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1、初中数学一题多解例题篇一:初中数学一题多解题 初中数学一题多解题 例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数 方法一、 设较小的奇数为x,另外一个就是x+2 x(x+2)=323 解方程得:x1=17,x2=-19 所以，这两个奇数分别是: 17、19，或者-17，-19 方法二、 设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x 则有:x-323/x=2 解方程得:x1=19,x2=-17 同样可以得出这两个奇数分别是: 17、19，或者-17，-19 方法三、 设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为: 2x-1,2x+1 1 (2x-1)(2x+1)=323 即4x -1=323 x =81
2、x1=9,x2=-9 2x1-1=17,2x1+1=19 2x2-1=-19,2x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是: 17、19，或者-17，-19 方法四、 设两个连续奇数为x-1,x+1 则有x -1=323 x =324=4*81 x1=18,x2=-18 x1-1=17,x1+1=19 x2-1=-19,x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是: 17、19，或者-17，-19 例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元;如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱, 解:设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分
3、别为x、y、z元，则2 根据题意，得 ?13x?5y?9z?9.25 ?2x?4y?3z?3.20?1?2? 分析:此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x?y?z的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。 1. 凑整法 ?1?2?，得5x?3y?4z?415.3 ?2?3?，得7(x?y?z)?7.35 ?x?y?z?105. 解1:?3? 答:只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元(下面解法后的答均省略) 解2:原方程组可变形为 ?13(x?y?z)?4(2y?z)?9.25 ?2(x?y?z)?(2y?z)
4、?3.20 解之得:x?y?z?105. 2. 主元法 解3:视x、y为主元，视z为常数，解<1、<2 得x?05.?05.z .?05.z，y?055 ?x?y?z?055.?05.?z?z?105. 解4:视y、z为主元，视x为常数，解<1、<2 得y?0.05?x，z?1?2x ?x?y?z?105.?x?2x?x?105. 3 解5:视z、x为主元，视y为常数，解<1、<2 .?2y 得x?y?0.05，z?11 ?x?y?z?y?0.05?y?11.?2y?105. 3. “消元”法 解6:令x?0，则原方程组可化为 ?5y?9z?9.25?y?0
5、.05? ? 4y?3z?3.2z?1? ?x?y?z?105. 解7:令y?0，则原方程组可化为 ?13x?9z?9.25?x?0.05? ? 2x?3z?3.20z?11.? ?x?y?z?105. 解8:令z?0，则原方程组可化为 ?13x?5y?9.25?x?0.5? ? 2x?4y?3.20y?0.55? ?x?y?z?105. 4. 参数法 解9:设x?y?z?k，则 ?1?13x?5y?9z?9.25?2? ?2x?4y?3z?3.20 ?x?y?z?k?3? ?1?2?3，得x?y?0.05?4? ?3?3?2?，得x?y?3k?32. ?由<4、<5得3k?32.
6、?005. ?k?105. 即x?y?z?105. 4 5. 待定系数法 解10. 设 ?5? x?y?z?a(13x?5y?9z)?b(2x?4y?3z) ?(13a?2b)x?(5a?4b)y?(9a?3b)z?1? 则比较两边对应项系数，得 ?13a?2b?1?a?1?21 ?5a?4b?1? 4?9a?3b?1?b?21? 将其代入<1中，得 x?y?z?141?9.25?32.?22.05?105. 212121 附练习题 1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨;5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨,(答案:24.
7、5吨) 2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元;若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。问若购甲、乙、丙各1件共需多少元,(答案:1.05元) 平面几何 在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法;从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。 “一题多变”的常用方法有:1、变换命题的条件与结论;2、5 保留条件，深化结论; 3、减弱条件，加强结论;4、探讨命题的推广;5、考查命题的特例; 6、生根伸枝，图形变换;7、接力
8、赛，一变再变;8、解法的多变等。 19、(增加题1的条件)AE平分?BAC交BC于E， 求证:CE:EB=CD: CB 20、(增加题1的条件)CE平分?BCD，AF平分?BAC交BC于F 篇二:初中数学一题多变、一题多解 一题多解、一题多变 原题条件或结论的变化 所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。 例1 求证:顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证:顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变
9、式2 求证:顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证:顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形, 变式5 顺次连接什么四边6 形各边中点可以得到矩形, 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形, ? 通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何图形形状的变化 如图1，分别以Rt?ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、
10、S3之间的关系是 S1 C S2 A B C S1 A S3 S2 B A 7 S1 S2B S3 S3 图1 图2 图3 变式1:如图2，如果以Rt?ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是变式2:如图3，如果以Rt?ABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为 S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是变式3:如果以Rt?ABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3，为使S1、S2、S3之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件,证明你的结论。 变式4:如图4，梯形ABCD中,AB/DC,?ADC?
11、BCD?90?,且DC?2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 S2 S1 S3 S1 S2 8 S3C DSS2 S3C D EC D 图4 图5图6 变式5:如图5，梯形ABCD中,AB/DC,?ADC?BCD?90?,且DC?2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正三角形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 变式6:如图6，梯形ABCD中, AB/DC,?ADC?BCD?90?,且DC?2AB,分别以DA、AB、BC为直径向梯形外作半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1
12、、S2、S3 之间的关系是 上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦;既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化 例2.已知:如图7，点C为线段AB上一点，?ACM、?CBN9 是等边三角形。 求证:AN=BM 图7 图8 证明:?ACM和?CBN是等边三角形 ?MC?AC,CN?CB,?ACN?MCB?ACN?MCB ?AN?BM 变式1:在例2中，连接DE，求证:(1)?DCE是等边三角形(2)DE/AB 分析:(1)可证?ADC?MEC，则DC=EC,因为?D
13、CE=60?,所以?DCE是等边三角形。 (2)由(1)易证?EDC=?ACM=60?,所以DE/AB 变式2:例2中，连接CF，求证:CF平分?AFB 分析:过点C作CG?AN于G,CH?BM于H,由?ACN?MCB，可得到CG=CH, 所以CF平分?AFB 变式3:如图8，点C为线段AB上一点，?ACM、?CBN是等边三角形，P是AN的中点，Q是BM的中点，求证:?CPQ是等边三角形 证明:?ACN?MCB ?AN?BM,?ABM?ANC 又?P、Q分别是AN、BM的中点 ?BCQ?NCP ?CQ?CP,?BCQ?NCP ?PCQ?NCP?NCQ?BCQ?NCQ?NCB?60? 10 ?C
14、PQ是等边三角形 图7是一个很常见的图形，其中蕴含着很多的关系式，此题还可 适当引导学生探索当点C不在线段AB上时所产生的图形中的一些结论，通过该题的变式训练，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养了学生思维的创造性。 三、因某一基本问题迁移的变化 例4如图9，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇 供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短, 图9 分析:设泵站应建在P处。取点B关于L的对称点B,如图1，PB=PB,要使PA+PB最小只要PB+PA最小，而两点之间距离最短，连接AB与L的交点P即是泵站所建的位置。本题特点:一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使
15、动点到定 点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。 变式1:如图2，在?ABC中，AC=BC=2,?ACB=90?,D是BC的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 图2 解:C、D是两定点，E是在直线AB上移动的一动点，以CA、CB为边作正方形ACBF，则C关于AB的对称点11 一定是F,连接DF交AB于E,这时EC+ED最小。因为D是BC的中点，在直角三角形FBD中， B A L P B' AF C D B EC?ED?ED?EF?DF?BD2?BF2?22?12?5. 变式2:如图3，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点，M、N分别是AB、BC边
16、上的中点，则PM+PN的最小值 分析:M、N是两定点，P是在直线AC上移动的一动点，作N关于AC的对称点G，由于四边形ABCD是菱形，所以G一定在DC上，且为DC的中点，连接MG交AC于P,四边形AMGD为平行四边形，连接PM、 D A BN 12 C PN，则PM+PN最小，PM+PN=PM+PG=MG=BC=1 变式3:如图，梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD=AD=1, ?B=60?,直 线MN为梯形的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 解:C、D是两定点，P是直线MN上一动点，因为图形ABCD中， AD/BC,AB=CD=AD=1,所以四边形ABCD为等腰梯形，而直线
17、MN为梯形ABCD的对称轴，则D关于MN的对称点是A点，连接AC交MN于点P, 连接PD,则有PA=PD,要使PC+PD的值最小，就要使PA+PC最小，所以PC+PD=PA+PC=AC,因为?B=60?，可证得?ABC为直角三角形，AC=ABtan?B=1?tan60?=3,则PC+PD 的最小值为3. 变式4:如图，已知?O的半径为r , C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧 AC的度数为96?，弧 BD的度数为36?,动点P在AB上，则CP+PD的最小值为解:如图，设D是D关于直径AB的对称点，连接CD交AB于P，则P点使CP+PD最小。 弧CD的度数为180?96?36?48?，弧CD的
18、度数为120?， 所以?COD=120?,从而易求CP+PD=CD=r,所以13 CP+PD的最小值为r. 本例利用“泵站问题”进行迁移变式，逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题，这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固，达到了透彻理解该基本问题的目的。 A P D'C DB 篇三:初中数学一题多变一题多解(五) 一题多解，一题多变(五) 原题条件或结论的变化 所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。 例1 求证
19、:顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证:顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变式2 求证:顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证:顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形, 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形, 变式6 顺次连接什么四边形14 各边中点可以得到菱形, ? 通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何
20、图形形状的变化 如图1，分别以Rt?ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3之间的关系是 S1 C S2 A B C S1 A S3 S2 B A S1 15 S2B S3 S3 图1 图2 图3 变式1:如图2，如果以Rt?ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是变式2:如图3，如果以Rt?ABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为 S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是变式3:如果以Rt?ABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3，为使S1、S2、S3之
21、间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件,证明你的结论。 变式4:如图4，梯形ABCD中,AB/DC,?ADC?BCD?90?,且DC?2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 S2 S1 S3 S1 S2 S3C 16 DSS2 S3C D EC D 图4 图5图6 变式5:如图5，梯形ABCD中,AB/DC,?ADC?BCD?90?,且DC?2AB,分别以 DA、AB、BC为边向梯形外作正三角形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 变式6:如图6，梯形ABCD中,AB/DC,?A
22、DC?BCD?90?,且DC?2AB,分别以DA、AB、BC为直径向梯形外作半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦;既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化 例2.已知:如图7，点C为线段AB上一点，?ACM、?CBN是等边三角形。 17 求证:AN=BM 图7 图8 证明:?ACM和?CBN是等边三角形?MC?AC,CN?CB,?ACN?MCB ?ACN?MCB ?AN?BM 变式1:在例
23、2中，连接DE，求证:(1)?DCE是等边三角形(2)DE/AB 分析:(1)可证?ADC?MEC，则DC=EC,因为?DCE=60?,所以?DCE是等边三角形。 (2)由(1)易证?EDC=?ACM=60?,所以DE/AB 变式2:例2中，连接CF，求证:CF平分?AFB 分析:过点C作CG?AN于G,CH?BM于H,由?ACN?MCB，可得到CG=CH, 所以CF平分?AFB 变式3:如图8，点C为线段AB上一点，?ACM、?CBN是等边三角形，P是AN的中点，Q是BM的中点，求证:?CPQ是等边三角形 证明:?ACN?MCB ?AN?BM,?ABM?ANC 又?P、Q分别是AN、BM的中
24、点 ?BCQ?NCP ?CQ?CP,?BCQ?NCP ?PCQ?NCP?NCQ?BCQ?NCQ?NCB?60? 18 ?CPQ是等边三角形 图7是一个很常见的图形，其中蕴含着很多的关系式，此题还可 适当引导学生探索当点C不在线段AB上时所产生的图形中的一些结论，通过该题的变式训练，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养了学生思维的创造性。 三、因某一基本问题迁移的变化 例4如图9，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇 供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短, 图9 分析:设泵站应建在P处。取点B关于L的对称点B,如图1，PB=PB,要使PA+PB最小只要PB+PA最小，
25、而两点之间距离最短，连接AB与L的交点P即是泵站所建的位置。本题特点:一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使动点到定 点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。 变式1:如图2，在?ABC中，AC=BC=2,?ACB=90?,D是BC的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 图2 解:C、D是两定点，E是在直线AB上移动的一动点，以CA、CB为边作正方形ACBF，则C关于AB的对称点19 一定是F,连接DF交AB于E,这时EC+ED最小。因为D是BC的中点，在直角三角形FBD中， B A L P B' AF C D B EC?ED?ED?EF?DF?
26、BD2?BF2?22?12?5. 变式2:如图3，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点，M、N分别是AB、BC边上的中点，则PM+PN的最小值 分析:M、N是两定点，P是在直线AC上移动的一动点，作N关于AC的对称点G，由于四边形ABCD是菱形，所以G一定在DC上，且为DC的中点，连接MG交AC于P,四边形AMGD为平行四边形，连接PM、 D A BN 20 1、20以内退位减法。C PN，则PM+PN最小，PM+PN=PM+PG=MG=BC=1 垂直于切线; 过切点; 过圆心.变式3:如图，梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD=AD=1, ?B=60?,直 线MN为梯形的对称轴，
27、P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 二次方程的两个实数根解:C、D是两定点，P是直线MN上一动点，因为图形ABCD中， AD/BC,AB=CD=AD=1,所以四边形ABCD为等腰梯形，而直线MN为梯形ABCD的对称轴，则D关于MN的对称点是A点，连接AC交MN于点P, 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。连接PD,则有PA=PD,要使PC+PD的值最小，就要使PA+PC最小，所以PC+PD=PA+PC=AC,因为?B=60?，可证得?ABC为
28、直角三角形，AC=ABtan?B=1?tan60?=,则PC+PD 的最小值为. （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一变式4:如图，已知?O的半径为r , C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧 AC的度数为96?，弧 BD的度数为36?,动点P在AB上，则CP+PD的最小值为解:如图，设D是D关于直径AB的对称点，连接CD交AB于P，则P点使CP+PD最小。 (4)直线与圆的位置关系的数量特征:弧CD的度数为180?96?36?48?，弧CD的度数为120?， 所以?COD=120?,从而易求CP+PD=CD=3r,所8.直线与圆的位置关系21 1、熟练计算20以内的退位减法。以CP+PD的最小值为r. 本例利用“泵站问题”进行迁移变式，逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题，这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固，达到了透彻理解该基本问题的目的。 A tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；P 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:D'C DB 22