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1、双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以与简单的几何性质难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线.知识点一：双曲线的定义在平面，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数大于0且的动点的轨迹叫作双曲线这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距注意：1.双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差 小于第三边来理解；2. 假设去掉定义中的“绝对值，常数满足约束条件：，那么动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 假设，那么动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 假设常数满足约束
2、条件：，那么动点轨迹是以Fi、F2为端点的两条射线包括端点；4 假设常数满足约束条件：，那么动点轨迹不存在；5 假设常数，那么动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程1 当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2 .当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 .注意：1.只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐 标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；2 在双曲线的两种标准方程中，都有；3 .双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，知识点三：双曲线的简单
3、几何性质双曲线a 0, b 0的简单几何性质1对称性：对于双曲线标准方程a0, b0，把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换成一x、一y,方程都不变，所以双曲线a0, b0是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对 称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。2围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足xw -a或x a。 3顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 双曲线a0, b0与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A一 a, 0，A a,0，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 两个顶
4、点间的线段 氏A叫作双曲线的实轴；设 B 0, b，B2 0, b为y轴上的两个点，那么线段BB2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A|=2a , |B1B|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。4离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。因为ca0,所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2,可得，所以决定双曲线的开口大小，越大， e也越大，双曲线开口就越开阔。 所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小
5、程度。等轴双曲线，所以离心率。5渐近线：经过点 A2、A作y轴的平行线x= a,经过点B1、B2作x轴的平行线y= b，四条直线围成一 个矩形如图，矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线与的区别和联系标准方程图形性质焦占八 、八、焦距围对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率准线方程渐近线方程知识点五：双曲线的渐近线：1双曲线方程求渐近线方程：假设双曲线方程为，那么其渐近线方程为注 意：1双曲线方程，将双曲线方程中的“常数换成“0 ，然后因式分解即得渐近线方程。2渐近线方程求双曲线方程：
6、假设双曲线渐近线方程为，那么可设双曲线方程为，根据条件，求出即可。3与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为，焦点在轴上，焦点在y轴上4等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为 知识点六：双曲线图像中线段的几何特征：双曲线，如图：1实轴长，虚轴长，焦距，蹈|_|观| _皿角_|轴岛1/2离心率：3顶点到焦点的距离：，；4中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来1 如何确定双曲线的标准方程？当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程 才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。2 .双曲线标准方程中的三个量 a、b、c的几何意义双曲
7、线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线 的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ca, cb,且c2=b2+a2o3 如何由双曲线标准方程判断焦点位置双曲线的焦点总在实轴上，因此标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在 x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在 y轴上。注意：对于双曲线， a不一定大 于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。4 .方程Ax2+By2=C A、B C均不为零表示双曲线的条件方程Ax2+By2=C可化为，即，所以只有
8、 A B异号，方程表示双曲线。当时，双曲线的焦点在x轴上；当时，双曲线的焦点在 y轴上。5 求双曲线标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设 出标准方程，再由条件确定方程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型，再定量；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。注意：假设定义中“差的绝对值中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b,即先定型，再定量。假设两种类型都有可能，那么需分类讨论。6 .如何解决与焦点三角形 PF 1F2 P为双曲线上的点有关的计算问题？与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用
9、双曲线的定义与余弦定理或勾股定理、三角形面积公式相结合的方法进展计算与解题，将有关线段、，有关角结合起来，建立、之间的关系2 2 27如何确定离心率 e的取值情况与双曲线形状的关系？：离心率，因为 c=a+b，用a、b表示为，当e越 大时，越大，即渐近线夹角含 x轴越大，故开口越大；反之， e越小，开口越小。离心率反映了双曲线开口的大小，且 e 1。 &椭圆、双曲线的区别和联系:椭圆双曲线根据 |MF1|+|MF2|=2a根据 |MF1| |MF2|= 2aa c 0,0 v a v c,a2 c2=b2 b 0c2 a2=b2 b 0a b0a 0, b 0, a 不一疋大于 b标准方程统一
10、为：类型一：双曲线的定义1.0 0： x+5 2+y2=4, O Q： x 52+y2=91假设动圆P与O 1,0 2均切，求动圆圆心P点的轨迹；2假设动圆Q与O 1,0 2均外切，求动圆圆心Q点的轨迹。解析：1设O P半径为 R,vO Q与O 0相离， |PQ1|=R 2, |PQ2|=R 3 / |PQ1| 尸。2|=1，又|。10|=10由双曲线的定义，P点的轨迹是以 Q, Q为焦点，2a=1 , 2c= 10的双曲线的右支。2设O Q半径为 r，那么 |QO|=r+2 , |QQ|=r+3 |QQ| |QO|=1，又 |0|=10由双曲线的定义，Q点的轨迹是以 Q, O2为焦点，2a=
11、1, 2c = 10的双曲线的左支。举一反三：【变式1】定点F1 2,0、F22,0，平面满足以下条件的动点P的轨迹为双曲线的是 A. |PF1|PF2|= 3B. |PF1| |PF2|= 4C. |PF1 |PF2|= 5 D . |PF1|2 |PF2| 2= 4 【答案】A【变式2】点F10, 13、F20,13，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为 26,那么动点P的轨迹方 程为A. y=0 B . y=0x 13C. x=0 |y| 13D.以上都不对【答案】 C【变式3】点Px,y的坐标满足，那么动点P的轨迹是A.椭圆B .双曲线中的一支 C.两条射线D .以上都不对答案：B类
12、型二：双曲线的标准方程：2 .求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。解法一：依题意设双曲线方程为一 =1由得，又双曲线过点，：故所求双曲线的方程为.解法二：依题意设双曲线方程为，将点代入，解得，所以双曲线方程为【变式1】求与椭圆有共同的焦点，且过点的双曲线的标准方程。【答案】依题意设双曲线方程为由得，又双曲线过点，故所求双曲线的方程为【变式2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在轴，焦距为10 ,的双曲线的标准方程【答案】3 .双曲线的两个焦点 F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24,求双曲线的标准方程。解析：由题意得2a=24, 2c=26。二
13、a=12, c=13, b2=132 122=25。当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的方程为；当双曲线的焦点在 y 轴上时，双曲线的方程为。 总结升华：求双曲线的标准方程就是求a2、b2 的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看 X2、y2的分母的大小，而是看 X2、y2的系数的正负。【变式】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为，焦距为 10的双曲线的标准方程 . 【答案】由设 , ，那么 () 依题意，解得 .当双曲线的焦点在 x轴上时，双曲线的方程为当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为类型三：双曲线的几何性质4 方程表示双曲线，数 m的
14、取值围。解析：由题意得或或。实数m的取值围为。总结升华：方程Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B异号。【变式1】k 9是方程表示双曲线的A.充分必要条件 B .充分不必要条件 C.必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件【答案】B【变式 2】求双曲线的焦距。【答案】 8【变式3】双曲线8kx2-ky2=2的一个焦点为，那么 k的值等于A. 2B . 1C . - 1D.【答案】C【变式 4】2021 设双曲线的渐近线方程为，那么的值为A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C5双曲线方程，求渐近线方程。1；2；3；4解析： 1双曲线的渐近线方程为：即 2双曲线的渐近线方程为：即 3双曲线的
15、渐近线方程为：即 4双曲线的渐近线方程为：即总结升华：双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为即；假设双曲线的方程为，焦点在轴上，焦点在y轴上，那么其渐近线方程为。【变式 1】求以下双曲线方程的渐近线方程。 ：1；2；3【答案】1；2；3【变式 2】中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y 轴上，那么它的渐近线方程为 A. B. C . D.【答案】D6根据以下条件，求双曲线方程。1)与双曲线有共同的渐近线，且过点； 2一渐近线方程为，且双曲线过点。解析：1解法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为由题意，得，解得，舍
16、去 综上所得，双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为 ，将点代入得，所以双曲线方程为即2依题意知双曲线两渐近线的方程是. 故设双曲线方程为，点在双曲线上，解得，所求双曲线方程为 .总结升华：求双曲线的方程，关键是求、 ，在解题过程中应熟悉各元素、与准线之间的关系，并注意方程思想的应用。假设双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为.【变式 1】中心在原点，一个焦点在 (0,3) ，一条渐近线为的双曲线方程是 A、 B 、C、D 、【答案】 D【变式 2】过点 (2 ， -2) 且与双曲线有公共渐进线的双曲线是 ( )A.B. C.D.【答案】A【变式 3】以为渐近线的双曲线方程不可能是 2 2 2
17、 2 2 2 2 2A. 4x 9y =1B. 9y 4x =1C. 4x 9y =入入 R 且入工 0 D . 9x 4y =入入 R 且入工 0【答 案】 D【变式 4】双曲线与有一样的 A.实轴B.焦点C.渐近线D.以上都不对【答案】C类型四：双曲线的离心率：7.是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A B两点, 假设是正三角形 , 求双曲线的离心率。解析：，是正三角形，【变式1】双曲线-=1与x轴正半轴交于 A点，F是它的左焦点，设 B点坐标为0,b，且AB丄BF,那么双曲 线的离心率为丨 A、BC、D【答案】B【变式 2】 假设椭圆的离心率为 , 那么双曲线的离心
18、率为 【答案】【变式 3】 双曲线的渐进线方程 ,那么双曲线的离心率为 【答案】【变式 4】 等轴双曲线的离心率为 【答案】类型五：双曲线的焦点三角形 8双曲线实轴长 6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.解析：由双曲线的定义有 : ， . 即 . 故的周长 .【变式1】双曲线的方程，点 A、B在双曲线的右支上，且线段 AB经过双曲线的右焦点 F2, |AB|=m , Fi 为另一焦点，那么 ABF的周长为 A. 2a+2mB. 4a+2mC . a+mD . 2a+4m【答案】B【变式2】是双曲线的两个焦点，P在双曲线上且满足，那么 【变式3】双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。【答案】