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1、【高考必备】优化方案高考数学（浙江专用）一轮复习练习：第7章立体几何第6讲空间向量及其运算Word版含答案精品原创第6讲 空间向量及其运算 ,学生用书P149) 1(空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a，b(b?0)，a?b的充要条件是存在唯一的实数，,b( 使得a(2)共面向量定理:如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p,xa，yb( (3)空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p,xa，yb，zc(其中a，b，c叫做空间的一个基底( 2(两个向
2、量的数量积(与平面向量基本相同) (1)两向量的夹角 ?已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA,a，OB,b，则?AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b(通常规定0?a，b?(若a，b,，则称向量a，b2互相垂直，记作a?b. (2)两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a?b,|a|b|cosa，b( (3)向量的数量积的性质 ?a?e,|a|cosa，e(其中e为单位向量); ?a?b?a?b,0; 22?|a|,a?a,a; ?|a?b|?|a|b|. (4)向量的数量积满足如下运算律 ?(a)?b,(a?b); ?a?b,b?a(交换律); ?a?(b，c),a?b，a
3、?c(分配律)( 3(空间向量的坐标运算 (1)设a,(a，a，a)，b,(b，b，b)( 123123a，b,(a，b，a，b，a，b)， 112233a,b,(a,b，a,b，a,b)， 112233a,(a，a，a)，a?b,ab，ab，ab， 123112233a?b?ab，ab，ab,0， 112233a?b?a,b，a,b，a,b(?R)， 112233a?bab，ab，ab112233cosa，b, . 222222|a|?|b|a，a，a?b，b，b123123(2)设A(x，y，z)，B(x，y，z)， 111222?则AB,OB,OA,(x,x，y,y，z,z)( 2121
4、211(辨明四个易误点 (1)注意向量夹角与两直线夹角的区别( (2)共线向量定理中a?b?存在唯一的实数?R，使a,b易忽视b?0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的( (4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a?b)c,a(b?c)不一定成立( 2(建立空间直角坐标系的原则 (1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直( (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上( 3(利用空间向量坐标运算求解问题的方法 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为
5、向量的数量积为零;求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化( 1(已知a,(,2，,3，1)，b,(2，0，4)，c,(,4，,6，2)，则下列结论正确的是( ) A(a?c，b?c B(a?b，a?c C(a?c，a?b D(以上都不对 解析:选C.因为c,(,4,62),2a所以a?c.又a?b,0故a?b. 2(若向量a，b，c是空间的一个基底，向量m,a，b，n,a,b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是( ) A(a B(b C(c D(2a 解析:选C.因为a，ba,b分别与ab2a共面 所以它们分别与a，ba,b均不能构成一组
6、基底( 3(选修2-1 P97习题3.1 A组T2改编) ?在平行六面体ABCD-ABCD中，M为AC与BD的交点(若AB,a，AD,b，AA,c，111111111?则下列向量中与BM相等的向量是( ) 1111A(,a，b，c B.a，b，c 22221111C(,a,b，c D.a,b，c 22221?解析:选A.由题意根据向量运算的几何运算法则BM,BB，BM,AA，(AD,AB) 1112111,c，(b,a),a，b，c. 2224(选修2-1 P98 习题3.1 A组T8改编)已知a,(2，4，x)，b,(2，y，2)，若|a|,6，且a?b，则x，y的值为_( 解析:因为a,(
7、24x)|a|,6则x,?4 又b,(2y2)a?b 当x,4时y,3x，y,1. 当x,4时y,1x，y,3. 答案:1或,3 ?5(已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段AB的中点坐标和|AB|分别是_( 解析:设P(xyz)是AB的中点则 115?,OP,(OA，OB),(321)，(104),21 ,222?222d,|AB|,1,3,，,0,2,，,4,1,17. AB5,答案:2，1，17 ,2考点一 空间向量的线性运算学生用书P150 如图，在长方体ABCD-ABCD中，O为AC的中点( 111111?(1)化简AO,AB,AD,_( 122?(2)用AB，AD，AA表示
8、OC，则OC,_( 111111?解析 (1)AO,AB,AD,AO,(AB，AD),AO,AO,AO，OA,AA. 1111122211?(2)因为OC,AC,(AB，AD)( 221?所以OC,OC，CC,(AB，AD)，AA 111211?,AB，AD，AA. 12211?答案 (1)AA (2)AB，AD，AA 11222? 若本例条件不变，结论改为:设E是棱DD上的点，且DE,DD，若EO,113?xAB，yAD，zAA，试求x，y，z的值( 1?解:EO,ED，DO 21?,DD，(DA，DC) 132112?,AB,AD,AA 1223112由条件知x,y,z,. 223用已知向
9、量表示某一向量的方法 用已知不共面的向量表示某一向量时应结合图形将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中然后利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来. 1.在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是?ABC?的重心，用基向量OA，OB，OC表示OG，MG. ?解:OG,OA，AG 2?AN ,OA，32?,OA，(ON,OA) 321?，,OA，,OB，OC,OA ，32111?,OA，OB，OC 33311111111?MG,OG,OM,OG,OA,OA，OB，OC,OA,OA，OB，OC. 23332633考点二 共线、共面向量定理的应用学生用书P15
10、1 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证: (1)E，F，G，H四点共面; (2)BD?平面EFGH. 证明 (1)连接BG(图略) ?则EG,EB，BG 1?,EB，(BC，BD) 2?,EB，BF，EH ?,EF，EH 由共面向量定理的推论知EFGH四点共面( ?(2)因为EH,AH,AE 1111?,AD,AB,(AD,AB),BD 2222所以EH?BD.又EH?平面EFGH BD?平面EFGH所以BD?平面EFGH. (1)证明空间三点P、A、B共线的方法 ?PA,PB(?R), ?对空间任一点OOP,OA，tAB(t?R), ?对空间任一
11、点OOP,xOA，yOB(x，y,1)( (2)证明空间四点P、M、A、B共面的方法 ?MP,xMA，yMB, ?对空间任一点OOP,OM，xMA，yMB, ?对空间任一点OOP,xOM，yOA，zOB(x，y，z,1), ?PM?AB(或PA?MB或PB?AM)( 1? 2.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM,(OA3?，OB，OC)( ?(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内( ?解:(1)由题知OA，OB，OC,3OM ?所以OA,OM,(OM,OB)，(OM,OC) ?即MA,BM，CM,MB,MC ?所以MAMB
12、MC共面( ?(2)由(1)知MAMBMC共面且基线过同一点M 所以MABC四点共面从而点M在平面ABC内( 考点三 空间向量的数量积与坐标运算(高频考点)学生用书P151 通过近几年高考试题可以看出,试题以空间向量的运算为主,特别是数量积的运算及其应用,更是考查的热点,高考中对空间向量的数量积的考查主要有以下三个命题角度, (1)空间向量的数量积的运算， (2)线与线垂直问题， (3)线段长度问题, (1)(2014?高考广东卷)已知向量a,(1，0，,1)，则下列向量中与a成60?夹角的是( ) A(,1，1，0) B(1，,1，0) C(0，,1，1) D(,1，0，1) ?(2)已知空
13、间三点A(,2，0，2)，B(,1，1，2)，C(,3，0，4)(设a,AB，b,AC. ?求a和b的夹角的余弦值; ?若向量ka，b与ka,2b互相垂直，求k的值( a?b111解 (1)选B.对于选项B设b,(1,10)则cosab,. |b|2|a22因为0?ab?180?所以ab,60?正确,同理A、C、D不正确( ?(2)因为A(,202)B(,112)C(,304)a,ABb,AC 所以a,(110)b,(,102)( a?b,1，0，010?cos , |a|b|102510所以a和b的夹角的余弦值为,. 10?因为ka，b,k(110)，(,102),(k,1k2) ka,2b
14、,(k，2k,4)且(ka，b)?(ka,2b) 22所以(k,1k2)?(k，2k,4),(k,1)(k，2)，k,8,2k，k,10,0. 5解得k,或k,2. 2(1)空间向量数量积的计算方法 b的夹角为则a?b,|a|b|?cos. ?定义法:设向量a?坐标法:设a,(xyz)b,(xyz)则a?b,xx，yy，zz. 111222121212(2)数量积的应用 a?b?求夹角:设向量ab所成的角为则cos ,进而可求两异面直线所成的角( |a|b|2?求长度(距离):运用公式|a|,a?a可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题( ?解决垂直问题:利用a?b?a?b,0(a?
15、0b?0)可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题( 3.(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点?E、F分别是BC、AD的中点，则AE?AF,( ) 122A(a B.a 21322C.a D.a 44(2)已知a,(cos ，1，sin )，b,(sin ，1，cos )，则向量a，b与a,b的夹角是_( ?解析:(1)设AB,aAC,bAD,c 则|a|,|b|,|c|,a且abc三向量两两夹角为60?. 11?又AE,(a，b)AF,c 22111?故AE?AF,(a，b)?c,(a?c，b?c) 22411222,(acos 60?，acos 60?),a. 442
16、222(2)因为(a，b)?(a,b),a,b,|a|,|b| 2222,(cos，1，sin),(sin，1，cos),0 所以(a，b)?(a,b)即向量a，b与a,b的夹角为90?. 答案:(1)C (2)90? 1(已知a,(,2，1，3)，b,(,1，2，1)，若a?(a,b)，则实数的值为( ) 14A(,2 B(, 314C. D(2 52解析:选D.由题意知a?(a,b),0即a,a?b,0 所以14,7,0解得,2. 2(在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(,2，,1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( ) A(垂直 B(平行
17、C(异面 D(相交但不垂直 ?解析:选B.由题意得AB,(,3,33)CD,(11,1)所以AB,3CD所以AB与?CD共线又AB与CD没有公共点(所以AB?CD. 3(2016?杭州学军中学调研)空间直角坐标系中，与三个坐标平面都相切的球O上一点M到三个坐标平面的距离分别为3，2，1，则此球的半径为( ) A(3，22 B(3,2 C(3，2或3,2 D(3，22或3,22 解析:选C.设此球的半径为R因为球O与三个坐标平面都相切所以MO,R,6?222222,R,3,，,R,2,，,R,1,可得R,6R，7,0故R,3?2. 2?4(在空间四边形ABCD中，AB?CD，AC?DB，AD?B
18、C,( ) A(,1 B(0 C(1 D(不确定 ?解析:选B.如图令AB,aAC,bAD,c ?AC?DB，AD?BC,a?(c,b)，b?(a,c)，c?(b,a),a?c,a?b，b?a则AB?CD，,b?c，c?b,c?a,0. 5(如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB,2，E为PB的中点，3?cosDP，AE,，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，3则点E的坐标为( ) 1,A(1，1，1) B.1，1， ,23,C.1，1， D(1，1，2) ,2解析:选A.设P(00z) z,依题意知A(200)B(220)则E11 ,2z?,于是DP,
19、(00z)AE,11 ,22z?DP?AE23?cosDPAE,. 2?3z|DP|AE|z|?，24解得z,?2 由题图知z,2故E(111)( 1?6(已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a，点M在AC上且AM,MC，N为BB的中点，11111112?则|MN|为( ) 216A.a B.a 661515C.a D.a 63解析: 选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 则A(a00)C(0aa) 1a,Naa.设M(xyz) ,21?因为点M在AC上且AM,MC 11212aa2aaa,所以(x,ayz),(,xa,ya,z)所以x,ay,z,.所以M ,2333333?所
20、以|MN| 2222aaa21, a,a，a,，,a. ,332367(在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，点Q在平面yOz上，则垂足Q的坐标为_( 解析:由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影 所以垂足Q的坐标为(023)( 答案:(0，2，3) 8(在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，,1，6)，C(x，4，3)为顶点的?ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_( ?解析:由题意知AB,(6,2,3)AC,(x,43,6)( ?又AB?AC,0|AB|,|AC|可得x,2. 答案:2 9(已知2a，b,(0，,5，10)，c
21、,(1，,2，,2)，a?c,4，|b|,12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为_( 解析:由题意得(2a，b)?c,0，10,20,10. 即2a?c，b?c,10又因为a?c,4所以b?c,18 b?c,181所以cosbc, |b|?|c|2121，4，4所以bc,120?所以两直线的夹角为60?. 答案:60? ?10(已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且OA,a，OB,b，OC,c，?用a、b、c表示向量MN,_( 解析:如图所示 11111?MN,(MB，MC),(OB,OM)，(OC,OM),(OB，OC,2OM),(OB，OC,OA),(b22222，
22、c,a)( 1答案:(b，c,a) 211(2016?郑州模拟)已知a,(x，4，1)，b, (,2，y，,1)，c,(3，,2，z)，a?b，b?c.求: (1)a，b，c; (2)a，c与b，c所成角的余弦值( x41解:(1)因为a?b所以,解得x,2y,4此时a,(241)b,(,2,2y,1,4,1)又因为b?c所以b?c,0即,6，8,z,0解得z,2 于是c,(3,22)( ,a，c,?,b，c,(2)a，c,(523)b，c,(1,61)因此a，c与b，c所成角的余弦值为|a，c|b，c|5,12，322,.故a，c与b，c所成角的余弦值为,. 1919383812.(2016
23、?瑞安四校联考)如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD-ABCD中，M是CD的中点，点Q在CA上，且CQ?QA,4?1，1111111?设AB,a，AD,b，AA,c，用基底a，b，c表示以下向量: 1?(1)AM;(2)AQ. 解:如图连接ACAD. 111111?(1)AM,(AC，AD),(AB，2AD，AA),(a，2b，c),a，b，c. 11222224141141?(2)AQ,AC，CQ,AC，(AA,AC),AC，AA,AB，AD，AA,a111555555514，b，c. 551(2016?台州高三联考)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0，0
24、，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，则该四面体的体积为( ) 16A. B. 34C(1 D(23 解析:选A.如图所示该四面体是棱长均为2的正四面体ABCD.设?BCD的中心为O则AO?平面BCDAO即为该四面体的高(在Rt?AOB中2236623AB,2BO,BE,2,所以AO, 2,.底面积33239333132312S,(2),故其体积为,. ?BCD423233?2(已知点A(1，2，1)，B(,1，3，4)，D(1，1，1)，若AP,2PB，则|PD|的值是_( ?解析:设P(xyz)所以AP,(x,1y,2z,1) ?PB,(,1,x3,y4,z) 18?,由
25、AP,2PB得点P坐标为,3 ,3377?又D(111)所以|PD|,. 377答案: 33(已知空间三点A(0，2，3)，B(,2，1，6)，C(1，,1，5)( (1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积; ?(2)若|a|,3，且a分别与AB，AC垂直，求向量a的坐标( 解:(1)由题意可得: ?AB,(,2,13)AC,(1,32) ?AB?AC?所以cosABAC, ?|AB|AC|,2，3，671,. 14214143?所以sinABAC, 2所以以ABAC为边的平行四边形的面积为 1?S,2|AB|?|AC|?sinABAC 23,14,73. 2(2)设a,(xyz) 222x
26、，y，z,3,2x,y，3z,0由题意得 ,x,3y，2z,0,x,1x,1,y,1y,1解得或 ,z,1z,1,所以向量a的坐标为(111)或(,1,1,1)( 4.如图，在棱长为a的正方体OABC-OABC中，E，F分别是棱AB，BC上1111的动点，且AE,BF,x，其中0?x?a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角2、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切
27、联系。(1)写出点E，F的坐标; 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角(2)求证:AF?CE; 11其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。1?(3)若A，E，F，C四点共面，求证:AF,AC，AE. 1111112解:(1)E(ax0)F(a,xa0)( 10.圆内接正多边形(2)证明:因为A(a0a)C(0aa) 11二次方程的两个实数根?所以AF,(,xa,a)CE,(ax,a,a) 11?2所以AF?CE,ax，a(x,a)，a,0 11?所以AF?CE所以AF?CE. 1111(3)证明:因为AEFC四点共面 11(3)边与角之间的关系：?所以AEACAF共面( 1111?选AE与AC为一组基向量则存在唯一实数对() 11112（1）一般式：?使AF,AC，AE 111121即(,xa,a),(,aa0)，(0x,a) 12156.46.10总复习4 P84-90,(,aa，x,a) 1122四、教学重难点：,x,a1,1a,a，x所以,1. 解得12,122,a,a,21?于是AF,AC，AE. 11112