第22讲唯一性定理介质中的电动力学22唯一性定理.docx

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1、第22讲唯一性定理第4章介质中的电动力学（ 4.2 一性定理在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边界上满足边值关系或给 定边界条件的泊松方程的解。本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪 一些条件，静电场的解才能唯一地被确定。静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。因为它首先告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据。其次， 对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析， 提出尝试解。如果 所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。 下面我们先提出并证明一般形式的唯一定理， 然后再证明有导体存在时的唯一性 定理。

2、1 .静电问题的唯一性定理 下面我们研究可以均匀分区的区域 V,即V可 以分为若干个均匀区域 Vi ,每一个区域的电容率为 i 0设V内有给定的电荷 分布P（x）。电势 小在均匀区域Vi内满足泊松方程(4.2-1)在两区域Vi和Vj的分界上满足边值关系(4.2-2)泊松方程（4.2-1）式和边值关系（4.2-2）式是电势所必须满足的方程，它们属于电场的基本规律。除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出 V的边界S上的一些条件。下面提出的唯一性定理具体指出所需给定的边界条件。唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，在 V的边界上S上给定（1）电势（H s（2）电势的法向导数？?n| s ,则V

3、内的电场唯一确定。也就是说，在 V内存在唯一的解，它在每个均匀区域 内满足泊松方程（4.2-1）,在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在 V的边 界S上满足该给定的小或？ ?n值。证明 设有两组不同的解 小/和 犷满足唯一性条件定理的条件。 令,（4.2-3）则由 VZ =-小，Zcl） =-,得20（在每个均匀区 Vi内）（4.2-4）在两均匀区界面上有i（一）ij（一）j（4.2-5）nn在整个区域V的边界S上有s s s 0（4.2-6a）或s s s =0（4.2-6b）n n n考虑第i个均匀区Vi的界面S上的积分? i dSS由附录（I .7）式，这积分可以变换为体积分? i dS

4、 （ i ）dV SiViVi i（）2dVVi i 2 dV由（4.2-4）式，右边最后一项为零，因此 _2?S i dS V i（）dV对所有分区Vi求和得2 i dS V i（）2dV（4.2-7）i , ii i在两均匀区 Vi和Vj的界面上，由（4.2-5）式，小和歹小的法向分量分 别相等，但dSi = -dSj。因此，在（4.2-7）式左边的和式中，内部分界面的积 分互相抵消，因而只剩下整个V的边界S上的积分。但在S上，由（4.2-6）式,或者d s ,或者?n | s ,两情形下面积分都等于零。因此由（4.2-7）式有由于被积分函数i V （）2dV 0（V（I） 20,上式成立

5、的条件是在V内各点上都有即在V内由（4.2-3）式,小/和犷至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。2.有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势，另一设区域V内由一些导体，给定导体之外的电荷分布P,给定各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的小或？?n值，则V内的电场唯一确定。也就是说, 存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程(4.2-8)在第i个导体上满足总电荷条件（4.2-9）Qi，一一d dS （4.29）,Si n（n为导体面的外法线）和等势面条件S i 常量，（4.2-1

6、0）以及在V的边界S上具有给定的d s或？（/?n | s值。证明 设有两个解小和（P满足上述条件，令,则小满足20,（V 体内）（4.2-11）? 一dS 0, S ns 二常量（4.2-12）S =0 或 S =0（4.2-13）n对区域V 用公式? dS V （ ）dVv, （）2dV v, 2 dV（4.2-14）上式左边的面积分包括 V的边界S以及每个导体的表面 Si上的积分。作为 V 的边界，Si的法线指向导体内部。若我们用n表示导体向外的法线分量，由（4.2-12）式，在S i上的积分为蜒 dS i s7 ds 0由（4.2-13）式，在S上的面积分亦为零。因而（4.2-14）式

7、左边等于零。该式右边最后一项由（4.2-11）式得零，因此，2（）dV 0由此得即日和小口至多只能相差一个常量，因而电场唯一确定当导体外的电势确定后，由边值关系(4.2-16)(4.2-17)(4.2-18)因而导体上的电荷面密度亦同时确定。由本定理的证明可以看出电场与电荷的相互制约关系。若空间内有一些导 体，给定各导体上的总电荷后，在空间中就激发了电场。同时导体上的电荷受到 电场作用。在静止情况，导体上的电荷分布使得导体表面为一个等势面。因此， 由导体上的总电荷和导体面为等势面的条件同时确定空间中的电场以及导体上 的电荷面密度。例 如图2-4,两同心导体球壳之间充 以两种介质，左半部电容率为

8、1,右半部电 容率为2。设内球壳带总电荷Q,外球壳接 地，求电场和球壳上的电荷分布。解 设两介质内的电势、电场强度和 电位移分别为 MEl,Dl和（|2,E2,D2。 由于左右两半是不同介质，因此电场一般不 同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找 尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边 值关系E2t E1t,D2n Dm, 如果我们假设E仍保持球对称性，即A、Ei r ,（左半部）rA .、E2 Tr ,（右半部）r（A为待定常数），则在分界面两侧电场与界面相切，并有相同数值。因而边值关系（4.2-16）得到满足。而且由于 D2n = Din = 0 ,因而（4.2-17）式亦被满足。球又t称

9、的E再到体面上处处与球面垂直，因而保证导体球面为等势面。为 了满足内导体总电荷等于 Q的条件，我们计算内导体球面上的积分?D dS1E1 dSS1 1 1S22E2 dS Q,其中&和S2分别为左右半球面。把（4.2-18）式代入得12)A Q.解得代入（4.2-18）式得E1Qr2(7，（左半部）E2Qr2(2p.（右半部）(4.2-20)此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解。虽然E仍保持球对称性，但是D和导体上的电荷面密度 6不具有球对称性。设内导体球半径为a，则球面上的电荷面密度为（左半部）L1QD1 r1 E1r_2 ,2 ( 12)a2D2r 2rE2r_ , 小、2 .

10、(右半部)2 ( 12)a注意导体两半球上的面电荷密度是不同的，但 E却保持球对称性。读者试解释这一点。第21讲习题解答：第 35-36 页，第 7, 8, 9, 11, 12, 13 题。7 .有一内外半径分别为A和巧的空心介质球，介质的介电常数为e使介质内均匀带静止自由点荷 f求：（1）空间各点的电场(2)极化体电荷和极化面电荷分布解：(1)在1内取同心球面，以r (rr1)为半径uv Duv iviv uv &D d 0 D E 0在1r r2内取同心球面r ,uu uv dD dE 4 r2(r3ri3)uvE/ 33、(rri ) f v3r3 r3在r r2取同心球:uv uv d

11、DdS2433、0E 4 r a (r2ri ) f3uvE/ 3(r23 V 3 ri )r /r方向：f为正，均为圆心射线方向,f为负，均为汇聚圆心方向uvuv p p ( E o)uvD 3 f(1) fr 1或rr2处是真空p o在 ri rr2p ( 1) fp10E r ri 0(rri)p2正 (0)(r23个)0)E r r23r22f33r2ri (1 当3r22/ 2/2r22 ,4 ri p14r2 P2p4 r drri4/ 330 - (r2ri )(130) f.33. . 0(r2ri )(1) f 0即，介质的总极化电荷为零8 .内外半径分别为ri和七的无穷长中

12、空导体圆柱，沿轴向流有稳恒均匀自由电LV流Jf ,导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。uv解：:Biv0 j f 0 0uv E r又二是稳恒uv5uvBuv0 j fuvB 0 ,r2uv?Hvdl Hiv 22jf (rri )uvJ fuvB(r22r2ri2), 一j fuv v rr2 ： ?B dl0 jfB 2 r 0 (4 r；)uvB0“22 ri2)：2r2 fuvjmuuv uuv uuvuuvM , M mH ( 1)H0uv jmuuvM (一 1)0uvuv(1)jf0(rir 上)导体外和空心部分Jm0uuvuvM(一 I)H0uv uuv uuv uvV n

13、 (M2 Mi) Muuv uuvuvr ri, Mi 0 M2 (一 I)H(r ri) 00uv M 0uuuu/r M： M20, Mi (uu/i)H(r r2)证:9.(1uvM(一0IVJ f证明均匀介质内部的体极化电荷密度f总是等于体自由电荷密度f上)倍。uvPuv(0 eE)uvD(1,)f得证(Q e 1 r11、平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为|1和|2,电容率为12,今在两板接上电动势为 E的电池,(1)电容器两板上的自由电荷面密度f；(2)介质分界面上的自由电荷面密度(3)若介质是漏电的，电导率分别为 两问题的结果如何？1和2 ,当电流达到恒定时，上述解：1.

14、在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向，则Dm*/2ED2n1E12E20(介质界面上f 0)故：E1无一，E2l1 2l2 11El1 2 l2 1又根据D1n D2n f ,(n从介质1指向介质2)在上极板的交界面上,D1 D2 f1D2是金属板，故D2=0即:D1 =1 2 El1 2 l2 1(上极板处)两绝缘介质界面处:在下极板的交界面上，f3 D1 D2D1 是金属板，故 D1=0即：f3D2=第一fi （下极板处）ll 212 12.若有漏电，并有稳定电流时，Ei -,E2上,Ji J2 电流稳定流动，电荷不积累1211E1 l2E2 EJi故：EiJ2lil22Eli 2

15、l2E2iEli 2 l2 i又根据Din D2nf,（n从介质1指向介质2）在上极板的交界面上，Di D2fiD2是金属板，故D2=0即： fi Di = -1 2、（上极板处）li 2 l2 i两导电介质界面处：f 2 qe li 2 l2 i在下极板的交界面上，f3 Di D2Di 是金属板，故 Di=0即：f3D2=-3（下极板处）li 2 l2 ii2、证明（i）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足tan 2其中1和2分别为两种介质的介电常数,1和2分别力界面两侧电场线与法线的夹角。(2)当两种导电介质内流有恒定电流时,分界面上电场线曲折满足tg 2 tg 1(

16、2) v E1tE2tE1 sin1E2sinj11E1sin1j2sin 2uv又二 nIV(j1uvj2) 1(稳恒电流uvJ 0). j1cos1 j2 cos 21j1sin 1 sin 1cos 22 j2 sin 2 sin 2 cos 1也得证。tg 2tan 2tan 1其中1和2分别为两种介质的电导率uv uv uv证明：(1)v n (D1 D2) 01E1cos 12E2 cosEt1Et2. E1 sin2E1 cos1 sin1E2 cos2 cos212E2sin 22 cos 12 sin 113、用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界而上，在静电情况下，导体外的

17、电场线总是垂直于导体表面； 在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于 导体表面。uv解：导体内E 0E/导E介0一，, uv ，绝缘介质与导体分界面导体外电场 E总是垂直于导体表面uv w ,、，导体内j E，恒定电流时有Jl 0E 0补充题:1.直接给出介质电极化强度 p的定义，并推导公式2,直接给出介质磁化强度 M 的定义，并推导公式3,直接给出介质中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中 各个符号的物理意义，并给出反映介质性质的介质方程。4 .根据介质中麦可斯韦方程组，推导出介质界面上 E、D、B、H的边 值关系。5 .无穷大平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为 求电场和束缚电荷分布。6 .根据介质中的麦可斯韦方程组，证明均匀介质内部的体磁化电流密度十。血O7TtlMliJm总是等于体自由电荷电流密度 Jf(1的-)0倍。7.由静电场界面间的边值关系，导出电势的边值关系