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1、初三数学解综合题的能力训练.doc初三数学解综合题的能力训练 首先我们必须认识到基础知识，基本技能是解综合题的基础，解综合题的关键是找出基础知识之间的内在联系。解综合题的方法，常常采取“化整为零”，将综合题转化为基础题，同要对其实施分析与综合的方法，寻找已知和未知的“连接点”，因此掌握数学思想方法是解决好综合题的灵魂，下面由几种数学思想方法入手举例说明: 【方程思想】 例1 : (96 年中考题 7 分)已知:如图，在Rt ?ABC 中，C = 90 ?, D 是BC 中点，DE AB ，垂足为E ，tgB = ，AE= 7 ， 求:DE 的长, 分析:将题目中的tgB = ，在Rt ?BDE
2、 中，利用设未知数的方法，由勾股定理解关于x的方程，即可求出。 解法一: ? 在Rt ?BED 中和?ABC 中 设DE = x ? BE = 2x ? 又? BD = DC 在Rt ?ABC 中，由勾股定理得: 即: 解法二:同解法一得BE = 2x ， 在?ABC 和?DBE 中 ? BCA = BED, B = B ? ?ABC ?DBE 经检验: 是原方程的根 例2 : (96 年中考试题 8 分) 已知:如图DB 为?O 的直径，A 为B 延长线上一点，AC与?O 相切于点E ，CB AB ，如果AE ?EC = 2 ? 1 ，DE + BE = ， 求:?ABC 的面积 分析:将题
3、目中的AE ?EC = 2 ? 1 设未知数CE = x, AE = 2x ，再由勾股定理和相似三角形的有关概念即可求出 解: 设CE = x ， ?AE ?EC = 2 ? 1 ? AE = 2x ? DB 是?O 直径，且CB DB ? CB 切?O 于B ? CB = CE = x 在Rt ?ABC 中，由勾股定理得: ?AEB 在Rt ?BDE 中，由勾股定理得 例3 : 已知，一元二次方程中的m, n 分别为一个等腰三角形的腰和底边的长。 (1 )求证:关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根; (2 )如果为方程的两根，且等腰三角形的面积为12 ，求这个等腰三角形内切圆的面积 证
4、明(1 ): 其中，m, n 分别是等腰三角形的腰和底边的长， ? 2m n 0 即? 0 ? 方程有两个不相等的实数根 解(2 ): ?等腰三角形的高 又S = 12 ? (2) ? 解(1)(2) 方程组得:m = 5 ， n = 6 (负值舍) 设内切圆的半径为r , 而 ? 这个等腰三角形的内切圆的面积为。 例4 :已知 ?O 、?O 交于A 、B 两点，DT 切?O 于T ，交?O于D 、M 且M 为1221DT 的中点，BA 的延长线交DT 于C 求证:CT = 2CM 分析: 方程思想在证明题中也可应用，若设CT 为x CM 为a ，再通过2CT = CA ?CB 找到与CM 之
5、间的关系。 证明:设CT 为x ，CM 为a ? CT 是?O 的切线?O 的割线 21【数形结合思想】 在解题或证题过程中要善于把抽象的数量关系和直观的几何图形结合起来，互相转化，化难为易。 例1 : 已知:?ABC, C = 90 ?, tg , , 求:AB 分析: 要求的AB 边恰是直角三角形ABC 的斜边，则很容易联想到勾股定理:，这样结合题目中的数量条件，很快可利用方程思想，通过Rt ?BCD 找到AC 、BC，使问题得解决。 解: 在?DBC 中， C = 90 ?, ?设CD = x ，则BC = 6x 在Rt ?ABC 中， 即:整理得: 解得:x = 2 ， (舍) 例2
6、: 已知:如图:BD 为直圆O 的半径，M 为 的中点，点A 在 上运动，使AB = AC ，点C 在BD 的延长线上，如果BD = 8 ，设AB = x ，BC = y 。 1 (求:y 与x 的函数关系式和自变量x 的取值范围 2 (CA 能和?O 相切吗,如能相切，写出当CA 为?O 的切线时的x 值和与它相应的y 值，如不能相切，请说明理由。 分析:建立y 与x 的函数关系问题，离不开数形结合，要通过对图形的观察，充分利用题目的条件架起y 与x 的联系的桥梁，由图中不难发现?OAB ?ABC ，对于自变量x 的取值范围也要通过图形的有关条件加以求解，第(2 )问原于开放型问题，无论你做
7、肯定或否定的回答，都要充分证明或论证。 解:1 、连结OA 、则OA = OB ，? B = OAB 又? AB = AC ? B = C ? OAB = C 而 B = B ? ?OAB ?ABC ? 将DB = 8 ，AB = x ，DC = y ， 代入上式，得: ? ? M 是的中点，点A 在上运动 连BM ，则BM AB 4, 4,AB 2 ，据题意，可分两种情况: 第一种:(如图) 当tg BAE 时，设CE = x, BE = m 则AB = DC = 2m AD = m + x ? AD + AB = 6 ? 即: 其中 3 x 6 第二种情况:(如图) 当时，? AD / B
8、C, ? DAE = AEB ? tg AEB = 设CE = x, AB = CD = n 则BE = 2n AD = 2n + x ? 矩形周长为12 ，? AB + AD = 6 ? n + 2n + x = 6 例3 : 已知抛物线与x 轴交于两点A 、B ，与y 轴交于C 点，若?ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式。 分析:通过已知条件，可求出抛物线与y 轴交点C (0, 4) 与x 轴交点A (3, 0) 和用m 表示的B ( , 0) 根据已知条件中的?ABC 是等腰三角形，则必须加以分类讨论，则分三种情况:?AC = BC ?AC = AB ?AB = BC ，缺一不可。
9、解:抛物线与y 轴点C 则x = 0 与x 轴交A ，B 两点，则y = 0 ? 当x = 0 时，, ? 抛物线与y 轴交点为C (0, 4) ，与x 轴交点为A (3, 0), B ( ) 当? ABC 为等腰三角形时，可分为以下三种情况: (1 )若AC = BC 时 据等腰三角形的三线合一，可知:|OB| = |OA| ? 抛物线解析式为: (2 )若AC = AB 时 ? OA = 3, 3, OC = 4 ，? AC = 5 (3 )若AB = BC 时 综上所述:抛物线解析式为: 例4 : 如图:Rt ?ABC 中， C = 90 ?, BC = 9cm, CA = 12cm,
10、动点P 从C 点出发，以每秒2cm 的速度沿CA ，AB 向点B 运动， (1 )问点P 从C 点出发几秒时，可使; (2 )求此时以线段BP 、BC 的长度为两根的且二次项系数为1 的一元二次方程。 解:(1 )在Rt ?ABC 中， C = 90 ?，BC = 9cm, CA = 12 cm ，由勾股定理可得 AB = 15 cm ?当点P 在CA 上运动时， ?当点P 在AB 上运动时，设C 点到AB 的距离为h ， 综上所述:点P 从C 点出发2 秒或11 秒时，可使。 (2 )当点P 从C 点出发2 秒时， 所求一元二次方程为: 当点P 从C 点出发11 秒时，BP = 5 ，BC
11、= 9 ? 所求一元二次方程为: 【能力测试篇】 1 (如图:在直角坐标系xoy 中，以o 为圆心的圆交x 轴于点C 、D，交y 轴正半轴于点A ，弦CM 交OA 于点B ，若tg C = , MB?BC = 20 求:(1 )C 点坐标; (2 )直线CM 的解析表达式; (3 )?ABM 的面积。 2 (关于x 的方程?的两个实根的平方和不大于方程= 0 ?的两个实根的积，且一次函数的图象与y 轴的交点在x 轴上方，试求满足上述条件的m 的整数值。 3 (如图，直角梯形ABCD ，AB / CD ，AD AB ，以BC 为直径的?O与AD 切于点E ，交AB 于F ，已知，CD = a ，
12、AB = c, AD = b ，连结BE，CE (1 )求证:关于x 的方程有两个相等实根; (2 )有一小圆?O? 与?O 外切，且与AD ，AB 相切，若DC = 4 ，AB = 16 ，求此小圆的半径。 4 (在平面直角坐标系xoy 中，点P 的横坐标是2 ，半径的?P 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，且截得的两弦长度相等，点C 为x 轴负半轴上一动点，连结CB ，设OCB 为a (1 )求a 在什么范围内，CB 的延长线与?P 有另一个交点E , (2 )如果设AE = x ，点E 到x 轴的距离与点E 和原点的距离之比为y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出自变量x
13、 的取值范围, 5 (如图:?ABC 中， ACB = 90 ?，AC = BC = 2 ，D 点在AB 上运动， CDE = 45 ?，DE 与CB 交于点E ，若DB = x，CE = y (1 )证明:?ACD ?BDE; (2 )求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围; (3 )若AD ?DB = 1 ?2 ，求?CDE 的面积。 6 (已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，(点A 在点B 的左侧)，且点A 、点B 到原点的距离的比为3 ?2 (1 )求m 的值; (2 )若P 点在y 轴上(P 点异于O 点)，设 PAB = a ， PAB = b ，问a 和b
14、 能否相等,如果能相等，请说明理由;如果不相等，请证明，并比较a 与b 的大小。 7 (已知:如图在?ABC 中，若边长AC 、BC 是关于x 的方程: 的两个根，且5BC = 3AB ，CD AB 于D ，以CD 为直径作圆，分别交AC 、BC 于E 、F (1 )判断?ABC 的形状，并求?ABC 三边的长; (2 )求sin DCB 的值; (3 )求AE 的长。 8 (已知:如图?ABC 内接于以AD 为直径的半圆O ，PE 与半圆O 相切，切点为C ，AD 的延长线与PE 相交于点P ，BCE = CAD ，若，求四边形PABC的面积，和?ABC 的另外两边长。 9 (98 年中考题
15、)已知二次函数(x 为自变量)的图象与y 轴的交点在原点的下方，与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，且A 、B 两点到原点的距离AO 、OB 满足，直线与这个二次函数图象的一个交点为P ，且锐角 POB 的正切值为4 ， (1 )求这个二次函数的解析式; (2 )确定直线 的解析式。 10 (已知:如图，抛物线 与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，若 ACB = 90 ?, CAO = a , CBO = b , 且tga ,tgb = 2 (1 )求此抛物线的解析式; (2 )平行于x 轴的直线交抛物线于MN 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴相切，求此圆的半径。 【
16、答案或提示】 1 (1 )解:利用相交弦定理: 求得OC = 6 ，点C 的坐标为( ,6, 0 ) (2 )直线CM 过B 点，B 点坐标(0, 4) ，设直线CM 的解析式为y = kx + 4 ，点C ( ,6, 0), ? (3 )提示:利用勾股定理求得:, 利用BM ?BC = 20 ，求出 再过M 点作MN CD, ? OB / MN 2 (答案:m = ,2 3 (提示:(1 )连接OE ，CF ，可得OE 是梯形ABCD 的中位线， ，易得直径BC = 20E = a = c ? CF = b ，利用直径的性质，在Rt ?BCF 中: (2 )连接OO? ，由(1 )可求 再由
17、两圆外切构造直角三角形 整理，得: ，依题意舍去 ? 小圆半径为 4 (1 )0 ? a 45 ? (2 ) 5 (1 )提示: A = B = 45 ? ? CDB = CDE + EDB CDB = A + ACD, 且 CDE = 45 ?= A ? ACD = BDE ? ? ACD ?BDE (2 )由(1 )中? BDE ? ?ACD 易得: (3 ) 6 (1 )m = 2 (2 )由m = 2 ? ? 点P 在y 轴上，设P (0, n) PAB = a , PBA = b ? ? a 、b 为锐角 ? a ,2 B (p ,0.01 D ( 3 (4 的算术平方根是: A (
18、2 B (,2 C (+ 2 D ( 4 (199900 用科学记数法表示为: 45 6 2A (1.999 10 B (1.999 10C (1.999 10D (1999 10 5 (下列各组数据，不能构成三角形的是: A (2cm, 2cm, 3cm B (3cm, 4cm, 5cm C (2cm, 3cm, 5cm D (6cm, 6cm, 6cm 6 ( 多项式的次数是: A (2 B (4 C (5 D (7 7 (点P (1, ,6) 关于x 轴对称点的坐标是: A (1, ,6) B ( ,1, ,6) C (1, 6) D ( ,1, 6) 8 (如果一个多边形的内角和等于外
19、角和，那么这个多边形是: A (三角形 B (四边形 C (六边形 D (八边形 9 (下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是: A (等边三角形 B (等腰梯形 C (平行四边形 D (圆 10 (函数中，自变量x 的取值范围: A ( B ( C ( D ( 11 (下列各式中，是最简二次根式的是: A ( B ( C ( D ( 12 (如果两个圆只有一条公切线，那么这两个圆的位置关系: A (外离 B (外切 C (相交 D (内切 13 (如果正方形的边长为2 ，那么连结各边中点所得的四边形的面积是: A (4 B (2 C ( D (1 14 (如果45 ? a 90 ?，
20、那么sina ,cosa : A (大于零 B (小于零 C (等于零 D (不能确定 15 (不等式组的解集是: A ( B ( C ( D ( 16 (如果半径为1 ，且弧长为，那么这条弧所对的圆心角的度数为: A (180 ? B (135 ? C (90 ? D (60 ? 17 (正六边形的边心距为，它的外接圆的半径为: A ( B (2 C (1 D ( 218 (一圆柱的母线长为10cm ，侧面积为60p cm ，这个圆柱的底面直径是: A (3cm B (6cm C (9cm D (12cm 19 (如图函数在同一坐标系中的图象大致为: A B C D 20 (如果a 、b 是
21、方程的两个实根，那么 的值为: A (6 B (2 C (4 D (0 二、 (本题共10 分，每小题5 分) 1 (计算: 2 (如图:在?ABC 中，DE / BC ，S? S= 1 ? 2 ，BC = ，求?四边形 ADE ECDE DE 的长。 三、(本题10 分，每小题5 分) 1 (用换元法解方程: 2 (某洗衣机厂接受一批4800 台的新型洗衣机的订单，为了提前2 天完成任务，必须把生产效率提高，问提高后，每天应生产多少台这种新型的洗衣机, 四、(本题7 分) 已知:P (m, n) 是一次函数y = 的图象上的一点，二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标的平方和为1 ，问点N
22、(m + 1, n ,1) 是否在函数的图象上, 五、(本题8 分)已知:矩形ABCD 中，AD = 12cm ， AB = 5cm ，对角线BD 上有一点P ，作PE BC 于E ，连结PA ，设PD = x ，写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。 六、(本题9 分) 已知:如图:已知抛物线与直线交于A (1,m) ，和B (4, 8) 两点，与x 轴交于原点O 和C 点， (1 )求直线和抛物线的解析式; (2 )抛物线在x 轴上方是否存在点D ，使,如果存在，请求出所(1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.有满足条件的点
23、D ，如果不存在，请说明理由。 综合题答案 一、 1 ( B 2 (D 3 (A 4 (B 5 (C 即;6 (B 7 (C 8 (B 9 (D 10 (C 74.94.15有趣的图形3 P36-4111 (A 12 (D 13 (B 14 (B 15 (C （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一16 (C 17 (B 18 (B 19 (C 20 (B 二、1 ( 2 ( 二特殊角的三角函数值三、1 (x = 3 2 (800 台 =0 抛物线与x轴有1个交点；四、判断:不在 五、 六、1 ( tan12 (判断:存在， tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。证明:求出与x 轴的两个交点后，设抛物线在x 轴上方的坐标为 |a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.则 解得: ? 在x 轴上方的抛物线上，存在着点D ( ) 1或D ( ) ，使得 2