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1、2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学试卷（理科） 本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。第卷1至2页，第卷3至5页。考试结束后，将II卷答题卡和选择题答题卡一并交回。第I卷（选择题，共40分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。一. 选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1复数（其中为虚数单位）的虚部等于( )A B
2、C D【答案】B,所以虚部为，选B.2. 是的（ ） A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】C由得或，所以是的必要不充分条件，选C.3阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的的值是（ ）A B C D【答案】D第一次循环，;第二次循环，;第三次循环，;第四次循环，不满足条件，输出，选D.4. 若展开式中的系数为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A二项展开式的通项为，由得，所以，即的系数为，即，所以，解得，选A.5已知双曲线的左右焦点分别为，在双曲线右支上存在一点满足且，那么双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】C因为且，所以
3、,又，所以，即双曲线的离心率为，选C.6. 在中，内角所对的边分别为，其中，且面积为,则( )A. B. C. D. 【答案】D，即，所以，所以，所以。因为，所以，所以,选D.7. 在平行四边形中，,连接、相交于点，若,则实数与的乘积为（ ）A B C D 【答案】B因为三点共线，所以设,则。同理三点共线，所以设,则，所以有，解得，即，所以，即，选B. 8.已知函数,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（ ）A B C D 【答案】C函数的导数为，由得，即函数的极小值为，所以。当时，又，所以在上函数有且只有一个零点，即在上函数有且只有一个零点.，由得，即函数的极小值为，所以。当时，又，
4、所以在上函数有且只有一个零点，即在上函数有且只有一个零点，又函数的零点均在区间内，所以，即，所以的最小值为10，选C.2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学试卷（理科） 第卷 (非选择题，共110分)注意事项：1第卷共页，用黑色的水笔或签字笔将答案直接答在答题卡上2答卷前，请将密封线内的项目填写清楚二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应的横线上.9.某工厂生产三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为，现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有件，那么此样本容量 【答案】 由题意可知，解得。10.右图是一个空间几何体的
5、三视图，则该几何体的体积大小为 .【答案】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2,1的长方体挖去一个半径为1的半球。所以长方体的体积为，半球的体积为，所以该几何体的体积为。11. 已知，则的大小关系为 【答案】，所以。12. 己知集合， 若，则实数等于 .【答案】，因为，所以由数轴可知，即是方程的两个根，所以，解得。13. 直线（极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线被圆截得的弦长为，则实数的值为 .【答案】 或在平面直角坐标系下直线方程为，圆的方程为，即，所以圆心为，半径。若直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离，又，即，解得或。14. 设函数为坐标原点，图象上横坐标为的点，向
6、量的夹角，满足的最大整数是 .【答案】 由题意知，又，因为，所以，所以，。因为，且，所以满足的最大整数是3.三.解答题：本大题6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本题满分13分）已知函数，求：(I) 求函数的最小正周期和单调递增区间；(II) 求函数在区间上的值域16（本题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试规定每人必须从备选的道题中随机抽出道题进行测试，在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的道题答对一题加分，答错一题（不答视为答错）得0分（）求乙得分的分布列和数学期望；（）规定：每个人至少得分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的
7、概率17.（本题满分13分）如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，FEDCBAP且,设、分别为、的中点() 求证： /平面；() 求证：面平面； () 求二面角的正切值18(本题满分13分）已知数列的前项和为，且，数列满足，且点在直线上（）求数列、的通项公式；（）求数列的前项和；（）设，求数列的前项和19. (本题满分14分) 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且（）求椭圆的离心率；（）是过三点的圆上的点，到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程； （）在（）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围2
8、0 (本题满分14分) 设函数，（）讨论函数的单调性； （）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考数学答案（理科）一选择题： B C D A C D B C二、填空题：9 10 11 12 13 或 14 三、解答题15已知函数，.求：(I) 求函数的最小正周期和单调递增区间；(II)求函数在区间上的值域【解】(I)： 4分最小正周期， 5分时为单调递增函数的单调递增区间为8分 (II)解: ，由题意得: ， 值域为 13分16. 甲、乙两人参加某种选拔测试规定每次考试每人必须从备选的道题中随
9、机抽出道题进行测试，在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的道题答对一题加分，答错一题（不答视为答错）得0分（）求乙得分的分布列和数学期望；（）规定：每个人至少得分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率【解】设乙的得分为，的可能值有 .1分 5分乙得分的分布列为：6分所以乙得分的数学期望为 8分(2) 乙通过测试的概率为 9分甲通过测试的概率为 11分甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为 13分17如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,FEDCBAP侧面底面，且,若、分别为、的中点() 求证： /平面；() 求证：面平面； (
10、) 求二面角的正切值 法一：()证明：为平行四边形连结，为中点，为中点在中/ .2分且平面，平面 4分()证明：因为面面平面面为正方形，平面所以平面 5分又，所以是等腰直角三角形，且即 6分，且、面面 分又面面面8分() 【解】：设的中点为,连结,则由()知面,，面，是二面角的平面角 12分中，故所求二面角的正切值为 13分法二：如图,取的中点, 连结,., .侧面底面, , 而分别为的中点,又是正方形,故.,.以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,则有,.为的中点, .3分（）证明：易知平面的法向量为而,且, /平面 .6分()证明：, ,从而,又,而, 平面平面 9分() 【解】：由()知
11、平面的法向量为.设平面的法向量为.,由可得,令,则,故,即二面角的余弦值为, .12分所以二面角的正切值为 .13分18 已知数列的前项和为，且，数列满足，且点在直线上（）求数列、的通项公式；（）求数列的前项和；（）设，求数列的前项和【解】（）当， 1分当时， 2分 ，是等比数列，公比为2，首项 3分 又点在直线上， ，是等差数列，公差为2，首项， 5分（） 得 7分 8分 9分 （） 11分 13分19设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且. （）求椭圆的离心率； （）是过三点的圆上的点，到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程； （）在（）的条件下，过右焦点
12、作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴上相交于点，求实数的取值范围【解】（）连接，因为，所以，即，故椭圆的离心率 3分（其他方法参考给分）（）由（1）知得于是, ，的外接圆圆心为），半径5分到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，所以，解得 7分所求椭圆方程为. 8分（）由（）知, ： 代入消得 因为过点，所以恒成立设，则， 中点 10分当时，为长轴，中点为原点，则 11分当时中垂线方程 令， 12分 ， 可得 13分综上可知实数的取值范围是 14分20.设函数， （）讨论函数的单调性； （）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围【解】（）， 1分，函数在上单调递增 2分，函数的单调递增区间为 3分，函数的单调递减区间为 4分（）存在，使得成立等价于：，5分考察， ， 6分递减极（最）小值递增 8分由上表可知：， 9分所以满足条件的最大整数； 10分（）当时，恒成立等价于恒成立， 11分记，所以， 。记，即函数在区间上递增，记，即函数在区间上递减，取到极大值也是最大值 13分所以。 14分另解，由于，, 所以在上递减，当时，时，即函数在区间上递增，在区间上递减， 13分所以，所以。 14分- 16 -