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1、学生学校年级科目教师日期时段次数课题教学重点难点课前热身:能被4、8 9整除的数的特征重点：能被4, 8，9整除的数的特征 难点：能被4, 8，9整除的数的特征一、作业检查:教 学 步 骤 及 教 学 内 容三、内容讲解:数的整除具有如下性质：性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48 一定能被8整除。性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21 + 15及21-15都能被3整除。性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定
2、能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126 能被9X 7 = 63整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：(1) 一个数的个位数字如果是0，2, 4, 6, 8中的一个，那么这个数就能被2整除。(2) 一个数的个位数字如果是 0或5,那么这个数就能被5整除。(3) 个数各个数位上的数字之和如果能被 3整除，那么这个数就能被3整除。(4) 一个数的末两位数如果能被 4 (或25)整除，那么这个数就能被4 (或25)整 除。(5) 一个数的末三位
3、数如果能被 8 (或125)整除，那么这个数就能被 8 (或125)整除。(6) 个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。其中(1)( 2)( 3)是三年级学过的内容，(4)( 5)( 6)是本讲要学习的内容。因为100能被4 (或25)整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4 (或25) 整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的 性质2知，只要这个数的后两位数能被 4 (或25)整除，这个数就能被4 (或25)整除。 这就证明了( 4)。类似地可以证明(5)。(6)的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。837= 8
4、00+ 30 + 7=8X 100+ 3X 10+ 7=8X( 99 + 1)+ 3X( 9+ 1)+ 7=8X 99 + 8+ 3X 9+ 3+ 7=(8 X 99 + 3 X 9) + ( 8+ 3+ 7)。因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，(8X 99+ 3X 9) 能被9整除。再根据整除的性质2,由(8 + 3+ 7)能被9整除，就能判断837能被9整 除。利用(4)( 5)( 6)还可以求出一个数除以4, 8, 9的余数：(4Z) 一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。(5Z) 一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。(6Z) 一个数除以
5、9的余数，与它的各位数字之和除以 9的余数相同。 例1在下面的数中，哪些能被4整除哪些能被8整除哪些能被9整除 234，789，7756, 8865,。解：能被4整除的数有7756, 3728, 8064;能被8整除的数有3728, 8064;能被9整除的数有234, 8865, 8064。例2在四位数56口2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9, 8, 4整除解：如果56口2能被9整除，那么5+ 6+ 2= 13+口应能被9整除，所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除；如果56口2能被8整除，那么6口2应能被8整除，所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672
6、时能被8整除；如果56口2能被4整除，那么 2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9， 即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。到现在为止，我们已经学过能被 2, 3, 5, 4, 8, 9整除的数的特征。根据整除的性 质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6=2X 3, 2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质 3,可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被 12整除，只需判断这个数能否 同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被 8和9整除； 如此等等。
7、例3从0, 2, 5, 7四个数字中任选三个，组成能同时被 2, 5, 3整除的数，并将这些数 从小到大进行排列。解：因为组成的三位数能同时被 2, 5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除 的特征，数字和2+ 7+ 0与5+ 7+ 0都能被3整除，因此所求的这些数为270, 570, 720, 750。例4五位数亦丽能被72整除，问：A与B各代表什么数字分析与解：已知昴丽 能被72整除。因为72= 8X 9, 8和9是互质数，所以盟額B既 能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求 MR能被8整除，由此 可确定B= 6。再根据能被9整除的数的特征，亦凸日的各位数字之和为A
8、+ 3+ 2+ 9+ B= A+ 3-f 2 + 9 + 6 = A+ 20,因为I AW 9,所以2K A+ 20 29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A= 7。解答例4的关键是把72分解成8X 9,再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B 和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A 的取值大小的影响，一旦 B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。例5六位数BABA是6的倍数，这样的六位数有多少个分析与解：因为6 = 2X 3,且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由 六位数能被2整除，推知 A可取0, 2, 4, 6, 8
9、这五个值。再由六位数能被 3整除，推 知3 + A+ B+ A+ B+ A= 3+ 3A+ 2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0, 3, 6, 9这4个值。由于B可以取4个值， A可以取5个值，题目没有要求 心B,所以符合条件的六位数共有 5X 4 = 20 （个）。 例6要使六位数硕阪能被36整除，而且所得的商最小，问A, B, C各代表什么数字分析与解：因为36 = 4X 9,且4与9互质，所以这个六位数应既能被 4整除又能被 9整除。六位数崗両能被4整除，就要 丽能被4整除，因此C可取1, 3, 5, 7, 9。要使所得的商最小，就要使顾阪这个六位数尽可能小。因此首先是 A尽量小，
10、其 次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0=六位数厉。百岳 的各位数字之和为12+ B + C。它应能被9整除，因此B+ C= 6或B+ C= 15。因为B, C应尽量小，所以B+ C= 6, 而C只能取1, 3, 5, 7, 9,所以要使fsOBCG尽可能小，应取B= 1, C= 5。当A=0, B=1, C= 5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156- 36 = 4171。四、课堂小结【知识归纳】数的整除具有如下性质：性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。性质2如果两个数都能被一个自然数整除， 那么这两个数的和与差也一定能被这个自然 数
11、整除。性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的 自然数的乘积整除。能被4, 8,9整除的数的特征：（1）一个数的末两位数如果能被 4 （或25）整除，那么这个数就能被4 （或25）整 除。（2） 一个数的末三位数如果能被 8 （或125）整除，那么这个数就能被 8 （或125） 整除。（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被 9整除，那么这个数就能被9整除。(4) 一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。(5) 个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。(6) 个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以 9的余数相同。五、作业布置1. 6539
12、724能被4, 8, 9, 24, 36, 72中的哪几个数整除2个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个3. 些四位数，百位上的数字都是 3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整 除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少4. 五位数而矗 能被12整除，求这个五位数。5. 有一个能被24整除的四位数 23口，这个四位数最大是几最小是几6. 从0, 2, 3, 6, 7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有 重复数字的四位数7. 在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除8. 学校买了 72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是口元，你知道每只小足球多少钱吗