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1、第二十一章 一元二次方程,21.1一元二次方程,一.复习1.什么叫方程？我们学过那些方程？2.什么叫一元一次方程？3.什么叫分式方程？,?,问题情景(1),问题(1)要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?,A,C,B,雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:,分析:,即,设雕像下部高xm,于是得方程,整理得,x,2-x,?,问题情景(2),问题(2) 有一块矩形铁皮,长100,宽50,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方
2、厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?,100,50,x,3600,分析:,设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .,(100-2x)cm,(50-2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得,即,问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,问题情景(3),分析:,全部比赛共,47=28场,设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 场.,即,(x-1),这三个方程都不是一元一次方程.那么这
3、三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？,特点:,都是整式方程;,只含一个未知数;,未知数的最高次数是2.,探究新知:,一元二次方程的概念,像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown),一元二次方程的一般形式,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。,为什么要限制a0，b,c可以为零吗？,想一想,a x 2 + b x + c = 0,(a 0),二次项系数,一次项系
4、数,常数项,下列方程中哪些是一元二次方程？,是一元二次方程的有：,例题1,例题2,将方程 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。,解：去括号，得,3x2-3x=5x+10,移项，合并同类项得,3x2-8x-10=0,二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的,例题讲解,方程（2a4）x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？,解：当a2时是一元二次方程；当a2，b0时是一元一次方程；,例题3,例、若关于的方程（）2是一元二次方程，求的取值范围。,1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的
5、二次项系数，一次项系数及常数项：,一般式：,二次项系数为4，一次项系数0，常数项81.,练 习,一般式：,二次项系数为4，一次项系数8，常数项25.,一般式：,二次项系数为3，一次项系数7，常数项1.,2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；,解：设其边长为x，则面积为x2,4x2=25,（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；,x(x2)=100.,x22x100=0.,解：设长为x，则宽（x2）,（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一
6、段的长x；,x1 = (1x) 2,X23x1=0.,解：设其中的较短一段为x，则另较长一段为（1x）,已知关于x的一元二次方程(m1)x23x-5m40有一根为2,求m.,分析:一根为2，即x2,只需把x2代入原方程.,一元二次方程解的概念,方程解的定义是怎样的呢?,能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根.,例题：已知x=2是关于x的方程的一个根，求2a-1的值。,得2a=62a-1=5,1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1 D.(
7、a2+1)x2=0,2.当m为何值时,方程 是关于x的一元二次方程.,D,?,3. 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：,练习：1、已知x=1是关于x的一元二次方程2x+kx-1=0的一个根，求k的值2、已知x=0是关于x的一元二次方程(a-1)x+x+a-1=0的一个根，求a的值,1.一元二次方程的概念,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。,2、一元二次方程的一般形式,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。,作业：P4 1、2、4、5、6、7,