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1、含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解 法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数 的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习 的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类下面我们 通过几个例子体会一下。一.二次项系数为常数2例1、解关于x的不等式：x (m 1)x m 0解：原不等式可化为：(x-1 ) (x+n) 0(两根是1和-mJ谁大)(1)当 1-m 即 m-1 时，解得：x-m 当1=-m即m=-1时，不等式化为：x2 2x 10 x
2、1(3)当 1-m即 m-1 时，解得：x1综上，不等式的解集为：1 当 m 1 时，x | x 1或x m2 当m1时，x | x 13 当 m 1时，x | x -m或x 1例2：解关于x的不等式：x2 (a 2)x a 0.(不能因式分解)解： a 2 2 4a(方程有没有根，取决于谁)1当a 2 2 4a0即423 a 42，3时，解集为R2 当a 2 2 4a0时a4 273a4 20两根为刈.a2 4a二，x22aa .a2 4a2a解得：(3)当 a0 时,原式可化为：x2a a2 4a 2a1 0 a此时当a 0时，解集为当4时，解得：xR;12当4时解得：x a a2 4a或
3、综上，(1)当a 0时，解集为(a商4a , a府4a)； 2a2a(2)当4 a 0时，解集为R;(3)当a 4时，解集为(，1)(1,);22(4) 当 a 4 时， 解 集 为( a . a2 4a)( a .a2 4a )， 2a2a ，上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型， 但它们对参数a都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数 a的分类，对于初 学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现 一个规律：参数a的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0时所得到的a的值为数轴的分点进行分类，如：解关于x的不等式：(a2 1)x2 3ax 3 0解：(a2 1)
4、x2 3ax 3 0()a2 1 0 a 1或 a 1 ；9a2 4 (a2 1) 3 0 a 2或 a 2；当a 2时，a2 1 0且 0,()解集为R；当 a 2 时，a2 1 0 且 0,()解集为(，1) (1,)；当 2 a 1 时，a2 1 0 且 0,右R 徐4/3a .12 3a23a 12 3a2、()解集为(，2)(2,)；2a 22a 2当 a1 时，() 3x 3 0x 1,()解集为(，1);（）解集为（3a 一 12 3a22a2 2一 23a . 12 3a2a2 23x 3 0 x 1 ,()解集为(1,)；当 1 a 2 时，a2 1 0 且 0,（）解集为（
5、,3a二七（3112/，）；2a 22a 2当 a2 时，a210且0,（）解集为（，1）（ 1,）；当a2时，a210且0,（）解集为R.综上，可知当a 2或a 2时，解集为R;当a 2时，（,1） （1,）;当2 a 1或1 a 2时，解集为（,3a 212 3a2 ）（ 3a 、212 3a2,）;当21时，解集为2a2 22a2 2（）；当1a 1时，（）解集为（3a、2底葺，-_F/）；当a 1时,2a 22a 2（）解集为（1,）；当2 2时，解集为（，1） （ 1,）.通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了 “通法” 都可迎刃而解了。