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1、【高一数学】高中数学必修2立体几何知识点（共7页）高中数学 必修2知识点 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征(略) 棱柱: 棱锥: 棱台: 圆柱: 圆锥: 圆台: 球: 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图:斜二测画法 4斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几
2、何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 22Srlr,，,2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积 S,2,rl，2,r222SrlrRlR,，,SR,4,4 圆台的表面积 5 球的表面积 2nR,1,Slr6扇形的面积公式(其中表示弧长，r表示半径) l扇形3602(二)空间几何体的体积 1VSh,，1柱体的体积 2锥体的体积 VSh,，底底3413,VR(3台体的体积 4球体的体积 VSSSSh,，)下下上上33第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的,无大小，无厚薄。 2 平
3、面的画法及表示 0(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长 (2)平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行 四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 Al,Bl,符号表示为 ,l,A,B,公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C三点不共线 有且只有一个平面，使A?、B?、C?。 ,公理2作用:确定一个平面的依据。 补充
4、3个推论: 推论1:经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。 推论2:经过两条平行直线，有且只有一个平面。 推论3:经过两条相交直线，有且只有一个平面。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 plpl,且符号表示为: 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内，没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ab/,符号表示为:
5、设a、b、c是三条直线， ,ac/,cb/,强调:公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 4异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 ABlBlABl,直线与直线异面符号表示: 。 5 注意点: ? 异面直线所成的角的大小只由它们的相互位置来确定，与选择的位置无关，为简便一 ab与11般取在两直线中的一条上; 00,
6、0,90? 两条异面直线所成的角: ，? 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a?b; ? 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形; ? 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 没有公共点 特别指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示 a,a a?=A a? 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线
7、与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面 平行。简记为:线线平行，则线面平行。 a,符号表示: ba/,ab/,2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ,a,b,/,: abA简记为:线线平行，则面面平行。 符号表示 ,a/,b/,2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; ,aa,/(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。符号表示为: 2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行，则
8、过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 a/,简记为:线面平行，则线线平行。符号表示: aab,/,b,作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 /,符号表示: ，简记为:面面平行，则线线平行 ,aab/,b,作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 3、两个平面平行具有如下的一些性质: ?如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行 ?如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. ?如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交 ?夹在两个平行平面间的所有平行线段
9、相等 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 l,l1、定义:如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作， lll直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点P，点P叫做垂足。 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 lalbababAl,符号表示:，简记为:线线垂直，则线面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 abab/,补充性质: 3、004、直线与平面所成的角的范围
10、为: 0,902.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 002、二面角的记法:二面角-l-或-AB-,平面之间二面角范围是 0,1803、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 ll,符号表示:，简记为:线面垂直，则面面垂直。 4、线面角的求法，在直线上任找一点作平面的垂线，则直线和射影所成的角就是了。 2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 abab,1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示: (1),/abab,(2),/abab,补充性质:， ， (3),/
11、aa,(4),/,aa,， 2性质定理: 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 alaala,符号表示: ，面面垂直，则线面垂直。 本章知识结构框图 平面(公理1、公理2、公理3、公理4) 空间直线、平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 第三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之 间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0?. 2、 倾斜角的取值范围: 0?,180?. 当直线l与x轴垂直时, =
12、90?. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角(?90?)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就 是 k = tan ?当直线l与x轴平行或重合时, =0?, k = tan0?=0; ?当直线l与x轴垂直时, = 90?, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1?x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜
13、 率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不 成立(即如果k1=k2, 那么一定有L1?L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜 率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 3.2.1 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程:直线经过点，且斜率为 P(x,y)y,y,k(x,x)lk00000y2、直线的斜截式方程:已知直线的斜率为，且与轴的交点为 (0,b)y,kx，blk3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程:已知两点其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 P
14、(x,x),P(x,y)(x,x,y,y)1122221212y2、直线的截距式方程:已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中 (a,0)(0,b)a,0,b,0lx3.2.3 直线的一般式方程 x,y1、直线的一般式方程:关于的二元一次方程Ax，By，C,0(A，B不同时为0) 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 3420xy，,解:解方程组 得 x=-2，y=2 ,2220xy，,所以L1与L2的交点坐标为M(-2，2) 3.3.2 两点间距离 两点
15、间的距离公式 3.3.3 点到直线的距离公式 1(点到直线距离公式: Ax，By，C00点到直线的距离为: d,l:Ax，By，C,0P(x,y)0022A，B2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线和的一般式方程为:， lllAx，By，C,01211C,C12则与的距离为d, ll:，lAx，By，C,012222222A，BPPxxyy,，,，122221第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 2221、圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 ()()xaybr,，,2222、点与圆的关系的判断方法: Mxy(,)()()xaybr,，,00222222(1)r，
16、点在圆外 (2)=r，点在圆上 ()()xayb,，,()()xayb,，,0000222(3)r，点在圆内 ()()xayb,，,004.1.2 圆的一般方程 221、圆的一般方程: x，y，Dx，Ey，F,02、圆的一般方程的特点: (1)?x2和y2的系数相同，不等于0( ?没有xy这样的二次项( (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了( (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关
17、系( DE22r设直线:，圆:，圆的半径为，圆心 ax，by，c,0x，y，Dx，Ey，F,0(,)Cl22到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: d(1)当时，直线与圆相离;(2)当时，直线与圆相切; CCd,rld,rl(3)当时，直线与圆相交; Cd,rl4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系( 设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: l(1)当l,r，r时，圆C与圆C相离;(2)当l,r，r时，圆C与圆C外切; 12121212(3)当时，圆与圆相交; |r,r|,l,r，rCC121212(4)当时，圆与圆内切;(5)当时，圆与圆内含;
18、 l,|r,r|CCl,|r,r|CC121212124.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: sin第一步:建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何 问题转化为代数问题; 九年级数学下册知识点归纳第二步:通过代数运算，解决代数问题; R第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论( 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. （尺规作图）M4.3.1空间直角坐标系 4.二次函数的应用： 几何方面OQy1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、z分别是P、(x,y,z)yxPMQ、R在、
19、z轴上的坐标 yxx2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点 (x,y,z)7.三角形的外接圆、三角形的外心。3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直 (x,y,z)角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点(x,y,z)yx(一)教学重点zzM的纵坐标，叫做点M的竖坐标。 94.234.29加与减（二）4 P49-564.3.2空间两点间的距离公式 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角P21、空间中任意一点到点之间的距离公式 P(x,y,z)P(x,y,z)11112222P13、思想教育，转化观念端正学习态度。O222HyNMPP,(x,x)，(y,y)，(z,z)22 12121212MM1弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)N N1x