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1、初一数学 全等三角形之动点问题专题(B类) 一、考点、热点回顾 动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。 等边三角形中的动点问题是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化;其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边
2、上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。 本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三
3、角函数等思想方法。 二、典型例题 1、单动点问题 A引例:已知，如图?ABC是边长3cm的等边三角形. P动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动. 设点P的运动时间为(s)，那么t=_时，?PBC是直角 BC 三角形, 2、双动点问题 引例:已知，如图?ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t(s)，那么t为何值时，?PBQ是直角三角形? AP B CQ巩固练习，拓展思维 已知，如图?ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B运动
4、，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t(s)，那么 当t为何值时，?DCQ 是等腰三角形? APDBQC 变式练习:1、已知，如图?ABC是边长3cm的等边三角形.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t(s)，连接PC. 请探究:在点P、Q的运动过程中?PCD和?QCD的面积是否相等, APDBC Q变式练习:2、已知等边三角形?ABC，(1)动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，动点Q从点
5、B出发，沿线段BC向点C运动，连接CP、AQ交于M，如果动点P、Q都以相同的速度同时出发，则?AMP=_度。 (2)若动点P、Q继续运动，分别沿射线AB、BC方向运动，.?AMP=60?的结论还成立吗, AA P M M BQCQ CPB二、实战训练 1、如图，在等腰?ACB中，AC,BC,5，AB,8，D为底边AB上一动点(不与点A，B重合)，DE?AC，DF?BC，垂足分别为E，F，则DE，DF, ( C F E A B D2、如图，在等腰Rt?ABC中，?ACB=90?，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE(连接DE、DF、EF( (1)
6、求证:?ADF?CEF (2)试证明?DFE是等腰直角三角形 ,ABC3、如图，在等边的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 (1)在爬行过程中，CD和BE始终相等吗, (2)若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图(2)所示，蜗牛爬行过程中 的大小条件不变，求证: ，CQE，CQE,60:(3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确
7、4、如图1，若?ABC和?ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证:CD=BE，?AMN是等边三角形( (1)当把?ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立,若成立请证明，若不成立请说明理由; (2)当?ADE绕A点旋转到图3的位置时，?AMN是否还是等边三角形,若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，?ADE与?ABC及?AMN的面积之比;若不是，请说明理由( 图1 图2 图3 图8 BC,8?ABCABAC,105、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点( DAB(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动(
8、 ?BPD?若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是?CQP否全等，请说明理由; ?若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，?BPD能够使与全等, ?CQP(2)若点Q以?中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同?ABC时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在?ABC的哪条边上相遇, A D Q B C P BCBC、?ABCABAC,6、(2009年本溪)在中，点是直线上一点(不与D?ADEADAEDAEBAC,，,，重合)，以为一边在的右侧作，使，连ADAD(CE接( BC，,BAC90?，,BCE(1)如图1，当点在
9、线段上，如果，则 度; D，,BAC,(2)设，( ，,BCE,BC，当点?如图2在线段上移动，则,，之间有怎样的数量关系,请说明理D由; BC?当点在直线上移动，则,，之间有怎样的数量关系,请直接写出你的D结论( A A E E C B B C D D 图1 图2 A A B C B C 备用图 备用图 7、 如图a，?ABC和?CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. (1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论; (2)将图a中的?CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由; (3)若将图a中的?ABC绕点C旋转
10、一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 8、已知，如图?所示，在和中，,，BACDAE?ADEABAC,?ABCADAE,且点在一条直线上，连接分别为的中点( BAD，BECDMN，BECD，(1)求证:?;?AM,AN BECD,;,)在图?的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到(2180?ADEA图?所示的图形(请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立. C C N E N D A B M M D B A E 图? 图? ，BCA9、 直线CD经过的顶点C，CA=CB(E、F分别是直线CD上两点，且，,，,，BECC
11、FA,( ，BCA(1)若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题: ,?如图1，若，则 (填“”，“”或“”BEAF,，,，,BCA90,90,EF号); ,?如图2，若，若使?中的结论仍然成立，则与应满足的关0180,，,BCA，BCA，, 系是 ; ，BCA，,，,BCA(2)如图3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明( B B B E A F D F D E E C C F A C A D 图1 图2 图3 ABCDCDDEFGGC10、 如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，. DEAEGC(1)试猜想与有怎样的位置
12、关系，并证明你的结论; AEDEFGBC(2)将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接DEAEGC和.你认为(1)中的结论是否还成立,若成立，给出证明;若不成立，请说明理由. 附加题之等腰三角形(中考重难点之一) 考点1:等腰三角形性质的应用 ，,:BAC90ABAC,1. 如图，中，是中点，与交于BC,ABCDEDABEDFD,AECF,，与 交于(求证:，( ACEFDFBEAF,AFEBDC,ABC3060EAC,2. 两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在ADE,EMCMEMC,一条直线上，连结，取的中点，连结(试判断的形状，并说BDBDM明理由( BM
13、DCEA考点2:等腰直角三角形(45度的联想) 1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与?CBM 的平分线BF相交于点F. ? 如图141，当点E在AB边的中点位置时: ? 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ; ? 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ; ? 请证明你的上述两猜想. ? 如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明 2. 在Rt?
14、ABC中，AC,BC，?ACB,90?，D是AC的中点，DG?AC交AB于点G. (1)如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH?FC，交直线AB于点H( ?求证:DG=DC ?判断FH与FC的数量关系并加以证明( (2)若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变(本小题直接写出结论，不必证明) BBH GGFAECDADC E图图 1 2 同类变式: 已知:?ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一
15、条直角边经过点A，且60角的顶点E在BC上滑动，(点E不与点B、C重合)，斜边与?ACM的平分8、从作业上严格要求学生，不但书写工整，且准确率高。对每天的作业老师要及时批改，并让学生养成改错的好习惯。线CF交于点F(1)如图(1)当点E在BC边得中点位置时 (2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.1? 猜想AE与EF满足的数量关系是 . （2）顶点式：2? 连结点E与,边得中点,，猜想,和,满足的数量关系是 . 三三角函数的计算3?请证明你的上述猜想; (,)如图(,)当点,在,边得任意位置时，,和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由, 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。AA 推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。F NF(4)直线与圆的位置关系的数量特征:BCMBCM E图(1)图(2)3、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。E （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一四、课后反馈 教学进度: 学生掌握情况: 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.存在问题及改进措施: