， 分别为双曲线 的 C : 1(a 0,b 0) A, F C a b 2 2 左顶点和右焦点，且 MF AF ，若 MFA 60 ，则双曲线的 C 离心率 e 的值为_ 16.在平面凸四边形 ABCD 中， A, B是定点，C，D 是动点， D AB AD CD BC ， ABD，BCD 3, 1 又 的面积分别 A B 3 为 S 和T ，则 S 2 T 2
9、 的最大值为_ 三、解答题：本大题共 6 6 小题，共 7070分解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤 1717（本小题满分 1212分） 数列a 中， n n+1 a 2,a a (n N ) 1 n1 n 2n a (1)证明:数列 n 是等比数列,并求 的通项公式 n a n a b n (2)设 ，若数列b n的前 n 项和是 ，求证： T T 2 n 4n a n n n 1818（本小题满分 1212分） 2018年 2 月 25 第 23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以 1 金 6 银 2 铜的成 绩结束本次冬奥会的征程，某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届
10、 冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种）， 按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了 11 人，具体的调查结果如下表： 某班 满意 不满意 男生 2 3 女生 4 2 (1)若该班女生人数比男生人数多 4 人，求该班男生人数和女生人数 (2)在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态 度的概率 4 (3)若从该班调查对象中随机选取 2 人进行追踪调查，记选中的 2 人中对“本 届冬奥会中国队表现”满意的人数为 ，求随机变量 的分布列及其数学期望 及方差. 1919 （本小题满分 1212分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， PAC 为正三角形，
11、M 为线段 PA 的中点， CAB 。 AC AB PAB PAC 90 ， ，平面 平面 . （1） 求证：平面 PAC 平面 ABC ； 1 （2） 若Q 是棱 AB 上的一点， ，求二面角 的 V V Q MC A Q BMC P ABC 4 余弦值. 20.20. （本小题满分 1212分） 已知点 A0,1,过点 D0,1作与 x 轴平行的直线 ，点 为动点 在直线 l B M 1 l MA AB MB BA 上的投影,且满足 1 (1)求动点 M 的轨迹C 的方程; (2)已知点 P 为曲线C 上的一点,且曲线C 在点 P 处的切线为l ,若l 与直线 2 1 l Q y N PQ 相交于点 ,试探究在 轴上是否存在点 ,使得以 为直径的圆恒过点 2 N N ? 若存在,求出点 的坐标，若不存在，说明理由. 2121（本小题满分 1212分） 5