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1、14.1整式的乘除教学目标：整式的乘除是建立在有理数的运算、运算律以及整式加减法的基础上，通过引入同底数塞的乘 除法则、寡的乘方法则、积的乘方法则给出整式的乘除运算。教学重难点：教学重点：多项式的乘除法和乘法公式教学难点：多项式的乘除法以及有关“数”的表示形式的教学。学习多项式的乘除法要归结为学 好单项式的乘除，而单项式的运算乂要以塞的运算为基础，所以暴的运算时本章的教学关键。知识点一：同底数塞的乘法(重点)(1)同底数耗的乘法法则：同底数事相乘，底数不变，指数相加.am*an=a m+n (m, n 是正整数)(2)推广：am*aii*ap=a m+iiH-p (m n, p 都是正整数)在
2、应用同底数塞的乘法法则时，应注意：底数必须相同，如23与25, (a2b2) 2与(a2b2) 3, (X-y) 2与(x-y) 3等：a可以是单项式，也可以是多项式：按照运算性质，只有相乘时 才是底数不变，指数相加.(3)概括整合：同底数甯的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数得.【例题】计算(x-y) 3- (y-x)=()A. (x - y) 4 B. (y-x) 4 C. - (x-y) 4 D. (x+y) 4【变式1】58, 5y=6,则5xf.【变式2】阅读理解： 乘方的
3、定义可知：aaxaxaxxa (n个a相乘).观察下列算式回答问题:32x35= (3x3)x(3x3x3x3x3)=3x3x.x3=37(7 个3相乘)42x45= (4x4)x(4x4x4x4x4)=4x4x,.x4=47(7 个4相乘)52x55= (5x5)x(5x5x5x5x5)=5x5x.x5=57(7 个5相乘)(1) 20172x20175=；(2) m2xm=；(3)计算：( 2 ) 2016x ( - 2 ) 2017.知识点二：器的乘方(重点)事的乘方法则：底数不变，指数相乘.(am) n=amn (m, n 是正整数)注意：事的乘方的底数指的是事的底数：性质中“指数相乘
4、”指的是死的指数与乘方的指数相乘，这里注 意与同底数是的乘法中“指数相加的区别。【例题】下列计算正确的是()A. a+a=a2 B. a*a=a2 C. (a3) 2=a D. a2*as=a6【变式 1已知 2a=3, 2b=6, 2c=12,则 a, b, c 的关系为匚b=a+12c=a+2匚a+c=2bZib+c=2a+3, 其中正确的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【变式2】下列运算结果是a6的式子是()A. a2*a3 B. ( - a) 6 C. (a3) 3 D. a12 - a6知识点三：积的乘方(重点)积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.
5、(ab) n=abn (n 是正整数)注意：因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计 算出最后的结果.【例题】计算（a2b） 3的结果是（）A. - a6b3 B. a6b C. 3a6b3D. - 3a6b3【变式1】化简（2x） 2的结果是（）A. x4 B. 2x2 C. 4x2 D. 4x【变式2】计算结果不可能的是（）A. m4*m4 B. （m4） 2 C. （m2） 4 D. m4+m4知识点四：单项式乘单项式（重点） 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一
6、个因式.注意：在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的枳；注意按顺序运算：不要丢掉 只在一个单项式里含有的字母因式：此性质对于多个单项式相乘仍然成立.【例题】3x2可以表示为（）A- xFx-C. 3x3xD. 9x8【变式1】下列运算正确的是（）A. x2x3=x6B. 2a+3b=5abC. ( -2x) 2= - 4x2D. ( -2x2)(3)=6x5【变式2】计算（x）（-2x?） （-4x,）的结果为A- -4x6 b. -4x7C. 4x8 D. -4x8知识点五：单项式乘多项式（重点）（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每
7、一项，再把所 得的积相加.（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏 乘：注意确定枳的符号.【例题】一个长方体的长、宽、高分别3a-4, 2a, a,它的体积等于()A. 3a3 - 4a2B. a2 C. 6a3 - 8a2 D. 6a2 - 8a【变式11化简x (2x - 1) - x2 (2 - x)的结果是()A. - x- - x B. x5 - x C. - x2 - 1 D. x3 - 1【变式2】要使（x2+ax+5）（-6x3）的展开式中不含x，项，则a应等于A. 1B. - 1D
8、. 0知识点六：多项式乘多项式（重点）（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（2）运用法则时应注意以下两点：相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项 之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.【例题】使（x?+px+8） （x2 - 3x+q）乘积中不含x?与x3项的p、q的值是（）A. p=0, q=0 B. p=3, q=l C. p=-3, q= - 9 D p=-3, q=l【变式1】下列计算正确的是（）A. a2*a3=a6B. （a+b） （a - 2b）
9、=a2 - 2b2C. （ab） :a2b6D. 5a - 2a=3【变式2】着x+y=3且xy=l,则代数式（1+x） （1+y）的值等于（）A. 5 B. - 5 C. 3 D. - 3知识点七：同底数器的除法（重点）同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减.amj_an_a m-n （ a壬0, I, I是正整数，底数aM，因为0不能做除数：单独的一个字母，其指数是1,而不是0：应用同底数哥除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什 么.【例题】若315, 3y=5,则3、y等于（）A. 5 B. 3 C. 15 D. 10【变式1】下列计算正确的是（）
10、A. a2*a4=a8 B. a3a2=aC. 2x2+x2=2x4 D. （ - 2a2b） 3= - 6a5b3【变式2】若4mx8-2m的值为16,则m= .知识点八：零指数塞的性质（难点）零指数辱：a0=l （华）由 aal, aaa111-0 可推出 a=l （a#）注意：0r1【例题】计算：-I2014 -（1）的结果正确的是（）A. 0 B. 1 C. -2D. -1【变式1】若（n+3） 2n的值为1,则n的值为.【变式2】如果等式（2al），+2=1成立，贝加的值为.知识点九：单项式除以单项式（重点）单项式除以单项式，把系数，同底数塞分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里
11、含有的字母，则连 同他的指数一起作为商的一个因式.注意：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：系数相除：同底数基相除；对被除式里 含有的字母直接作为商的一个因式.【例题】下列运算正确的是（）A. （2a2） 2=2a4 B. 6as-3a2=2a4 C. 2a2*a=2a3 D. 3a2 - 2a2=l【变式1】计算：6a2b+2a=.【变式2】自编一个两个单项式相除的式子，使结果为2a2,你所编的式子为.知识点十：多项式除以单项式（重点）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式.多项式除以单项式的结
12、果仍是一个多项式.【例题】计算（25x2+15x3y- 5x） +5x （）A. 5x+3x2yB. 5x+3x2yH C. 5x+3x2y - 1 D. 5x+3x2 - 1【变式1】若矩形的面积为a?+ab,宽为a,则长为.【变式2】如果一长方形的面积为2x2r,它的一条边长为x,则它的周长为（）A. 2x+l B. 3x+l C. 6x+l D. 6x+2拓展点一：整式的混合运算(1)有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的 混合运算顺序相似.(2) “整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解 决相关问题，此时应注意
13、被看做整体的代数式通常要用括号括起来.【例题】计算：(2) 2+(61) .其an300(1) h乙【变式1】已知被除式是x3+2x，1,商式是X,余式是-1,则除式是()A. x2+3x - 1 B, x2+2x C. x2 - 1 D. x2 - 3x+l【变式2】观察下列关于自然数的等式：(l)32-4xp=5(1)(2)52-4x2=9(2)(3) 72 - 4x32=13(3) 根据上述规律解决下列问题：(1)完成第五个等式：ll2-4x=；(2)写出你猜想的第11个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.拓展点二：整式乘法的应用为二阶行列式.规定它的运算法则为a ：=ad-be.
14、那么当x=l时，二阶行 列式x+1 1的值为.【例题】定义G8 CE0x-1【变式1四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG 的边长为b,连接BD, BF和DF后得到三角形BDF,请用含字母a和b的代数式表示三角形 BDF的面积可表示为( )A. ab B. LbC.耳?D.。222【变式2】探究应用：(1)计算：(x+1) (x2-x+l) =； (2x+y) (4x2-2xjny)=.(2)上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律(公式)？用含a、b的字母表示该公式 为：.(3)下列各式能用第(2)题的公式计算的是.A. (m+2) (m2+2m+4
15、) B. (m+2n) (m2 - 2mn+2ir)C. (3+ii) (9 - 3n+n2) D. (m+n) (m2 - 2mn+n2)拓展点三：有关指数方程问题【例题】(1)解方程：3x2-27=0(2)已知22x+i+448,求x的值.【变式1】已知：X为x3a bxxl2,求al%?】。】的值.【变式2已知(x+a) (x? - x+c)的积中不含x2项和x项，求(x+a) (x? - x+c)的值是多少？拓展点四：逆用塞的运算法则解题【例题】已知a8, a32,求的值.【变式1】已知常数a、b满足3ax32b=27,且(5a)2X b) 2+ 3a)bq 求22+心的值.【变式2图
16、中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题： 小明的作业计算：1产0 257解：(4)7x0.25 yxO_25) 71)7=-1(1)计算：82OO8X ( - 0.125 ) 2008；0 (至)“X ( 王)13x (i) 12562(2)若2平16。=219,求n的值.拓展点五：整式除法的应用【例题】一位同学在研究多项式除法时，把被除式的二次项系数写成a,而把结果的一次项系 数乂写成了b,等式如下：(x+ax=l) + (x+1) =x2 - bx+1现请你帮他求出a, b的值.【变式1】观察下列各式：(X - 1 ) +(X - 1 ) =1；(X2 - 1 ) +(
17、X - 1) =x+l；(x3 - 1 ) + (x - 1) =x2+x+l；(x4- 1) + (x- 1) =x3+x2+x+l：(1)根据上面各式的规律可得(Xn+1- 1) 4- (x- 1) =;(2)利用(1)的结论求 22015+22014+.+2+1 的值;(3)若 l+xS+ 于2015=0,求 x216 的值.【变式2】地球表面平均1cm?上的空气质量约为1kg,地球的表面积大约是5xl08knR地球 的质量约为6x10?4kg.(1)地球表面全部空气的质量约为多少kg?(2)地球质量大约是其表面全部空气质量的多少倍？(结果用科学记数法表示)拓展点六：零指数问题【例题】计
18、算：(兀3.14)。+ ( -0.125) 2。队82期的结果是()A. 7T- 3.14 B. 0 C. 1 D. 2【变式1】已知(3x2)。有意义，则x应满足的条件是.【变式2】课堂上老师出了这么一道题：(2x-3) x+3 i=o,求x的值.小明同学解答如下： (2x-3)k3- i=o, (2x-3 )灯3=i (2x-3) 0=1x+3=0二 x=- 3请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的值.I易错点一：符号错误【例题】下列各式中，计算结果为X?l的是()A. (x+1) 2B. (x+1 ) (x - 1) C. ( - x+1) (x - 1) D. (x - 1
19、) (x+2)【变式1】运算结果是一y2x2尸i的是()A. ( - l+xy)2 B. (1+xY)2 C. ( - l+x2y)2D. ( - 1 - x2y)2【变式2】下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是()A.( a+b) (a - b)B. (x+2) (2+x)C.(区+y) (y-A)D. (x-2) (x+1)33易错点二：漏乘错误【例题】(x - y) (xy+y2)【变式 1 】计算：x (x2+x - 1) - (2x2 - 1) (x - 4).【变式2】已知代数式(ax-3) (2x+4) x2b化简后，不含x?项和常数项.求a, b的值易错点三：运算结果不是最
20、简形式【例题】计算：(1) ( - ab2) 2 - 5ab*ab3(2) (x+3) (3x-2)【变式1】计算:I(1) ( - X6) ( - X3) ( - X2) ( - X5)(2) (乂.2俨)Cx1)【变式2】已知x+5与x - k的乘积中不含x项，求k的值.易错点四：顺序混乱【例题】解方程：(1) (3x-2) (4x+3) = (2x+l) (6x - 5) +9(2) (2x+3) (2x - 3) - x (4x+3) =0.【变式1】若产kx使得代数式(x - y) (4x - y) +3x (4x - y)的值为0.请求出k的值.【变式 2】计算：(5x-Ly) (25x2+xy+iy2).224