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1、2013年全国中考数学试题分类汇编41：开放性问题 开放性问题 一(选择题 二(填空题 1(2013徐州，13，3分)请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称: ( 考点:中心对称图形( 专题:开放型( 分析:常见的中心对称图形有:平行四边形、正方形、圆、菱形，写出一个即可( 解答:平行四边形是中心对称图形(故答案可为:平行四边形( 点评:本题考查了中心对称图形的知识，同学们需要记忆一些常见的中心对称图形( ABCDEF2(2013上海市，15，4分)如图3，在?和?中，点B、F、C、E在同ABCDEF一直线上，BF = CE，AC?DF，请添加一个条件，使?，这个添加的条件可以是_(只需写一
2、个，不添加辅助线) 3.(2013四川巴中，14，3分)如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，?1=?2，BC=EF，要使?ABC?DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 CA=FD (只需写出一个) - 1 - 考点:全等三角形的判定( 专题:开放型( 分析:可选择添加条件后，能用 SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加( 解答:解:添加 CA=FD，可利用SAS判断?ABC?DEF( 故答案可为CA=FD( 点评:本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答 案不唯一( 4(2013江西南昌，15，3分)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt?AB
3、C的两条直角边长，且S=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 ( ?ABC(2【答案】x,5x+6=0 【解析】先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程( 【方法指导】本题是道结论开放的题(答案不唯一)，已知直角三角形的面积为3(直角边长未定)，要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况(即保证方程的根为整数)，如直角边长分别为2、3的直角三角形的面积就是3，以2、3为根的22xx,，,560xx,，,760一元二次方程为;也可以以1、6为直角边长，得方程为. 5(2013山东菏泽，12，3分)我们规定:将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的
4、“面线”. “面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”) .已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是_(写出1个即可). 【答案】3或(写出1个即可). 222)根据“三线合一”等可知，面径为底边上的高h，;(2) 【解析】1h,2,1,3与一边平行的线段(如图)，设DE=x，因为?ADE与四边形 x12(),DBCE面积要相等，根据三角形相似性质，有. 22解得x=. 综上所述，所以符合题意的面径只有这两种数量关系. 2【方法指导】根据规定内容的定义，思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分的直线存在有两种情形:(1)高(中线、角平分线
5、)所在线;(2)与一边平行的线.要把一个三角形面积进行两等份，这样的直线有无数条，都过这个三角形三边中线的交点(重心).经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形. - 2 - 三(解答题 1.(2013山西，25，13分)(本题13分)数学活动求重叠部分的面积。 问题情境:数学活动课上，老师出示了一个问题: 如图，将两块全等的直角三角形纸片?ABC和?DEF叠放在一起，其中?ACB=?E=90?，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G。 求重叠部分(?DCG)的面积。 )独立思考:请解答老师提出的问题。 (1【解析】解:?ACB=
6、90?D是AB的中点, (25题(1) FECGABD?DC=DB=DA,?B=?DCB 又?ABC?FDE，?FDE=?B ?FDE=?DCB,?DG?BC?AGD=?ACB=90?DG?AC 又?DC=DA,?G是AC的中点, 1111?CG=AC=8=4,DG=BC=6=3 222211?S=CG?DG=43=6 DCG22(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发，将?DEF绕点D旋转，使DE?AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图(2)，你能求出重叠部分(?DGH)的面积吗,请写出解答过程。 (25题(2) 【解析】解法一: ECFH2G13ABD?ABC?FDE,?B=?1 -
7、3 - ?C=90?,ED?AB,?A+?B=90?, ?A+?2=90?, ?B=?2,?1=?2 ?GH=GD ?A+?2=90?,?1+?3=90? ?AG=GD，?AG=GH ?A=?3,?点G是AH的中点， 在Rt?ABC中，AB= 10 1?D是AB的中点，?AD=AB=5 2在?ADH与?ACB中，?A =?A，?ADH=?ACB=90?, DHADDH5156?ADH?ACB, ?=,=,?DH=, AC8CB411111575?S,S,DH?AD=5= ?DGH?ADH4222164(25题(2) ECFH2G13ABD解法二:同解法一，G是AH的中点， 连接BH，?DE?
8、AB，D是AB的中点，?AH=BH，设AH=x则CH, 在Rt?BCH中，CH2+BC2=BH2，即(8,x)2+36=x2，解得x= 12575?S?ABH=AH?BC=6= 44211117575?S=S= S=. ,?ADH?ABH4421622- 4 - (25题(2) ECFHM2G13ABDN解法三:同解法一，?1=?2 )知，?B=?DCB=?1，?1=?2=?B=?DCB，?DGH?BDC, 连接CD，由(1作DM?AC于点M，CN?AB于点N，?D是AB的中点，?ACB=90? 11?CD=AD=BD，?点M是AC的中点，?DM=BC=6=3 22112222在Rt?ABC
9、中，AB=10，AC?BC=AB?CN， ACBC+=+8622ACBC创8624?CN,. =AB1052SDM,DGH?DGH?BDC, ?, ,SCN,BCDC22DMDM1,?= SS,，BDCN,DGHBCDCCNCN2,2,312575S,，,? 5DGH,252416,4(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习，将?DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是:如图(3)，将?DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN求重叠部分(?DMN)的面积、 任务:?请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出?DMN的面积是 ?请你仿
10、照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答(注:也可在图(1)的基础上按顺时针方向旋转)。 - 5 - (25题(3) (25题(4) CEMFNABDFCNEMABD 75【答案】? 16?注:此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得1分，画图正确得1分，重叠部分未涂阴影不扣分。示例:如图，将?DEF绕点D旋转，使DE?BC于点M，DF交AC于点N，求重叠部分(四边形DMCN)的面积。 22(2013?潍坊，24，13分)如图，抛物线关于直线x,1对称，与坐标轴y,ax，bx，c3,D2，AB,4交于A、B、C三点，且，点在抛物线上，直线l是一次函数,
11、2,O的图象，点是坐标原点( ，y,kx,2k,0(1)求抛物线的解析式; - 6 - (2)若直线平分四边形的面积，求的值( klOBDC(3)把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两lM、NPPM点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于ykyPNP轴对称,若存在，求出点坐标;若不存在，请说明理由( 答案:(1)因为抛物线关于直线x,1对称，AB,4，所以A(,1，0)，B(3，0)， a,b，c,0,由点D(2，1(5)在抛物线上，所以，所以3a，3b,1(5，即a，b,0(5， ,4a，2b，c,1.5,b又，即b,2a，代入上式解得
12、a,0(5，b,1，从而c,1(5，所以,12a132( y,x，x，22132(2)由(1)知，令x,0，得c(0，1(5)，所以CD/AB， y,x，x，2273令kx,2,1(5，得l与CD的交点F()， ,2k22令kx,2,0，得l与x轴的交点E(,0)， k根据S,S得:OE，CF,DF，BE， 四边形四边形OEFCEBDF272711即 ，,(3,)，(2,),解得k,k2kk2k513122(3)由(1)知 y,x，x，,(x,1)，2,22212y,x所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 2- 7 - 假设在y轴上存在一点P(0，t)，t,
13、0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM、NN垂足分别为M、N，因为?MPO,?NPO，所以Rt?MPM?Rt?NPN， ，111111MMPM11所以,，(1) NNPN11不妨设M(x，y)在点N(x，y)的左侧，因为P点在y轴正半轴上， MMNN,xt,yMM,则(1)式变为，又y ,k x,2， y,k x,2， MMNNxt,yNN2)(x ，x),2k x x(2)所以(t，MNMN 122y,x把y,kx,2(k?0)代入中，整理得x，2kx,4,0， 2所以x ，x,2k， x x,4，代入(2)得t,2，符合条件， MNMN故在y轴上存在一点P(0，2
14、)，使直线PM与PN总是关于y轴对称( 考点:本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大( 点评:本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。 22x,4x，4x,2x,，13(2013江西南昌，18，6分)先化简，再求值:，在0，1，2，22xx三
15、个数中选一个合适的，代入求值( 【思路分析】先将分式的分子分母因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，约分后得到xx,2x,2xxx,222，可通分得，也可将化为求解( ,1，1，,，,1222222222x,(x2)解原式=?+1 x(x,2)2xx,2 =，1 xx =( 2- 8 - 1 当x=1时，原式= 2【方法指导】本题考查的是分式的化简求值，涉及因式分解，约分等运算知识，要求考生具有比较娴熟的运算技能，化简后要从三个数中选一个数代入求值，又考查了考生的细心答题的态度，这个陷阱隐蔽但不刁钻，看到分式，必然要注意分式成立的条件( 4(2013山东德州,22,10分)设A是由24个整数
16、组成的2行4列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”。 (1)数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表;(写出一种方法即可) (2)数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和(与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值。 7.同角的三角函数间的关系：【思路分析】1)根据提供信息，理解题目要达到要求，答案不唯一，属于开放题(2)分析各行、各列上数字和情况，同时注意其和要符合非负数(?0). 【解】(1)法1: 2、10
17、0以内的进位加法和退位减法。法2: (写出一种即可) (2)每一列所有数之和分别为2,0,2,0,每一行所有数之和分别为,1,1. ?如果操作第三列，则 定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，7.三角形的外接圆、三角形的外心。- 9 - 则第一行之和为2a,1，第二行这和为5,2a， 2a,1?0, 15 5,2a?0 解得 ,a,22又?a为整数， ?a=1 ，或a=2 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0
18、sin1，0cos1。?如果操作第一行， 九年级数学下册知识点归纳22则每一列之和分别为2,2a,2,2a,2a,2,2a, 2,2a?0, 2、加强基础知识的教学，使学生切实掌握好这些基础知识。特别是加强计算教学。计算是本册教材的重点，一方面引导学生探索并理解基本的计算方法，另一方面也通过相应的练习，帮助学生形成必要的计算技能，同时注意教材之间的衔接，对内容进行有机的整合，提高解决实际问题的能力。22 2a,2?0 解得a=1,此时2,2a=0, 2a=2. （2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。综上可知a=1 166.116.17期末总复习【方法指导】本题考查了新定义阅读题、分类讨论思想.本题是一道以数列为素材的新定义阅读理解题，解这类题的关键是顺着题意，理解题目的告诉了什么，要做什么,模仿或拓展运用相关知识内容解决. 本题中运用了分类讨论思想，发挥解题的多样性与严谨性. （6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）- 10 -