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1、九年级上册第二章一元二次方程一、知识点梳理:知识点一：一元二次方程的定义知识点三：因式分解法解一元二次方程知识点五：一元二次方程的判别公式知识点七：二元一次方程应用题知识点二：开平方法解一元二次方程知识点四：配方法解一元二次方程知识点六：韦达定理二、各知识点讲解：知识点一：一元二次方程的定义(一)知识点:1、只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a*0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.2、判断一个方程是否为一元二次方程的依据(1)是一个整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。3、一元二次方程的
2、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，？经过整理，？都能化成如下ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，aw0)的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号(二)、经典例题及相关练习例题1:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2-5=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0x练习1 、在下列方程中，一元二次方程的个数是().3x2+7=0ax2
3、+bx+c=0(x-2)(x+5)=x2-13x2-2=0x2、下列方程是一元二次方程的有。(1) x2+15=0(2)x23xy+7=0(3)x+/x1=4_x(4) m?2m+3=0(5)_2x25=0(6)ax2bx=43、下列方程中，是关于x的一元二次方程的有.x2+2x+y=15x2=072x21=3x(mf+1)x+m2=63x3x=0x2+21=0x例2:一元二次方程一般形式、各项系数及常数项(1) 一元二次方程(x+1)2x=3(x22)化成一般形式是.,(2)把方程(13x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，二次项系数，一次项,一次项系数及常数项
4、.练习：1、把一元二次方程(x+2)(x3)=4化成一般形式，得().A、x2+x10=0B、x2x6=4C、x2x10=0D、x2x6=02、将方程3x2=2x1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是()A.3,2,-1B.3,-2,-1C.3,-2,1D.-3,-2,13、一元二次方程3x2J3x2=0的一次项系数是,常数项是.4、方程4x2=3x-2+1的二次项是，一次项是，常数项是5、把方程x(x+1)=4(x1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项例3:利用一元二次方程的定义解题(1)关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次
5、方程，则a的取值范围是.练习1、已知(m+3)x23mx1=0是一元二方程，则m的取值范围是。2、方程(2a4)x22bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？3、当m为何值时，方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程？4、关于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？(2)若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是练习.、一2一2一一.、一1、关于x的方程mx3xxmx2是一元二次方程，m应满足什么条件？2、a满足什么条件时，关于x的方程a(x2+x)=73x-(x+1)是一元二次方程？3、当m满足什么条件时，方程m(
6、x2+x)=J2x2(x+1)是关于x的一元二次方程？(3)方程(m+2)xm+3mx+1=Qll关于x的一元二次方程，则()A.m=2B.m=2C.m=-2D.mw2a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足0,方程的根是x=-p土J&;如果q0时，？将a、b、c代入式子x=b、b一4ac就得到方程的根.（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，力口、减、2a乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。）（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.（5）应用公式法解
7、一元二次方程的步骤：1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0.2）找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3）计算b2-4ac,若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代人求根公式，算出结果。条件：a0,且b24ac0b.b24ac2公式：x,a0,且b4ac02a(二)典型例题：例1.用公式法解下列方程.(1)2x2-x-1=0(2)x2+1.5=-3x(3)x2-/2x+-=0(4)4x2-3x+2=02分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.m22例2.某数学兴趣小组对关于x的万程(m+1)x+(m-2)x-1=0提出了下列问题.(
8、1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.(2)若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出.你能解决这个问题吗?针对练习:、选择题).1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到(3 .62B.C.x=3 2.3D.x=2.方程J2x2+4J3x+6J2=0的根是().A . x1= 22. ,x2= 33B. x1=6, x2=C. xi=2 22. , x2= 22.D.x1=x 2=-3. (m2-n2) (m2-n2-2) -8=0,贝U m2-n2 的值是().二、填空题A. 4 B. -2 C. 4 或-2 D. -4 或 21 .一元二次方程ax2+b
9、x+c=0(aw0)的求根公式是,条件是2a2 .当x=时，代数式x2-8x+12的值是-4.3 .若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是.三、综合提高题1 .用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.2 .设xi,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aw。)的两根，(1)试推导xi+x2=,xix2=；(2)aa?求代数式a(xi3+x23)+b(xi2+x22)+c(xi+x2)的值.例3、选择适当方法解下列方程：223ix6.x3x68.x4xi03x24xi03xi3xixi2x5例2、在实数范围内分解因式：(i)x22岳3；
10、(2)4x28xi.2x24xy5y2说明：对于二次三项式ax2bxc的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2bxc=0,求出两根，再写成ax2bxc=a(xxi)(xx2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去知识点五：一元二次方程的判别公式(一)知识点：1、将一元二次方程ax2+bx+c=0(处行配方，钎士亚壬2、根的判别式la(i)当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根;(2)当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当b2-4acx2,求下列各式的值:,rr11(1)xiX2=；(2)一=；X1X2(3
11、)(X1X2)2=;(4)(X11)(X21)=例3:若卬沟是方程X22x20070的两个根，试求下列各式的值:(4)X2X1,、11、(D(X11)2(X21)2(2)-(3)(X1)(X2)X11X213X23X133X1X2上X233(6) X1x2练习1、设X1,X2是一元二次方程2x25x10的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的化(D(X12)2(X22)2(2)-2-1-(3)(X1)(X2)(4)X13X23X2X133X1x2(5)%(6)X3x；X22、设x1,*2是一元二次方程4x2-6x-3=0的的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的化22X2X111、(D(X
12、12)(X22)(2)-(3)(X1)(X2)(4)X13X23x2x13(x3X3)3、设x1,*2是一元二次方程2x2-6x+3=0的的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：992xo2x33(1)(xi2)(x22)(2)-(3)(xi)(x2)(4)x13x23x2x133xix2x1/、33(5)(6)xx25x24、已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根，求：(1+2006a+e2)(1+2006b+b2)=例4:关于x的一兀二次方程(m1)x2xm210有一根为0,则m的值为,另一个根为.1、一元二次方程x2mx30的一个根为1,则m的值为,另一个根为.
13、2、已知关于x的方程x2-(m+1)x+1-m=0的一根为4,求它的另一个根及m的值.3、已知关于x的方程2x2-(m+1)x+1-m=0的一根为-1,求它的另一个根及m的值.例5:在关于x的方程4x2m1xm70中，(1)当两根互为相反数时m的值；(2)若两个根之差为5时m的值(3)当两根互为倒数时m的值(4)若方程一根是另一根的2倍，求m的值练习1、若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为；2、在关于x的方程x2m1xm70中，(1)当两根互为相反数时m的值；(2)若两个根之差为5时m的值(3)当两根互为倒数时m的值(4)若方程一根是另一根
14、的3倍，求m的值3、已知关于x的方程x2(5k1)xk220,是否存在负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。4、已知方程x2+px+q=0的二根之比为1：2,方程的判别式的值为1.求p与q之值，解此方程.5、关于x的方程3x2(4m21)xm(m2)0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.例6:关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.练习1、已若关于x的方程x2(m2)xm30两根的平方和是9.求m的值.2、已知方程x23xm0的两根之差的平方是7,求m的值.3、已知关于x的二次方程
15、2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为71,求a的值.4练习为根的一2、构造新方程理论：以两个数元二次方程是例1:解方程组x+y=5xy=6练习.、xxyy3i、解方程组yxy2例2:若实数ab,且a,b满足a28a50,b28b50,则代数式U=的值a1b1为（）1、已知a21a,b21b,且ab,则(a1)(b1).2、若m,n分别满足：19m2+20m+1=0,n2+20n+19=0,且mn1,求2mn3m2的值n3、已知a+a21=0,b+b21=0,awb,求ab+a+b的值.4、若实数x、y、z满足x=6y,z2=xy9.求证：x=y.例3:求出以一元二次方程x23x20的
16、两根的和与两根的积为根的一元二次方程。练习1、解方程x24x20,利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数。2、2、若xx2是方程x2-7x+8=0的两根，求作一个新的方程，使它的两个根分别为：土和上3、已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根，y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根，求以Jy?,白为根的一元二次方程.3、定性判断字母系数的取值范围例1:m为问值时，方程x2+mx3=0与方程x24x(m1)=0有一个公共根？并求出这个公共根.1、设方程x2+px+q=0的两根之差等于方程x2+qx+p=0的两根之差，求证：p=
17、q或p+q=4.2、已知方程x2mx120的两实根是xi和x2,方程x2mxn0的两实根是xi7和x27,求m和n的值。3、已知xi,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，xi+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。例2:当m取什么实数时，方程4x2(m2)x(m5)0(1)有两个正实根。练一练：若方程8x2(m1)xm70有两个正根，则实数m的取值范围(2)有一正根和一负根，求m取值范围。练一练：已知一元二次方程x210x21a0。当a为何值时，方程有一正、一负两个根？(3)有两个负实根练一练：已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，
18、求实数k的取值范围.(4)两根都大于1,求m取值范围。练习1、已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:m为何值时，方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,方程的两个根一个大于1,另一个小于1.2、若方程x22txt210的两个实根都在2和4之间，实数t的取值范围是提示:2-2,_x2txt10(x(t1)(x(t1)03、若方程3x2(m5)x70的一个根大于4,另一个根小于4,则实数m的取值范围知识点七：二元一次方程应用题(一)知识点：解应用题步骤即：1 .审题；2 .设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3 .找等量关系
19、列方程；4 .解方程；5 .判断解是否符合题意；6 .写出正确的解.(二)典型例题：1、传播问题关键是找好传播规律，可以自己举个例子从一个人算起。有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人可传染人数共传染人数第0轮1(传染源)1第1轮xx+1第2轮x(x+1)1+x+x(x+1)列方程1+x+x(x+1)=121解方程，得X1=10,X2=-12X2=-12不符合题意，所以原方程的解是x=10答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。类似问题还有树枝开叉等。练习题1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流
20、感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支？2、平均率问题最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系：M=a(1x)nn为增长或降低次数M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。(a)平均增长率问题某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总
21、收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为a.列方程，600+40%x(1+a)2=2160解方程，a=0.2a2=-2.2,(不符合题意，舍去)每年经营总收入的年增长率为0.2则2001年预计经营总收入为：600+40%X(1+0.2)=600+40%X1.2=1800答：2001年预计经营总收入为1800万元.(b)平均下降率问题从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升.问每次倒出溶液的升数？剖析：第一次倒出的是纯酒精,出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精(而第二次倒出的就不是纯酒精了.
22、若设每次倒出x升，则第一次倒20x)升.根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精,20就等于容器内剩下的纯酒精的升数.练习题1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和
23、利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税）4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）3、商品销售问题常用关系式：售价一进价=利润一件商品的利润X销售量=总利润单价X销售量=销
24、售额）例1.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.市场调研表明:当销售价每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进台灯多少个?解：设定价为x元，则应进600-10（x-40）个根据题意列出方程：（x-30）600-10（x-40）=10000解这个方程得x1=50x2=80当x=50时，600-10（x-40）=500当x=80时，600-10（x-40）=200答：当定价为50元，则应进500个，当定价为80元，则应进200个方法二解：设定价为（40+x）元，则应进（600-10X）个根据题意
25、列出方程：（40+x-30）（600-10x）=10000解这个方程得x1=10x2=40当x=10时，40+x=50600-10x=500当x=40时，40+x=80600-10x=200答：当定价为50元，则应进500个，当定价为80元，则应进200个1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？2、某商店如果将进货价格为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采取提高售价，减少进
26、货量的方法，增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时可赚利润720元？3.一超市销售某种品牌的牛奶，进价为每盒1.5元，售价为每盒2.2元时，每天可售5000盒，经过调查发现，若每盒降价0.1元，则可多卖2000盒。要使每天盈利4500元，问该超市如何定价？4、面积问题例3:如图121，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米,问道路应该多宽？ADEH3CFG图12-1剖析：设路宽为x米，那么两条纵路所占的面积为2x20=40x
27、(米2),一条横路所占的面积为32x(米2).纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCDEFGH的面积，所以三条路所占耕地面积应当是(40x+32x2x2)米2,根据题意可列出方程2、32X20(40x+32x-2x)=570.解：设道路宽为x米，根据题意，得32X20(40x+32x2x2)=570.整理，得x236x+35=0.解这个方程，得xi=1,x2=35.x2=35不合题意，所以只能取xi=1.答：道路宽为1米.说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图122),就更易发现等量关系列出方程.Q军MN图口一2如前所设，知矩形MNPQ1长MN=(322x)米，宽N住
28、(20x)米，则矩形MNPQ1面积为：(322x)(20x).而由题意可知矩形MNPQJ面积为570平方米.进而列出方程(32-2x)(20x)=570,思路清晰，简单明了.1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙35m。鸡场的面积能达到150m2吗？鸡场的面积能达到果不能，请说明理由。(3)若墙长为am,另三边用竹篱隹要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成那么纸盒的高是多少？UL111111h|Ui长18m),另三边用木栏围成，木栏长180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如围成，题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用？图3923、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方