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1、初三数学竞赛试题及答案初三数学竞赛试题 一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，共20分) 10.如图，AB是?O的弦，C是AB的三等分点，连结OC并延长交?O于点D。 1.下列各式中，最简二次根式为( ) 若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是( ) a A. B. C. D. B.9- C.7 A.62262.方程(x+1)x=0的根是( ) D.25-3 2A.x=1，x=0 B.x=-1，x=1 C.x=-1，x=0 D.x=x=0 12121212二、填空题(每小题2分，共20分) 3.如图，PA、PB分别切?O于
2、A、B，点C为优弧上一点，?ACB=60?，则 11.已知点P(-3,2)，点P是点P关于原点的对称点，则点P的坐标是_。 12.如果把一个圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么?APB的度数是( ) 它的展开图是一个_形。 A.60? B.120? C.30?或120? D.30? 2 4.二次函数y=-x-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( ) A.(-2,6)，x=-2 B.(2,6)，x=2 C.(2,6)，x=-2 D.(-2,6)，x=2 13.函数的自变量x的取值范围是_。 5.已知Rt?ABC?Rt?ABC，?C=?C=90?，且AB=2AB，则sinA与sin
3、A的关系为( ) A.sinA=2sinA B.2sinA=sinA C.sinA=sinA D.不确定 14.方程组的解是_ 。 6.在下面四种边长相等的正多边形的组合中，能作平面镶嵌的组合是( ) 15.正六边形的半径为1cm，它的边心距等于_cm。 2 16.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么直线y=bx+c不经过第_象限。 17.已知圆的直径为13cm，圆心到直线l的距离为6cm，那么直线l和这个圆 7.如图，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P做x轴的垂线PQ交双曲线的公共点的个数有_个。 1y=于点Q，连结OQ，当点P向右运动时，Rt?QOP的面积( ) y22x 18
4、.已知5x-xy-6y=0，则的值为_。 x A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.保持不变 D.无法19.?ABC内接于?O，D是BC边上的中点，若确定 ?ABC+?DAC=90?，则?ABC是_三角形。 8.已知?O和?O的半径分别为2和m，圆心距为n，且2和m都122 20.如图，等边?ABC边长为10cm，以AB为直径的?O是方程x-10x+n=0的两根，则两圆的位置关系是( ) 分别交CA、CB于D、E两点，则图中阴影部分的面积(结果 A.相交 B.外离 C.内切 D.外切 2保留)是_cm。 9.将某氢氧化钠溶液加水，则描述溶液pH值与加水量(m)间变化规律的图象大三、(第21小题8分，
5、第22小题10分，共18分) 致是( ) 21.当x=2时，求的值。 222.已知线段AB是?O的弦，点P是优弧上一个动点(P不与A、B重合)，直 线l是?APB的平分线。 (1)画图并证明:当点P在优弧上运动时，?APB的平分线l过定点Q; (2)当点P在优弧上运动时，?APQ的面积能否取得最大值，如果能，请用 尺规作图确定点P在?O上的位置;如果不能，请说明理由。 四、(10分) 六、(11分) 23.在某文具商场中，每个画夹定价为20元，每盒水彩定价为5元。为促进销 25.如图，已知A为优弧中点，且AB=BC，E为劣弧上一点。 售，商场制定两种优惠方案:一种是买一个画夹赠送一盒水彩;另一
6、种是按总价92, (1)求证:AE=BE+CE 付款。一个美术教师欲购买画夹4个，水彩若干盒(不少于4盒)。 (2)试猜想，当点E在优弧上运动时，线段AE、BE、CE之间具有怎样的关系， (1)设购买水彩数量为x(盒)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中的y与x的函数关系式; 画图并证明你的猜想。 (2)如果购买同样多的水彩，哪种方案更省钱, 七、(11分) 五、(10分) 26.甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行。甲车行驶8524.如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶千米后与乙车相遇，然后继续前进。各车到达对方的出发点等候30分钟立即依
7、原端到湖面所在平面的高度AB(见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺。 路返回。当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地距离。 (1)请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB的方 案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用 m,n,表示，角用,表示，测倾器高度忽略不计); (2)根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB(用字母表示)。 参考答案 一、选择题(20分) 1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.C 二、填空题(20分) 11.(3,-2) 12.扇 13.0?x?6，且x?4 14.
8、x=4，y=-1;或x=-1，12分 y=4 15. 16.二 17.2 18.或1 19.等腰 四、 23.(10分) 解: 20. (1)按优惠方案?可得 三、 y=204+(x-4)5=5x+60(x?4) 2分 121.(8分) 按优惠方案?可得 y=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x?4) 4分 2(2)比较 解:. 4分 y-y=0.4x-13.6(x?4) 11令y-y=0，得x=34 7分 11 当x=2时， ?当购买34盒水彩时，两种优惠方案付款一样多。 8分 当4?x34时，y34时，yy，优惠方案?付款较少。 10分 12 原式=. 4分 五、 22.(12分
9、) 24.(10分) 解: 解(1)如图所示，在点C测得?ACB=，在点D测得?ADB=，测得DC=m. 4分 (2)解:在Rt?ABC中，设AB=x，BC=xcot 在Rt?ABD中，BD=xcot BD=m+BC 即xcot=m+xcot (1)图形 2分 设P是?O上任意点，Q为l与?O的交点 3分 解得x= 10分 ?APQ=?BPQ (注:标记字母不同，结果正确，按以上标准给分) ? 六、(12分) 25. ?Q为中点 即?APB的平分线过点Q 6分 (1)证明 (2)能取得最大值 8分 连结AC ?AB=BC，且点A为中点 ?ABC为等边三角形 在AE上截取EF=BE，连结BF ?
10、AEB=?ACB=60?，且EF=BE 则 4分 ?EFB为等边三角形 ?ABC=?FBC=60? ?ABF=?EBF 在?ABF和?CBE中 ?AB=CB 即 6分 ?ABF=?CBF BF=BE ?ABF?CBF ?得 8分 ?AF=CE 2 ?AE=BE+CE 6分 去分母，化简得S-190S=0 10分 (2)AE=BE-CE 8分 S,0(舍) S,190 证明:连接AC 答:A、B两地的距离为190千米。 12分 八、(16分) ?AB=BC，且A为中点 ?ABC为等边三角形 28.(1)由，PM+MQ=+r=1，得r=2-3 2 在BE上取EF=AE，连结AF ?AEF=?ACB
11、=60?,且EF=AE 分 ?EFA为等边三角形 ?BAC=?FAE=60? (2)?点M(0,r)=(0,2-3)，点Q(rcos60?,)即Q() ?BAF=?EAC 在?ABF和?ACE中 由已知直线过点M、Q，得 ?AB=AC ?BAF=?EAC AF=AE ?ABF?ACE ?BF=CE 解得k=，m=2-3 5分 ?AE=BE-CE 12分 2 七、(12分) ?由y=x+bx+c过点O、Q，则 tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；26.设甲车的速度为x(千米/时)，乙车的速度为y(千米/时)，A、B两地的距离 C=0 为S(千米) 2分 最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。，得b= 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。即得 8分 3、思想教育，转化观念端正学习态度。?令，则，x=0 2（7）二次函数的性质：即得当x0时y0 ?由已知得 （7）二次函数的性质：一锐角三角函数消去y得 12分 8.直线与圆的位置关系设点E的横坐标为x，点Q的横坐标为 2由根与系数的关系得 x=-2 2则 14分 对称轴：x=进而得线段EQ的长为2+1 16分