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1、第四十周 数学开放题专题简析：数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。由于客观世界复杂多变，数学问题也必然复杂多变，往往不可能得到唯一答案。一般而言，数学开放题具有以下三个特征：1，条件不足或多余；2，没有确定的结论或结论不唯一；3，解题的策略、思路多种多样。解答数学开放题，需要我们从不同角度分析和思考问题，紧密联系实际，具体问题具体分析。我们一般可以从以下几方面考虑：1，以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进问题的顺利解决；2，根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合，采用不同的方法求解；3，避免“答案唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出现的多种情况，得出不
2、同的答案。例1：A、B都是自然数，且AB=10，那么AB的积可能是多少？其中最大的值是多少？分析与解答：由条件“A、B都是自然数，且AB=10”，可知A的取值范围是0 10，B的取值范围的10 0。不妨将符合题意的情形一一列举出来：010=0 19=9 28=16 37=21 46=24 55=25AB的积可能是0、9、16、21、24、25。当A=B=5时，AB的积的最大值是25。从以上过程发现，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积越大。练 习 一1甲、乙两数都是自然数，且甲乙=32，那么，甲乙的积的最大值是多少？2A、B两个自然数的积是24，当A和B各等于多少时，它们的和最小？3A、B、
3、C三个数都是自然数，且ABC=18，那么ABC的积的最大值是多少？例2：把1 5五个数分别填 图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是9。 分析与解答：每条直线上三个圆圈内各数的和是9，两条直线上数的和等于92=18（其中中间圈内的数重复加了一次）。而1、2、3、4、5的和为15，1815=3。所以，中间圈内应填3。这样，两条直线上的圆圈中可以分别填1、3、5与2、3、4。这个解我们也叫做基本解，由这个基本解很容易得出其余的七个解。练 习 二1，把1 5五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是10。2，把3 7五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆
4、圈内各数的和相等而且最大。 3，把1 7七个数分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。 例3：把1 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于9。 分析与解答：每边上三个数的和都等于9，三条边上数的和等于93=27，27（123456）=6。所以，三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6。在1 6，只有123=6，故三个顶点只能填1、2、3。这样就得到一组解：1、5、3；1、6、2；3、4、2。练 习 三（3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物
5、线的顶点位置，即抛物线位置的高低。1，把1 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于12。锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。 （6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）2，把1 8八个数分别填入图中的八个圆圈中，使每个圆圈上五个数的和都等于21。弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。 化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。3，把1 9这九个数分别填入图中的九个圆圈中，使每条边上四个数的和相等而且最小。 （2）圆周角定理:圆周角的度数等于它
6、所对弧上的的圆心角度数的一半.例4：在一次羽毛球比赛中，8名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军。共打了多少场比赛？（两名运动员之间比赛一次称为一场）sin分析与解答：8名运动员进行淘汰赛，第一轮赛4场后，剩下4名运动员；第二轮赛2场后，剩下2名运动员；第三轮只需再赛1场，就能决出冠军。所以，共打了421=7场球。还可以这样想：8名运动员进行淘汰赛，每淘汰1名运动员，需要进行1场比赛，整个比赛共需要淘汰81=7名运动员，所以共打了7场比赛。练 习 四1，在一次乒乓球比赛中，32名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共打了多少场球？3.余弦：2，在一次足球比赛中，采取淘汰制，共打了11场球，最后决出冠军。
7、共有多少支足球队参加了这次比赛？3，有13个队参加篮球赛，比赛分两个组。第一组7个队，第二组6个队。各组先进行单循环赛（即每队都要与其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4个队再分成两组进行淘汰赛，最后决出冠、亚军。共需比赛多少场？例5：一个学生从家到学校，如果以每分钟50米的速度行走，就要迟到8分钟；如果以每分钟60米的速度前进，就可以提前5分钟到校。这个学生出发时离上学时间有多少分？二特殊角的三角函数值分析与解答：解答这道题，可以以不同的时间为标准，选择的标准不同，解答方法也有所不同。例如，如果直接以这个学生出发时离上学的时间为标准。可这样分析：由“每分钟行50米，要迟到8分钟”，可知学
8、校上课时，这个学生还离学校508=400米；由“每分钟行60米，可以提前5分钟到校”，可知距学校上课时，他还可走605=300米。两种不同的速度，在相同的时间内路程相差400300=700米，而两种速度每分钟相差6050=10米。因此，这个学生出发时离上课时间为：70010=70分钟。解法一：（508605）（6050）=70分；解法二：60（58）（6050）8=70分；43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-23解法三：50（85）（6050）5=70分。练 习 五1，李老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟80米，他将迟到5分钟；如果骑自行车，每分钟行200米，他可以提前7分钟到校。李老师出发时离上班时间有多少分？2，一位小学生从家到学校，如果以每分50米的速度行走，就迟到3分钟；如果以每分70米的速度行走，就可以提前5分到校。求他家到学校的距离。3，一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3分钟，发现这样走下去将迟到3分钟；于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果比上课提前了3分钟。这个学生家离学校有多远？