《华罗庚学校数学教材(六年级下)第10讲从算术到代数(二).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华罗庚学校数学教材(六年级下)第10讲从算术到代数(二).doc（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、本系列共14讲第十讲从算术到代数(二)文档贡献者：与你的缘在上一讲中我们着重讲了在许多问题中算术方法是不可缺少的；在这一讲中，我们将通过一些例子看到代数方法不可取代的巨大优越 性和强大威力，同时说明一元一次方程，多元一次方程组，不定方程 的一般解法。例1 一个学生做25道数学题，对一题得 4分，不答不给分，答 错一题倒扣1分.他有3道题未做，得了 73分问他共答对了几道题？解：设对了 x道题，则答错25-3x道题.依题意列方程：4x(25 3-x) =734x- 22+x=735x= 95x= 19.答：这个学生答对了 19道题.例2某水池装有甲、乙两个注水管，单放甲管需12小时注满，单放乙管
2、需24小时注满.现在要求10小时注满水池，并且甲、乙两 管合开的时间尽可能少，那么甲、乙两管最少需要合放多少小时？解：分析一下，由于要求甲、乙两管合放的时间尽可能少，所以必须让注水快的甲管在 10个小时中全开着其余的由乙管补足.设甲、乙两管最少需合放 x小时，则:11X10+ x X=11224x _ 224=121x= X246x=4答：甲、乙两管最少需要合放4小时.例3甲、乙两队学生参加郊区夏令营，但只有一辆车接送，坐不下.甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行车到途中某处让甲队学生下车步行，车立即返回接乙班学生并直开到夏令营， 两班学生正好同时到达.已知学生步行速度为4千米/小时
3、，汽车载学生时速度为40千米/小时，空车时速度为50千米/小时，问甲班学生 应步行全程的几分之几？解：如图：乙甲baiir设全程为x千米，甲、乙两队分别步行 a、b千米.要使两队学生 同时到达夏令营，只有他们两队步行的路程相等才行，故a=b.等量关系是：乙队走a千米路程的时间正好等于汽车送完甲队又 原路返回时遇到乙队的时间，即：心+ 口 =旦405049x = 63aa _ 1.x 7答：甲队步行了全程的丄。7例4 一个矩形长33厘米，宽32厘米，用正方形如下图分割，已知最小正方形边长为 1厘米，第二个小正方形边长为 4厘米，请在 图中填出其余正方形的边长.解：设如图中第个小正方形边长为X,则
4、其余每个正方形的边长都可以用x的代数式表达出来，如图所示.2x+l (=15)x+15好2K C=T)1x+3C=10)4x+7(=14)33厘米单位为厘米再由大长方形的长为 33厘米可得关系式:2x+1+x+11=333x=21x=7 （厘米）.于是图中所有正方形的边长均可将x=7代入，得如图所填的值.还可以用大正方形的宽为32厘米来验证所求值的正确性：2x+1+x+1+x+2=15+8+9=32（厘米）.例5小明每天定时从家到学校，若小明每分钟走30米，则迟到3分钟；若小明每分钟走 40米，则早到5分钟.求小明家到学校的距 离.解：设小明家到学校的距离为S米，则D + 53040去分母，方
5、程两边同乘以120:4S- 360=3S+ 600S=960答：小明家离学校 960米.有的问题必须用两个或更多的未知数才能列出方程，而且方程的个数也往往不只一个，我们称含有两个未知数并且未知数所在项的次 数都是1次的这种方程为二元一次方程.例如x+y=5.适合这个二元一次方程的每一对未知数的值叫做二元一次方程 的一个解.如：方程 x+y=5的正整数解有：x=1, y=4; x=2, y=3; x= 3, y=2, x=4, y=1这四个解.如果一个问题的两个未知数必须满足两个二元一次方程，这两个方程联立在一起就叫做二元一次方程组.同时适合这两个二元一次方 程的每一对未知数的值叫做这个二元一次
6、方程组的一个解.多个未知数的方程组也可以类似地定义，解法也类似，在这里举两个最简单的例子来介绍二元一次方程组的解法常用的有代入消元 法和加减消元法总之都是先设法消去一个未知数. 代入消元法：例6解二元一次方程组（y = 3x（1）|x + y = 8把（2）中的y用（1）中的3x代替，就可以消去一个未知数y,得：x+ 3x=84x=8x=2.再把x=2的值代入（1）或（2）,得：y=6.这个方程组的解为x=2y =6. 加减消元法:例7解方程组f2x-3y =7(1)8x 3y = 61.(2)（1）得：6x=54x= 9.将x=9代入（1）或（2）得:11原方程组的解为（x=97=T再看几个
7、二元一次方程组的例子.例8 一条路从甲地到乙地是下坡，从乙地到丙地是平路，一人骑车以每小时12千米的速度下坡，而以每小时9千米的速度通过平路到达丙地，共用了 55分钟；回来时以每小时8千米的速度行至乙地，又以每小时4千米的速度行到甲地，共用了1.5小时.问从甲地到丙地共有多少千米?解：设从甲地到乙地为 x千米，从乙地到丙地为 y千米，依题意可得下列方程组：sr y 55 - （1）J 12930丿比“5去分母，两端同乘以两个方程的分母的最小公倍数。（1）两端同乘以 36得：3x+4y=33.（2）两端同乘以8得：y+2x=12.原方程组与下面方程组同解.|3x+4y = 33（3）y + 2x
8、 = lZ（O由（4）得y=12-2x,代入（3）消去 y得：3x+4 （12-2x） =333x+48 8x= 335x=15x=3.将x=3代入（4）得：y= 12 2X3y = 6.原方程组的解为x+y=9.答：从甲地到丙地共 9 千米.例 9 有甲、乙两个桶，甲桶里装了一些水，乙桶里装了一种纯 农药， 按下面方法来调配农药溶液：第一次甲桶倒进乙桶里的水的数 量与原来乙桶中农药数量相同，调匀； 第二次把乙桶里的农药溶液倒 进甲桶里，倒回的数量与甲桶里剩的水的数量相同，调匀；第三次再 把甲桶中的农药溶液倒回乙桶，数量与此时乙桶中的溶液数量相同， 这时两个桶中的农药溶液数量相同 . 请你算一
9、算： 开始时水与纯农药的比. 最后在甲桶里的水与纯农药的比. 最后在乙桶里的水与纯农药的比. 解：设甲桶里原有 x 千克水，乙桶里有 y 千克纯农药. 每次倒动后甲、乙两桶中溶液的总量变化如下：第一次甲桶剩xy (千克)乙桶有：2y (千克)第二次甲桶有2 (xy)(千克)乙桶剩2y(xy) =3yx (千克)第三次 甲桶剩2 (xy) ( 3y x) =3x 5y (千克)乙桶有2 (3y x)(千克).第三次倒完后两桶中液体重量相同-3x 5y 2 (3y x)3x 5y=6y 2x5x 11yx : y=11 : 5.在第一次操作后甲桶中的Xy千克都为水.由乙桶倒入的 Xy千克溶液中有一
10、半是水，另一半是纯农药，故甲桶中最后水与纯农药的比为3：1。 又在第二次操作后乙桶里有溶液3y x千克，其中的-(3y2X)千克是水，1 (3y x)千克是纯农药。在后来从甲桶倒入的液2体中，有3(3y x)千克是水，有l(3y x)千克是农药。故乙桶最后44含水量与纯农药的比为：13-2 4 _ 4 -11 13+2 445:32（3y- x） + 4（3y- x）122（3y- x） + 4（3y- x）答：开始时水与纯农药的比为11 : 5.最后甲桶溶液中水与纯农药的比为3： 1.而乙桶溶液中水与纯农药的比为5 : 31解下列方程组:9u+2v = 153u +4v-103x-4z =
11、7* 2x + 3y - z = 9- 9y - 7z = 82,有甲、乙两个瓶子,习题十2(x-150) = 5(3y+50)10% * x + 6% * y = 3.5%X800r-494=3=2甲瓶里装了 200毫升清水，乙瓶里装了 200毫升纯酒精，第一次把 20毫升的纯酒精由乙瓶倒入甲瓶；第二次把甲瓶中的溶液又倒 20毫升回乙瓶问此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含的水多？3,钟面上从5点到6点分针与时针什么时间重合？什么时间成 一直线但不重合？什么时间成一直角？4，甲、乙、丙、丁四名学生共有 45元钱.如果甲的钱增加 2元, 乙减少2元，丙增至2倍，丁减少为一半，则这四人的钱数相同问 四人各有多少钱？5,小明、小勇与两位小同学小英、小娟去给军属运蜂窝煤，每 人运的块数不同，但每人每次运的块数与他自己运的次数正好相等， 小明比小勇多运15块，小英比小娟也多运15块，问共搬了多少块蜂 窝煤？6,某汽车制造厂工人共 86人，已知每个工人平均可加工甲种零 件 15 个，或乙种零件 12 个，或丙种零件 9 个. 问应安排加工甲种零 件、乙种零件、丙种零件各多少人才能使加工后的 3 个甲种零件、2 个乙种零件和 1 个丙种零件恰好配套？