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1、2006年全国初中数学联赛_试卷及答案2006年全国初中数学联赛 第一试 一、选择题(每小题7分，共42分) 1(已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长;S、p，分别表示四边形EFGH的面积和周长(设11Spk、kk,k,(则下面关于的说法中，正确的是( B )( 11Sp11k、kk(A) 均为常值 (B)为常值，不为常值 k11kk、k不为常值，为常值 (D)均不为常值 (C)k112mx2(已知为实数，且是关于的方程的两根(则3x,mx，1,0sin,、cos,44的值为( C )( sin,，cos
2、,217(A) (B) (C) (D)1 9392xxa3(关于的方程仅有两个不同的实根(则实数的取值范围是( D )( |,ax,1(A)a,0 (B)a?4 (C)2,a,4 (D)0,a,4 222b,0,a,2ab，c,0,bc,a.4(设则实数的大小关系是( A )( a、b、c(A) (B) (C) (D) b,c,ac,a,ba,b,cb,a,c5(为有理数，且满足等式,则的值为( B )( a，b3,6，1，4，23a、ba，b(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 6(将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20，40，60，80，100，10
3、4，(则这列数中的第158个数为( C )( (A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012 二、填空题(每小题7分，共28分) 2y,x,2006|x|，2008x1(函数的图像与轴交点的横坐标之和等于 0 ( 12(在等腰中，AC=BC=1，M是BC的中点，CE?AM于点E，交AB于点F，则S=。 Rt,ABC?MBF12822x3(使取最小值的实数的值为 ( x，4，(8,x)，1634(在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)(若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足S,S,S,S
4、。 ,POA,PBC,PAB,POC就称格点P为“好点”(则正方形OABC内部好点的个数为 197 ( 注:所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点( 第二试 A卷 222x一、(20分)已知关于的一元二次方程无相异两实xabxab，,2(23)(499)0根(则满足条件的有序正整数组有多少组? (a，b)由题意:方程有两个相等实根或无实数根 ?=0 所以:4(a+2b+3)2-4(a2+4b2+99)=0 即 2ab+3a+6b=45 a=(45-6b)/(2b+3) 因为 a,b均为正整数 所以b=1,a=1,2,3,4,5,6,7 b=2,a=1,2,3,4 b=3,a=1
5、,2,3 b=4,a=1 b=5,a=1 所以共有有序正整数组16组 二、(25分)如图l，D为等腰?ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点(已知?EDF=90?(ED=DF=1，AD=5(求线段BC的长( 三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD中，?A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O分别为?CEF、?ABE的外心(求证: 1(1)O、E、O三点共线; 11，OBD,，ABC.(2) 2B卷 一、(20分)同A卷第一题( 二、(25分)同A卷第二题( 三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD中，?A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、
6、O分别为?CEF、?ABE的外心( 1(1)求证:O、E、0三点共线; 1o(2)若，ABC,70,求的度数( ，OBDC卷 一、(20分)同A卷第二题( 二、(25分)同B卷第三题( )设为正整数，且(在平面直角坐标系中，点和点的连线三、(25分p,2A(0,p)B(p,0)pC(i,p,i).？,C(p,1,1)C(1,p,1),？,段通过个格点(证明: p,1ip,11OC(i,1,2,？,p,1)为质数，则在原点O(0，0)与点C(i,p,i)的连线段上除(1)若pi.i端点外无其他格点; OC(i,1,2,？,p,1)C(i,p,i)(2)若在原点O(0，0)与点的连线段上除端点外无
7、其他ii1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。格点，则p为质数( 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。三、 1解:过E作EG垂直AD于G，过F作FH垂直AD于H 则角EDG=角DFH所以三角形EDG和DFH全等，设EG=x，DG=y则DH=x，FH=y且x2+y2=1 （5）二次函数的图象与yax2的图象的关系：因为三角形AEG和三角形AFH相似，所以x/y=(5-y
8、)/(5+x) 联立以上二式有y-x=1/5 又(x+y)2+x-y)2=2(x2+y2)知x+y=7/5 7.同角的三角函数间的关系：解得x=3/5,y=4/5 又有三角形AEG和三角形ACD相似，所以CD/AD=EG/AG，即CD=AD*EG/AG=5/7 所以BC=2CD=10/7 面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合2 解:(1)连结OE,OF
9、，O1A,O1E， 显然有OE=OF,O1A=O1E,角EOF=2倍角ABE=角AO1E 从而三角形OEF和三角形AO1E相似，角AEO1=角FEO，则O3O1共线. 三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图)ADO1CBEO1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。F 的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）(2)连结DO,CO 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.角CEF=角DAE=角BAF=角CFE，所以CE=CF又OE=OF=OC，所以三角形OCE全等
10、于三角形OCF，所以角OEC=角OFC=角OCF，所以角OEB=角OCD，从而三角形OCD全等于三角形OEB，所以角ODC=角OBE，OD=OB，所以角ODC=角OBC，角OBD=角ODB，所以角OBD=角OBC+角CBD=角ODC+角BDA=角ADC-角BDO=角ABC-角OBD 所以角OBD=角ABC/2，所以角OBD=35? 3 解:(1)用P(a,b)表示三角形OAB内的格点，a,b为正整数，假设结论不成立，则P位于某线段OCi内部，过P作PE垂直 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值
11、随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。OB于E，过Ci作CiF垂直OB于F，三角形POE和三角形CiOF相似，则b/a=(p-i)/i 其中1=i=p-1，易知1=ai,1=bp-i从而(a+b)i=ap，从而i|ap，因为p是素数，1i=p-1，故p与i互素，从而i|a 故i=a与ai矛盾，则假设不成立，原结论成立。 (2)同理分析，假设结论不成立则p为合数，设p=ay，x，y属于N+，且2=x,y=p-1，因为三角形OAB内的格点横纵坐标之和可以是2到p-1间任何整数，所以一定有一格点P(a,b)满足a+b=x，于是(a+b)y=xy=p即ay+by=p因此点(ay,by)必定是Ci中的一个，于是有ya=i,by=p-i，故b/a=(p-i)/i，所以点P(a,b)在线段OCi内部，即在线段OCi上还有其他格点，与已知矛盾，所以原结论成立.