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1、九年级上册第二章一元二次方程一、知识点梳理:知识点一:一元二次方程的定义知识点三:因式分解法解一元二次方程知识点五:一元二次方程的判别公式知识点七:二元一次方程应用题知识点二:开平方法解一元二次方程知识点四:配方法解一元二次方程知识点六:韦达定理二、各知识点讲解:知识点一:一元二次方程的定义(一)知识点:1、只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a*0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.2、判断一个方程是否为一元二次方程的依据(1)是一个整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足,缺一不可。3、一元二次方程的
2、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.一般地,任何一个关于x的一元二次方程,?经过整理,?都能化成如下ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,aw0)的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号(二)、经典例题及相关练习例题1:判断下列方程是否为一元二次方程?(1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2-5=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0x练习1 、在下列方程中,一元二次方程的个数是().3x2+7=0ax2
3、+bx+c=0(x-2)(x+5)=x2-13x2-2=0x2、下列方程是一元二次方程的有。(1) x2+15=0(2)x23xy+7=0(3)x+/x1=4_x(4) m?2m+3=0(5)_2x25=0(6)ax2bx=43、下列方程中,是关于x的一元二次方程的有.x2+2x+y=15x2=072x21=3x(mf+1)x+m2=63x3x=0x2+21=0x例2:一元二次方程一般形式、各项系数及常数项(1) 一元二次方程(x+1)2x=3(x22)化成一般形式是.,(2)把方程(13x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项
4、.练习:1、把一元二次方程(x+2)(x3)=4化成一般形式,得().A、x2+x10=0B、x2x6=4C、x2x10=0D、x2x6=02、将方程3x2=2x1化成一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是()A.3,2,-1B.3,-2,-1C.3,-2,1D.-3,-2,13、一元二次方程3x2J3x2=0的一次项系数是,常数项是.4、方程4x2=3x-2+1的二次项是,一次项是,常数项是5、把方程x(x+1)=4(x1)+2化为一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项例3:利用一元二次方程的定义解题(1)关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次
5、方程,则a的取值范围是.练习1、已知(m+3)x23mx1=0是一元二方程,则m的取值范围是。2、方程(2a4)x22bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?3、当m为何值时,方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程?4、关于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?为什么?(2)若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是练习.、一2一2一一.、一1、关于x的方程mx3xxmx2是一元二次方程,m应满足什么条件?2、a满足什么条件时,关于x的方程a(x2+x)=73x-(x+1)是一元二次方程?3、当m满足什么条件时,方程m(
6、x2+x)=J2x2(x+1)是关于x的一元二次方程?(3)方程(m+2)xm+3mx+1=Qll关于x的一元二次方程,则()A.m=2B.m=2C.m=-2D.mw2a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,且满足0,方程的根是x=-p土J&;如果q0时,?将a、b、c代入式子x=b、b一4ac就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,力口、减、2a乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。)(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.(5)应用公式法解
7、一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解,4)若结果为非负数,代人求根公式,算出结果。条件:a0,且b24ac0b.b24ac2公式:x,a0,且b4ac02a(二)典型例题:例1.用公式法解下列方程.(1)2x2-x-1=0(2)x2+1.5=-3x(3)x2-/2x+-=0(4)4x2-3x+2=02分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.m22例2.某数学兴趣小组对关于x的万程(m+1)x+(m-2)x-1=0提出了下列问题.(
8、1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.(2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.你能解决这个问题吗?针对练习:、选择题).1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到(3 .62B.C.x=3 2.3D.x=2.方程J2x2+4J3x+6J2=0的根是().A . x1= 22. ,x2= 33B. x1=6, x2=C. xi=2 22. , x2= 22.D.x1=x 2=-3. (m2-n2) (m2-n2-2) -8=0,贝U m2-n2 的值是().二、填空题A. 4 B. -2 C. 4 或-2 D. -4 或 21 .一元二次方程ax2+b
9、x+c=0(aw0)的求根公式是,条件是2a2 .当x=时,代数式x2-8x+12的值是-4.3 .若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是.三、综合提高题1 .用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0.2 .设xi,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aw。)的两根,(1)试推导xi+x2=,xix2=;(2)aa?求代数式a(xi3+x23)+b(xi2+x22)+c(xi+x2)的值.例3、选择适当方法解下列方程:223ix6.x3x68.x4xi03x24xi03xi3xixi2x5例2、在实数范围内分解因式:(i)x22岳3;
10、(2)4x28xi.2x24xy5y2说明:对于二次三项式ax2bxc的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令ax2bxc=0,求出两根,再写成ax2bxc=a(xxi)(xx2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去知识点五:一元二次方程的判别公式(一)知识点:1、将一元二次方程ax2+bx+c=0(处行配方,钎士亚壬2、根的判别式la(i)当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当b24ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当b2-4acx2,求下列各式的值:,rr11(1)xiX2=;(2)一=;X1X2(3
11、)(X1X2)2=;(4)(X11)(X21)=例3:若卬沟是方程X22x20070的两个根,试求下列各式的值:(4)X2X1,、11、(D(X11)2(X21)2(2)-(3)(X1)(X2)X11X213X23X133X1X2上X233(6) X1x2练习1、设X1,X2是一元二次方程2x25x10的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的化(D(X12)2(X22)2(2)-2-1-(3)(X1)(X2)(4)X13X23X2X133X1x2(5)%(6)X3x;X22、设x1,*2是一元二次方程4x2-6x-3=0的的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的化22X2X111、(D(X
12、12)(X22)(2)-(3)(X1)(X2)(4)X13X23x2x13(x3X3)3、设x1,*2是一元二次方程2x2-6x+3=0的的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:992xo2x33(1)(xi2)(x22)(2)-(3)(xi)(x2)(4)x13x23x2x133xix2x1/、33(5)(6)xx25x24、已知:a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根,求:(1+2006a+e2)(1+2006b+b2)=例4:关于x的一兀二次方程(m1)x2xm210有一根为0,则m的值为,另一个根为.1、一元二次方程x2mx30的一个根为1,则m的值为,另一个根为.
13、2、已知关于x的方程x2-(m+1)x+1-m=0的一根为4,求它的另一个根及m的值.3、已知关于x的方程2x2-(m+1)x+1-m=0的一根为-1,求它的另一个根及m的值.例5:在关于x的方程4x2m1xm70中,(1)当两根互为相反数时m的值;(2)若两个根之差为5时m的值(3)当两根互为倒数时m的值(4)若方程一根是另一根的2倍,求m的值练习1、若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;2、在关于x的方程x2m1xm70中,(1)当两根互为相反数时m的值;(2)若两个根之差为5时m的值(3)当两根互为倒数时m的值(4)若方程一根是另一根
14、的3倍,求m的值3、已知关于x的方程x2(5k1)xk220,是否存在负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在,求出满足条件的k的值;若不存在,说明理由。4、已知方程x2+px+q=0的二根之比为1:2,方程的判别式的值为1.求p与q之值,解此方程.5、关于x的方程3x2(4m21)xm(m2)0的两实数根之和等于两实数根的倒数和,求m的值.例6:关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根,且这两根平方和比两根积大21.求m的值.练习1、已若关于x的方程x2(m2)xm30两根的平方和是9.求m的值.2、已知方程x23xm0的两根之差的平方是7,求m的值.3、已知关于x的二次方程
15、2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为71,求a的值.4练习为根的一2、构造新方程理论:以两个数元二次方程是例1:解方程组x+y=5xy=6练习.、xxyy3i、解方程组yxy2例2:若实数ab,且a,b满足a28a50,b28b50,则代数式U=的值a1b1为()1、已知a21a,b21b,且ab,则(a1)(b1).2、若m,n分别满足:19m2+20m+1=0,n2+20n+19=0,且mn1,求2mn3m2的值n3、已知a+a21=0,b+b21=0,awb,求ab+a+b的值.4、若实数x、y、z满足x=6y,z2=xy9.求证:x=y.例3:求出以一元二次方程x23x20的
16、两根的和与两根的积为根的一元二次方程。练习1、解方程x24x20,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的根分别是原方程各根的倒数。2、2、若xx2是方程x2-7x+8=0的两根,求作一个新的方程,使它的两个根分别为:土和上3、已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,求以Jy?,白为根的一元二次方程.3、定性判断字母系数的取值范围例1:m为问值时,方程x2+mx3=0与方程x24x(m1)=0有一个公共根?并求出这个公共根.1、设方程x2+px+q=0的两根之差等于方程x2+qx+p=0的两根之差,求证:p=
17、q或p+q=4.2、已知方程x2mx120的两实根是xi和x2,方程x2mxn0的两实根是xi7和x27,求m和n的值。3、已知xi,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,xi+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,求常数p、q的值。例2:当m取什么实数时,方程4x2(m2)x(m5)0(1)有两个正实根。练一练:若方程8x2(m1)xm70有两个正根,则实数m的取值范围(2)有一正根和一负根,求m取值范围。练一练:已知一元二次方程x210x21a0。当a为何值时,方程有一正、一负两个根?(3)有两个负实根练一练:已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根,
18、求实数k的取值范围.(4)两根都大于1,求m取值范围。练习1、已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:m为何值时,方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,方程的两个根一个大于1,另一个小于1.2、若方程x22txt210的两个实根都在2和4之间,实数t的取值范围是提示:2-2,_x2txt10(x(t1)(x(t1)03、若方程3x2(m5)x70的一个根大于4,另一个根小于4,则实数m的取值范围知识点七:二元一次方程应用题(一)知识点:解应用题步骤即:1 .审题;2 .设未知数,包括直接设未知数和间接设未知数两种;3 .找等量关系
19、列方程;4 .解方程;5 .判断解是否符合题意;6 .写出正确的解.(二)典型例题:1、传播问题关键是找好传播规律,可以自己举个例子从一个人算起。有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人可传染人数共传染人数第0轮1(传染源)1第1轮xx+1第2轮x(x+1)1+x+x(x+1)列方程1+x+x(x+1)=121解方程,得X1=10,X2=-12X2=-12不符合题意,所以原方程的解是x=10答:每轮传染中平均一个人传染了10个人。类似问题还有树枝开叉等。练习题1、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流
20、感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?2、某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?2、平均率问题最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系:M=a(1x)nn为增长或降低次数M为最后产量,a为基数,x为平均增长率或降低率平均率和时间相关,必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。(a)平均增长率问题某电脑公司2000年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元,且计划从2000年到2002年,每年经营总
21、收入的年增长率相同,问2001年预计经营总收入为多少万元?解:设每年经营总收入的年增长率为a.列方程,600+40%x(1+a)2=2160解方程,a=0.2a2=-2.2,(不符合题意,舍去)每年经营总收入的年增长率为0.2则2001年预计经营总收入为:600+40%X(1+0.2)=600+40%X1.2=1800答:2001年预计经营总收入为1800万元.(b)平均下降率问题从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升,然后用水注满,再倒出同样升数的混合液后,这时容器里剩下纯酒精5升.问每次倒出溶液的升数?剖析:第一次倒出的是纯酒精,出纯酒精x升,第二次倒出纯酒精(而第二次倒出的就不是纯酒精了.
22、若设每次倒出x升,则第一次倒20x)升.根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精,20就等于容器内剩下的纯酒精的升数.练习题1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和
23、利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子)3、商品销售问题常用关系式:售价一进价=利润一件商品的利润X销售量=总利润单价X销售量=销
24、售额)例1.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.市场调研表明:当销售价每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进台灯多少个?解:设定价为x元,则应进600-10(x-40)个根据题意列出方程:(x-30)600-10(x-40)=10000解这个方程得x1=50x2=80当x=50时,600-10(x-40)=500当x=80时,600-10(x-40)=200答:当定价为50元,则应进500个,当定价为80元,则应进200个方法二解:设定价为(40+x)元,则应进(600-10X)个根据题意
25、列出方程:(40+x-30)(600-10x)=10000解这个方程得x1=10x2=40当x=10时,40+x=50600-10x=500当x=40时,40+x=80600-10x=200答:当定价为50元,则应进500个,当定价为80元,则应进200个1、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售量增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售2件,如果商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?2、某商店如果将进货价格为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现采取提高售价,减少进
26、货量的方法,增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,问应将售价定为多少元时可赚利润720元?3.一超市销售某种品牌的牛奶,进价为每盒1.5元,售价为每盒2.2元时,每天可售5000盒,经过调查发现,若每盒降价0.1元,则可多卖2000盒。要使每天盈利4500元,问该超市如何定价?4、面积问题例3:如图121,在宽20米,长32米的矩形耕地上,修筑同样宽的三条路(两条纵向,一条横向,并且横向与纵向互相垂直),把这块耕地分成大小相等的六块试验田,要使试验田的面积是570平方米,问道路应该多宽?ADEH3CFG图12-1剖析:设路宽为x米,那么两条纵路所占的面积为2x20=40x
27、(米2),一条横路所占的面积为32x(米2).纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCDEFGH的面积,所以三条路所占耕地面积应当是(40x+32x2x2)米2,根据题意可列出方程2、32X20(40x+32x-2x)=570.解:设道路宽为x米,根据题意,得32X20(40x+32x2x2)=570.整理,得x236x+35=0.解这个方程,得xi=1,x2=35.x2=35不合题意,所以只能取xi=1.答:道路宽为1米.说明:本题的分析中,若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图122),就更易发现等量关系列出方程.Q军MN图口一2如前所设,知矩形MNPQ1长MN=(322x)米,宽N住
28、(20x)米,则矩形MNPQ1面积为:(322x)(20x).而由题意可知矩形MNPQJ面积为570平方米.进而列出方程(32-2x)(20x)=570,思路清晰,简单明了.1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮,一个无盖的长方体纸盒,使它的底面积为450平方厘米.2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙35m。鸡场的面积能达到150m2吗?鸡场的面积能达到果不能,请说明理由。(3)若墙长为am,另三边用竹篱隹要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成那么纸盒的高是多少?UL111111h|Ui长18m),另三边用木栏围成,木栏长180m2吗?如果能,请你给出设计方案;如围成,题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?图3923、将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方