《同济大学概率论与数理统计第七章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学概率论与数理统计第七章.ppt（91页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第七章 随机变量的数字特征,主要内容,数学期望方差与标准差协方差和相关系数两个不等式中心极限定理,一、数学期望（均值）,期望定义常见分布的期望随机变量函数的期望期望的性质,引例：某校有3个学生英语考试成绩分别为85、70、70，求平均成绩。,常见分布的期望,例1. 设随机变量XB（5，p），已知 E（X）=1.6，求参数p.例2.设随机变量 ，已知,P=0.32,E(X)=4,随机变量函数的期望,例3试分别求下列分布的,重新计算例5中两个分量的期望。,性质（3),（4）可以推广到任意有限个随机变量上去。,（1）设随机变量 ，则 （2）设随机变量 , 则,例6证明二项分布的数学期望 证: ,且相
2、互独立,例7. 设X，Y相互独立，X参数为2的指数分布， Y参数为3的指数分布， 求E（2X+3Y），E（XY）。答：E （2X+3Y）=2E(X)+3E(Y)=2*1/2+3*1/3=2 E（XY）=E(X) E(Y)=1/6,例8. 设X，Y相互独立，XR（2，6）， YR（-1,3） 求E（2X-3Y+3），E（2XY），E(X2).答：由已知可得 E（X）=4， E（Y）=1， E（2X-3Y+3）=2E（X）-3E（Y）+3=8； E（2XY）=2E(X) E(Y)=8； E(X2).=（a2+ab+b2)/3 =（4+12+36）/3=52/3,二、方差与标准差,定义常见分布方差性
3、质,定义,常见分布方差,方差性质,一般的，有,设 相互独立，则,XB（n,p）,则X=X1+X2+XnXiB(1,p)且相互独立。由性质得D（X）=D X1+DX2+DXn =np(1-p),例12 设X，Y相互独立，XR（0，3）， Y参数为2的指数分布， 求D（X+Y）,E(X2Y2). 解： D(X+Y)= D(X)+ D(Y) = 3/4 + 1/4= 1 由X，Y相互独立可推得X2，Y2相互独立， 因此 E(X2Y2)= E(X2) E(Y2) = D(X) + E(X)2 D(Y)+ E(Y)2 = 3/4 + 9/4 1/4 +1/4 = 3/2,例13 设X，Y相互独立， XN
4、（1,4），YN(0,1) ， 1). 求E(X-2Y), D（X-2Y）, 2). 求Z=X-2Y的密度函数解： E(X-2Y)=1 D（X-2Y）=D(X)+4D(Y)=4+4=8 Z=X-2YN(1,8),三、协方差和相关系数,协方差定义协方差性质相关系数定义相关系数性质,协方差定义,E（X）=0， E（Y）=1， E（XY）=-1/3，,可以推出Cov（X,Y） =-1/3,求Cov（X，Y）,例16 试证cov(X+Y,X-Y)=D(X)-D(Y) 证： cov(X+Y,X-Y) =cov(X,X)-cov(X,Y)+cov(Y,X)- cov(Y,Y) =D(X)-D(Y).,相关系数定义,四、两个不等式,五、中心极限定理,大数定律中心极限定理,（一） 大数定律,依概率收敛定义独立同分布情形下的大数定律,依概率收敛,独立同分布情形下的大数定律,（二）中心极限定理,进一步说明：,