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1、全国各地高考数学试卷福建理绝密 ? 启用前 数 学(理工农医类) 第?卷(选择题共60分) 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 2(1)若复数(a-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为 A.1 B.2 C.1或2 D.-1 x(2)设集合A=x|,B=x|0,x,3,那么“mA”是“mB”的 ,0,x,1A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)设,a,是公比为正数的等比数列，若n=7,a=16,则数列,a,前7项的n15n和为 A.63 B.64 C.127 D.
2、128 3(4)函数f(x)=x+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为 ,A.3 B.0 C.-1 D.-2 4(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有25粒发芽的概率是 1696192256A. B. C. D. 625625625625(6)如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=2,AA=1,则BC与平面BBDD11111111所成角的正弦值为 地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 1 页 共 14 页 6261510A. B. C. D. 3555(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人
3、参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 y(8)若实数x、y满足 xy,，,10,则的取值范围是 ,xA.(0,1) B.0,1 C.(1,+) D.1,，, ,，,(9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f(x)的图象，,则m的值可以为 ,A. B. C., D., ,22222bc,若(a+c-b)tanB=,则角B的值为 (10)在?ABC中，角ABC的对边分别为a、3ac,5,2,A. B. C.或 D. 或 63663322xy,1(11)又曲线(a,0,b,0)的两个
4、焦点为F、F,若P为其上一点，且|PF|=2|PF|,121222ab则双曲线离心率的取值范围为 3,，,1,3A.(1,3) B. C.(3,+) D. ,，,(12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第?卷(非选择题共90分) 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. 555432(13)若(x-2)=ax+ax+ax+ax+ax+a,则a+a+a+a+a=_.(用数字作答) 3321012345x=1+cos, 地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱:
5、 第 2 页 共 14 页 (14)若直线3x+4y+m=0与圆 y=-2+sin,(为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是 . ,(15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 . 3a)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b?R，都有a+b、a-b， ab、 (16b?P(除数b?0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集也是数域.有下列命题: FababQ,，,2,QM, ?整数集是数域; ?若有理数集，则数集M必为数域; ?数域必为无限集; ?存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号填填上) 三、解答题:本大题
6、共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分) 已知向量m=(sinA,cosA),n=，m?n,1，且A为锐角. (3,1),fxxAxxR()cos24cossin(),，,(?)求角A的大小;(?)求函数的值域. (18)(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD?底面ABCD，侧棱PA=PD,，底面ABCD2为直角梯形，其中BC?AD,AB?AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点. (?)求证:PO?平面ABCD; (?)求异面直线PD与CD所成角的大小; 3AQ(?)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离
7、为,若存在，求出 QD2的值;若不存在，请说明理由. (19)(本小题满分12分) 地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 3 页 共 14 页 132. 已知函数fxxx()2,，,32 (?)设a是正数组成的数列，前n项和为S，其中a=3.若点(n?(,2)aaa,nn1nnn，11N*)在函数y=f(x)的图象上，求证:点(n,S)也在y=f(x)的图象上; n(?)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值. (20)(本小题满分12分) 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科 目B的考试.已知每个科目只允许有一
8、次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 2 书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试 31 成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. 2(?)求他不需要补考就可获得证书的概率; , (?)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，,求的数学期望E. (21)(本小题满分12分) 22xy，,1(0)ab 如图、椭圆的一个焦点是F(1，0)，O为坐标原点. 22ab(?)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程; (?)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有222OAOBA
9、B，,求a的取值范围. (22)(本小题满分14分) 已知函数f(x)=ln(1+x)-x1 (?)求f(x)的单调区间; 0, (?)记f(x)在区间(n?N*)上的最小值为b令a=ln(1+n)-b. ,xnxc (?)如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围; ,aann，2an，2地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 4 页 共 14 页 aaaaaa131321n,1 (?)求证: ，,211.anaaaaaa224242n数学试题(理工农医类)参考答案 一、选择题:本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分. (1)B (2
10、)A (3)C (4)B (5)B (6)D (7)A (8)C (9)A (10)D (11)B (12)D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分. (,0)(10,),，,(13)31 (14) (15)9 (16)? ,三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分. 解:(?)由题意得 mnAA,3sincos1,1 2sin()1,sin().AA,662, 由A为锐角得 AA,.6631 (
11、?)由(?)知 cos,A,21322 所以 fxxxxsx()cos22sin12sin2sin2(sin).,，,，,，2213sin1,1x, 因为x?R，所以，因此，当时，f(x)有最大值. sinx,223，,3, 当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是. ,2，(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解法一: (?)证明:在?PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO?AD, PAD,PO,又侧面PAD?底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面P
12、AD， 所以PO?平面ABCD. 地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 5 页 共 14 页 (?)连结BO，在直角梯形ABCD中、BC?AD，AD=2AB=2BC, 有OD?BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB?DC. 由(?)知，PO?OB,?PBO为锐角， 所以?PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt?AOB中，AB=1,AO=1, ， 所以OB,2在Rt?POA中，因为AP,，AO,1，所以OP,1， 2PG122在Rt?PBO中，tan?PBO, ,，,arctan.PBOBC222
13、2arctan所以异面直线PB与CD所成的角是. 23(?)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为. 21 设QD,x，则，由(?)得CD=OB=， Sx,2,DQC222PCOCOP,，,2, 在Rt?POC中， 332S,(2),所以PC=CD=DP, ,PCD42AQ1,由V=V,得2，所以存在点Q满足题意，此时. p-DQCQ-PCDQD3解法二: (?)同解法一. (?)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、yOCODOP、轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以
14、CDPB,(，)，,(，),110111.地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 6 页 共 14 页 6PB与CD所成的角是arccos， 所以异面直线3(-?,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+?) x 3 (?)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为， 2由(?)知 CPCD,(1,0,1),(1,1,0).设平面的法向量为=(,). PCDnxyz000,，,xz0,nCP,0,00则所以即， xyz,000,，,xy0,nCD,0,00,取x=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 0CQn,，1y33设由，得解QyyCQy
15、(0,0)(11),(1,0),2n2315y=-或y=(舍去)， 22AQ113,此时，所以存在点Q满足题意，此时. AQQD,QD322(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. 1232f (?)证明:因为所以(x)=x+2x, fxxx()2,，,32， 由点(,2)(N)aaan,在函数y=f(x)的图象上, nnn，11， 又an,0(N),所以 ()(2)0,aaaa,nnnnn,，11nn(1),22,f 所以,又因为(n)=n+2n,所以, Sfn,()Snnn,，32=2nn2故点
16、也在函数y=f(x)的图象上. (,)nSn2,(?)解:, fxxxxx()2(2),，,，,fx()0,xx,02或由得. ,fx()fx()当x变化时,)的变化情况如下表: 地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 7 页 共 14 页 f(x) + 0 - 0 + f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? (1)12aa,从而 注意到2fx()?当,此时无极小aaafxf,12,21,()(2)即时的极大值为3值; f(0)2,fx()?当的极小值为,此时无极大值; aaafx,10,01,()即时?当既无极大值又无极小值. aaafx,2101,()
17、或或时(20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分. 解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A;“科目B第2一次考试合格”为事件，“科目补考合格”为事件. BBB(?)不需要补考就获得证书的事件为?,注意到与相互独立， ABAB1111211则. PABPAPB()()(),，,，,11113231答:该考生不需要补考就获得证书的概率为. 3,(?)由已知得，,2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 PPABPAA(2)()(),， 11122111114 ,，,，,.3233399PPABBPABB
18、PAAB(3)()()(),， 1121121222112111211114 ,，,，,3223223326693PPAABBPAABB(4)()(),， 1222121212111211111 ,，,，,33223322181894418故 ,，,E234.99938答:该考生参加考试次数的数学期望为. 3(21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一:(?)设M，N为短轴的两个三等分点， 地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 8 页 共 14 页 MNF为正三
19、角形， 因为?3 所以OFMN, 232b,3.解得,b 即1, 2322xy22，,1. 因此，椭圆方程为 ab,，,14,43(?)设 AxyBxy(,),(,).1122(?)当直线 AB与x轴重合时， 222222OAOBaABaa，,2,4(1),222因此，恒有OAOBAB，,.(?)当直线AB不与x轴重合时， 22xyxmy,，,1,1,代入 设直线AB的方程为: 22ab22222222 整理得 ()20,abmybmybab，,22222bmbab, 所以yyyy，, 1212222222abmabm，222OAOBAB，, 因为恒有，所以，AOB恒为钝角. OAOBxyxy
20、xxyy,，,(,)(,)0 即恒成立. 112212122 xxyymymyyymyymyy，,，,，(1)(1)(1)()1121212121212222222(1)()2mbabbm，,，1222222abmabm， 2222222,，,，mabbaba,0.222abm，2222222222又a+bm0,所以-mab+b-ab+a a -ab+b对mR恒成立. ,地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 9 页 共 14 页 2222222R时，abm最小值为0，所以a- ab+b0. 当m,2222,2224aab- b a0,b0,所以a0,
21、15，15,15，解得a或a, 22215，综合(i)(ii)，a的取值范围为(，+). ,2解法二: (?)同解法一， (?)解:(i)当直线l垂直于x轴时， 2221(1)yba,2x=1代入，,1,y=1. A222aba2a,122222,2因为恒有|OA|+|OB|AB|,2(1+y)1，即1, AAAa15，15,15，解得a或a. 222(ii)当直线l不垂直于x轴时，设A(xy), B(xy2). 1,12,22xy，,1,设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 22ab22222222-22得(b+ak)x-2akx+ a k a b=0, 2222222akakab,故x+
22、x,.xx,12= 22222222bakbak，222因为恒有|OA|+|OB|AB|, 222222所以x+y+ x+ y( x-x)(y-y)1122+, 2121得xx+ yy0恒成立. 12122222 xx+ yy= xx+k(x-1) (x-1)=(1+k) xx-k(xx)+ k12121212121+22222222222222akabakaabbkab,，,2()222,，,kk=(1+k). 222222222bakbakbak，2222222由题意得(a- a b+b)k- a b0时，不合题意; 15，2222?当a- a b+b=0时，a=; 2地址:西安经济技术开
23、发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 10 页 共 14 页 2222222242- a b+b0时，a- a(a-1)+ (a-1)0, ?当a35，35,15，15，22解得a或a(舍去)，a，因此a. ,222215，综合(i)(ii)，a的取值范围为(，+). ,2(22)本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一: 1,x(I)因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为(-1,+),且f(x)=-1=. ,1，x1，x由f(x)0得-1x0，f(x)的单调递
24、增区间为(-1，0); 由f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，+). ,(II)因为f(x)在0,n上是减函数，所以b=f(n)=ln(1+n)-n, n则a=ln(1+n)-b=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. nn2aaannnn,，,，()2(2)2(i) nnn，22nn，222n， ,1.nn，222又lim, nnn，,2(2)lim1x,2，,11n，2因此c1，即实数c的取值范围是(-，1). ,1,，,2121.nn(II)由(i)知 21n，135(21),n2因为 246(2),n133557(21)(21)11,，nn,= 3222246(2)2121nn
25、n，135(21)1n,*,所以,(nN), 2121nn，,246(2)n21n，113135(21)n,，则, 224246(2)n地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 11 页 共 14 页 31532121211.,，,，,，,annaaaaaa131321n,1即,，aaaaaa22242nn211(an，,N*) n解法二: (?)同解法一. (?)因为f(x)在0,n上是减函数，所以 bfnnn,，,()ln(1),n则 anbnnnn,，,，,，,ln(1)ln(1)ln(1).nnccnn，,2(i)因为对n?N*恒成立.所以对n?N
26、*,aann，2n，2an，2恒成立. 2 则对n?N*恒成立. cnnn，,，222gnnnn()22,，,， 设 n?N*，则c,g(n)对n?N*恒成立. 2 考虑 gxxxxx()22,1,.,，,，,，,，,1,111xx，22 因为,0， gxxxx()1(2) (22)11,，,221x，xx，2gx()1,在，, 所以内是减函数;则当n?N*时，g(n)随n的增大而减小， ，,4，2n，242n又因为,1. gnnnn,，,，,lim()lim(22)limlim2xxxx,22nnn，22，11nn*所以对一切因此c?1,即实数c的取值范围是(-?，1. ngn,N,()1.
27、1,，,2121.nn(?) 由(?)知 21n，135(21)1n,，,(N).n 下面用数学归纳法证明不等式 246(2)n21n，地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 12 页 共 14 页 11n=1时，左边,，右边,，左边0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：BCD中，AB,BC,2，AA=1,则AC与平面ABCD所成角的(6)如图，在长方体ABCD,A1111111111正弦值为 22221A. B. C. D. 3433,(7)函数y=cosx(x?R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为 2A.,sinx B.sinx C.,cosx D.cosx 222(8)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c;若a+c,b=ac,则角B的值为 3,52A. B. C. 或 D. 或 636633(9)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 扇形的面积S扇形=LR2地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话: 电子邮箱: 第 14 页 共 14 页