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1、元二次方程题型分类总结知识梳理一、知识结构:解与解法n根的判别一元二次方程韦达定理冰考点类型一概念定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。一般表达式：/十/八，+c=0（*0）难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”：未知数指数为“2”：若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A3（x+l）2=2（x+1）B-4+-2=0jCxCcue2+bx+c=0Dx2+2x=x2+变式：当k时，关于X的方程+2x=/+3是一元二次方程。例2、方程（?+2卜时
2、+3帆x+l=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习： 1、方程8/=7的一次项系数是,常数项是。 2、若方程（?-2卜叫t=0是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。 3、若方程-1卜2+/加x=l是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是o 4、若方程nxm+xk2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=3,n=lC.n=2,m=lD,m=n=1考点类型二上程的解U）概念：|使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。|（2）应用：|利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知2），2+），一3的值为2,则4y2+2y+1的值为。例2、关
3、于x的一元二次方程（，-2k2+工+/-4=（）的一个根为0,则a的值为。例3、已知关于x的一元二次方程以2+以+。=0（。工0）的系数满足a+c=6,则此方程必有一根为O例4、已知是方程-4x+?=0的两个根，C是方程），2一8），+5?=0的两个根，则m的值为o针对练习：1、已知方程/+匕（10=0的一根是2,则k为，另一根是oV-1-12、已知关于x的方程/+履一2=0的一个解与方程:一=3的解相同。x-1求k的值：方程的另一个解。3、已知m是方程工2-工一1=0的一个根，则代数式/?=4、已知。是，/-3工+1=0的根，则2a26“=。5、方程（。一卜2+0-c）x+c-4=。的一个根
4、为（）A-1B1Cb-cD-a6、若2x+5y3=0,4,32=。考点类型三解法方法：I直接开方法;因式分解法；配方法；公式法辂）关键点：I降次类型一、直接开方法：x2=in（in0）,=x=ym对于（x+d=?，（+?）2=（以+炉等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：（1）2-8=0;（2）25-16x2=0;（3*1-十一9=0;例2、若9（x1）2=16（x+2）2,则x的值为0针对练习：|下列方程无解的是（）A.x2+3=2x2-1B.（x-2）2=0C.2x+3=l-xD.x2+9=0类型二、因式分解法：（戈-内工-七卜0=x=演，或丫=W方程特点：左边可以分解为两个一次因
5、式的积，右边为“0”,（x + ax + /?） = （% + ax + c）,C %） = , Xj = 3 D x =2 -5则4x+y的值为 oX方程形式：如（ax+in）2=（bx+n）2,x2+2ax+a2=0典型例题：例1、2Mx-3）=5（x-3）的根为（5Ax=Bx=32例2、若（4x+y）2+3（4x+y）-4=0,变式1：（cJ4-b1）-（6/2+/?2）-6=0,则会+h-=o变式2：若（1+427-），）+3=0,则*+丫的值为o变式3：若/+封+）,=14,）/+盯+x=28,则x+y的值为例3、方程V十国一6=0的解为（）A.*=3,x)=2B.*=3,x2=-2
6、C,内=3,x)=-3D.玉=2,)=一2例4、解方程：/+2(6+1卜+2、田+4=0例5、已知2/一3xy-2y2=。，则二1的值为。变式：已知2-3xy-2y-=0,且x0,)，0,则上的值为。针对练习:1、下列说法中：(D方程/+x+9=0的二根为K,x2,则/+px+q=(x-xx)(x-x2)+6x8=(x-2)(x4).cr-5ab+6b2=(。-2乂。-3)X2-y2=(x+y)(五+77)(五-yy)方程(3x+1)2-7=0可变形为(3x+1+/)(3x+1-、行)=0正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2、以1+将与1-近为根的一元二次方程是()A.x22x6=0
7、B.x2-2x4-6=0C.）/+2y6=0D.y2+2y+6=0 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数:写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足（x+y-3、工+丁）+2=0,则x+y的值为（）A、-1或-2B、T或2C、1或-2D、1或25、方程：/+=2的解是o尸类型三、配方法公+X+C=O（。工0）=X+=5k2a）4a-在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明-2x+3的值恒大于0。例2、已知x、y为实数，求代数式/+2x-4y+7的最小值。例3、已知
8、+尸+以-6)，+13=0,为实数，求的值。例4、分解因式：4f+i2x+3针对练习: 1、试用配方法说明-10/+7工4的值恒小于0。 2、已知/+1一工一，-4=0,则工+=.xXX 3、若/=2-J-3/+12%-9,则t的最大值为,最小值为。 4、如果a+yjc-1=4&(-2+2lb+-4,那么+2Z?3c的值为。类型四、公式法U)条件：|(4W0,且2-4ac0).士器王，(工0,且力2一4北0)典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：(4)3x2-4.v-1 = 0(1)3(1+x)2=6.(X+3x+6)=8./一十1=o(5)3(x-l/3x+1)=(x-12x+5)例2、在
9、实数范围内分解因式：(1)x2-2y2x-3；(2)-4x2+8x-1.(3)2x2-4xy-5y2说明:对于二次三项式+以的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令“/+法+。=0,求出两根，再写成ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.考点类型四根的判别式024C根的判别式的作甬定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于工的方程/+2荻x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的方程-1)/+2g+?=0有实数根，则m的取值范围是()A.m0且m
10、手1B.m0C.mW1D.m1例3、已知关于x的方程一一(4+2卜+24=0求证：无论k取何值时，方程总有实数根；若等腰AABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求AABC的周长。例4、已知二次三项式9/(?+6)x+?-2是一个完全平方式，试求?的值.例5、?为何值时，方程组工+2.、-=6,有两个不同的实数解？有两个相同的实mx+y=3.数解?针对练习: 1、当k时，关于x的二次三项式/+京+9是完全平方式。 2、当A取何值时，多项式3/4x+2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3、已知方程小_a+2=0有两个不相等的实数根，则m的值是.y=kx+2, 4、攵为何值时，方
11、程组匕，广-4x-2y+l=0.（1）有两组相等的实数解，并求此解：（2）有两组不相等的实数解.；（3）没有实数解.5、当取何值时,方程x?-47x+4x+3L-2机+4攵=0的根与川均为有理数？考点类型五方程类问题中的“分类讨论”典型例题:例1、关于x的方程+1*+2mx-3=0有两个实数根，则m为,只有一个根，则m为o例1、不解方程，判断关于x的方程2（x-4）+公=_3根的情况。例3、如果关于x的方程/+心叶2=0及方程/7-2k=0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点类型六根与系数的关系K1）前提：忖于ax?+bx+c=O而言,
12、当满足4工0、A20时,才能用韦达定理。|（2）主要内容：人+x,=-=-a-a应用：I整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2-8x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.73B.3C.6D.v6例2、已知关于x的方程Y/+3-l）x+l=O有两个不相等的实数根项,士,（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗
13、？其正确解应该是多少？例4、已知/-2。-1=0,-2-1=0,求变式：若/一%_1=0,一2。一1=0,则，+2的值为。ba元二次方程的解法专题训练1、因式分解法适用能因式分解移项：使方程右边为0因式分解：将方程左边因式分解.；方法：一提，二套，三十字，四分组由AB=O,则A=0或B=0,解两个一元一次方程2、开平方法/=-二玉=&1适用无一次项的|（一/（心0）=x+b=解两个一元一次方程3、配方法移顶：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变Z）同除：方程两边同除二次项系（每项都要除）配方：方程两边加上一次项系数一半的平方开平方：注意别忘根号和正向解方程：解两个一元一次方程将写求若
14、若4、公式法a、b、cElb2-4nc,r-4ac0,则原方程有两个不相等的实数根，代入公式若b2-4ac=0,则原方程有两个相等的实数根，代入公式T求解。例1、利用因式分解法解下列方程3x(x + l) = 3x + 3（x-2）2=（2x-3）2i-4x=0x2-2V?x+3=0(x-5)2-8(x-5)+16=0(3x + 2)2 =242/ + 1 = 3nx2-2x-399 = 0例2、利用开平方法解下列方程194 (x-3) 2=25豆(2)-1)2例3、利用配方法解下列方程x2-5y/2x+2=03x-6x-12=07x=4x2+2x2-7x+10=0例4、利用公式法解下列方程3
15、x:+5(2x+l)=0-3x2+22x-24=02x(x-3)=x-3.练习：选用适当的方法解下列方程x2-2x-3 = O(x+1)2-3(x+1)+2=0(2x+l)2=9(x-3)2x(x+1)5x=0.(x+4)2=5(x+4)(x+1)2=4x2/10x=3x+5)2=16(2x1)x(12x)=0x2 + 2x + 3=05x?-8(3-x)272H)3x(x+2)=5(x+2)x2 2x 1 =0x2+6x-5=O-3x2+22x-24=02x2+3x+l=03x2+2x-1=05x2-3x+2=07x24x3=0-x2-x+12=04(x-3)+x(x-3)=0x:-2x-4=0(x+1)(x+8)=T23x2+8x-3=0(3x+2)(x+3)=x+14(l-3y)2+2(3y-l)=0