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1、初中数学华师大版七年级上册第二十七章二次函数试题第二十七章 二次函数 知识结构:二次函数的图象实实际际二次函数的应用问问题题二次函数的性质, 应知 一、基本概念。 二次函数:我们把形如y=ax?+bx+c(其中a,b,c是常数，a?0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 。称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项。 二次函数的解析式: 2y,ax，bx，c? 一般式: ( a?0) 22b4ac-b2,，y,ax，h，k? 顶点式: 或 ( a?0) yx,，,2a4a,? 交点式(两根式): 其中，y,a(x-x)(x-x) a,012(，0)，(，0)分别为抛物
2、线与x轴的两个交点2(x1、x2是方程的两个根)。 ax，bx，c,0，y,a(x-x)(x-x) ，k a,0? 对称点式: 其中()，()为12抛物线 上关于对称轴对称的两个点。 2【注意】当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y,ax，bx，c形式。 2当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y,a(x,h)，k形式。 当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式y,a(x,x)(x,x) 12二、基本法则 (1)二次函数的图象。 ?图象特征: 2? 二次函数y,ax，bx，c ( a?0)的图象是一条抛物线; 24acbbb,? 对称轴是直线x=,，顶点坐标是(
3、,，); 2a2a4a? 当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。 当a0. 抛物线开口向 上 a的符号 a0. 抛物线对称轴在y 轴的 左 侧 b=0 抛物线对称轴是 y 轴 b的符号 b0. 抛物线与y轴交于 c C=0 抛物线与y轴交于 0 c的符号 平移|h|个单位c0. b,4ac 的b,4ac2符号 抛物线与x 轴有 1 个交点 =0 b,4ac2抛物线与x 轴有 0 个交点 0a0图yy象ooxx?当a,0时抛物线开口向?当a,0时抛物线开口向上。下。bb?对称轴是直线x=-顶点?对称轴是直线x=-顶点2a2a22性b4ac-b2b4ac-b2座标是(-,。座标是(-
4、,。2a4a2a4a?在对称轴左侧即当x,?在对称轴左侧即当x,bb-时y随x的增大而减小,-时y随x的增大而增大,2a2abb在对称轴右侧即当x,-在对称轴右侧即当x,-质2a2a时y随x的增大而增大。时y随x的增大而减小。bb?抛物线有最低点当x=-?抛物线有最高点当x=-2a2a224ac-b4ac-b时y有最小值y=时y有最大值y=最小值最大值4a4a(3)二次函数与一元二次方程的关系 22?从“形”看:函数y,ax，bx，c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax，bx，c,0的解; 2?从“数”看:当二次函数y,ax，bx，c的函数值为0时，相应的自变量的值即为2方程ax，bx，c,0
5、的解。 2. 二次函数与一元二次不等式的关系 2?从“形”看:函数y,ax，bx，c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二22次不等式ax，bx，c,0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标(即为一元二次不等式ax，bx，c,0的解。 2(2)从“数”看，当二次函数y,ax，bx，c的函数值大于0时，相应的自变量的值即22为一元二次不等式ax，bx，c,0的解;当二次函数y,ax，bx，c的函数值小于0时，相2应的自变量的值即为一元二次不等式ax，bc，c,0的解。 , 应会 1. 画二次函数的图象。 步骤: (1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表; (2)描点:用表格里各组对应值作为
6、点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象。 说明: (1)列表时，应根据对称轴是x,1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。 2. 用待定系数法求二次函数的解析式、 3. 用配方法求二次函数的对称轴、顶点座标、极值(最大最小值)。 4. 用二次函数解实际问题。 , 例题 1. 填空: 2(1) 抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 y,2(x，4),5侧，即x_时，
7、 y随着x的增大而增大; 在 侧，即x_时，y随着x的增大而减小;当x= 时，函数y最 值是 。 2(2) 抛物线y,2(x,3)，6的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_时， y随着x的增大而增大; 在 侧，即x_时，y随着x的增大而减小;当x= 时，函数y最 值是 。 2. 根据下列条件求各二次函数的解析式: (1)函数图像经过点A(-3，0)，B(1，0)，C(0，-2) (2)函数图像的顶点坐标是(2，4)且经过点(0，1) (3)函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点(1，0)和(5，0) 23. 已知函数y= x -2x -3 , 2(1)把它写成的形式;并说明它是由怎样的
8、抛物线经过怎样平y,a(x，m)，k移得到的, (2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值; (3)求出图象与坐标轴的交点坐标; (4)画出函数图象的草图; (5)设图像交x轴于A、B两点，交y 轴于P点，求?APB的面积; (6)根据图象草图，说出 x取哪些值时， ? y=0; ? y0. 4. 根据下列条件，求出二次函数的解析式。 2 (1)抛物线y,ax，bx，c经过点(0，1)，(1，3)，(,1，1)三点。 (2)抛物线顶点P(,1，,8)，且过点A(0，,6)。 2 (3)已知二次函数y,ax，bx，c的图象过(3，0)，(2，,3)两点，并且以x,1为对称轴。 32y,
9、x，3 (4)已知二次函数y,ax，bx，c的图象经过一次函数的图象与x轴、22y轴的交点;且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y,a(x,h)，k的形式。 25. 如图，抛物线y,ax，bx，c过点A(,1，0)，且经过直线y,x,3与坐标轴的两个交点B、C。 (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标， (3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM?BC， 垂足为D，求点M的坐标。 6. 已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y轴交点纵坐标为m。 (1)若m为定值，求此二次函数的解析式; (2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围
10、。 7. 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做次函数y,kx，b的关系，如图所示。 (1)根据图象，求一次函数y,kx，b的表达式， (2)设公司获得的毛利润(毛利润,销售总价,成本总价)为S元，?试用销售单价x表示毛利润S;?试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少? 8. 某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的边长为x，面积为S平方米。 (1)求出S与x之间的函数关系式; (2
11、)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用; (3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元) (参与资料:?当矩形的长是宽与(长，宽)的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形，?5?2.236) , 参考答案 1. (1) -4，-5 x=-4 对称轴左 x,-4 对称轴右 x,-4 -4 大 -5 (2) 3，6 x=3 对称轴右 x,3 对称轴左 x,3 3 小 6 2. 观察与分析:(1) 已知函数图象与x轴的两交点所以列交点式为好,(2) 已知函数图象的顶点可列顶点式,(3) 因顶点的y坐标不能确定即K值不能确定此
12、题可有无数解。 解:(1) y,a(x,x)(x,x),a(x，3)(x-1)122当x=0时，y=-3a=-2，求得: a,3242y,x，x,2?解析式为: 3322(2) y,a(x，h)，k,a(x-2)，43当x=0时，y=4a+4=1，求得:a, 432y,x，3x，1?解析式为: y4(3) ?对称轴直线x=3与二次函数图象的交点的y坐标不确定，即K值不确定。 ?此题可有无数解。 22，y,x,1,43. 解:(1) ，是由y=x函数的图象右移1个单位，下移0x4个单位而成的。 (2) 对称轴为x=1的直线，顶点坐标为(1，-4)，开口向上，最小值y为-4 2(x,1)-4,(x
13、，1)(x,3)(3) ? ， ?图象与坐标轴的两个交点坐标为(-1，0)、(3，0) (4) 如右上图所示。 AB0xP(5) 如右下图。 当x=0时，y=-3，即P点的坐标为(0，-3) 11 S,AB,OP,，4，3,6,APB22(6) ?x=-1,x=3时，y=0; ?-1,x,3时，y,0;?x,-1，x,3时，y,0. 观察与分析:二次函数解析式常用的有三种形式:一般式、顶点式、交4. 2点式(两根式)。当已知抛物线上任意三点时通常设为一般式y,ax，bx， c(a?0)形式。当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时通常设为顶点式y 2,a(x,h)，k(a?0)形式。当已知抛物线与
14、x轴的交点或交点横坐标且知 另外1点时通常设为两根式y,a(x,x)(x,x) (a?0)形式。 12 2解:(1) 有三点坐标，可列一般式y,ax，bx，c (a,0)。将坐标代入函数式可得: c,1 a,1,2 解得: 解析式为:y,x，x，1 3,a，b，cb,1,1,a,b，cc,1,2y,a(x，h)，k (a,0)(2) 有顶点和另一点，可列顶点式。由已知条件得:b,h,1 ,2ah,1,24ac,b,2k,8 解得: 解析式为:y,2(x,1),8 k,8,4a,a,2y,c,6 ,(3) 由点(3，0)和对称轴x=3可知，函数图象必然经过点(-1，0)，所以可列一般式: a,1
15、,22y,ax，bx，c (a,0). 如(1)解法可得: 解析式为:y,x,2x,3 b,2,c,3,3y,x，3(4) 已知函数，当x=0时，y=3;当y=0时，x=2. 则可列一般式: 2a,1 ,2b,3y,ax，bx，c (a,0). 将各点坐标代入，解得: ,c,3 ,2解析式为:y,x,3x，3 224acb41333b,33，,，,k,h,?， 4a4142a2，12，233,yx-,?函数顶点式为: ,24,【注意】从2，4两题可以看出，已知二次函数图象上任意3点或其坐标、函数图象顶点和另一点的坐标、函数图象与x轴、y轴各一个交点的坐标及对称轴，都可求出其确定的解析式。但如果
16、已知函数图象与x轴的两个交点和对称轴，则其解析式是不定解(无数解)。 观察与分析: 5. (1)求抛物线解析式只要求出A、BC三点坐标即可。 (2)抛物线的顶点可用配方法求出。 解:(1) 由函数图象可知，直线与坐标轴的两个交点为:B(3，0);C(0，-3) y,x,32已知三点可列一般式:y,ax，bx，c (a?0)，由三点坐标可得: a,b，c,0 a,1 ,29a，3b，c,0b,2 解得: 解析式为: y,x,2x,3,c,3 c,3 ,22b,2，4ac,b4，1，,3,2h,1(2) ?, k,42a2，14a4，1?函数图象的顶点坐标为:(1，-4) (3) 由|0B|,|O
17、C|,3 又OM?BC。 所以，OM平分?BOC 1?132 设M(x，,x)代入y,x,2x,3 解得x, 21，131,13 因为M在第四象限:?M(， ) 2226. 解:(1)设函数图象解析式为:y,ax，bx，c，将已知三点的坐标代入得: 1,，a,1，m ,2a，b，c,0 ,1,，4a，2b，c,1b,-1，3m, 解得: ,2,c,m c,m ,112解析式为:， y,1，mx,1，3mx，m221，,1，3mb1，3m2(2) ?函数图象的对称轴为:的直线 x,1，2a21，m，2，1，m2,1，3m?函数图象与x轴的另一交点为, 1,， 0,，21，m,?1+m,0，?m,
18、-1 观察与分析: 7. (1)从图象上两点的坐标可求出一次函数的表达式。 2.正弦：(2)从毛利计算公式可得出毛利S对于销售单价x的函数关系式从而求 3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。出可获得的最大利润及获得最大利润时的销售单价和销售量。 解:(1) 由图象知，直线y,kx，b过(600，400)、(700，300)两点，代入可求得解析式为:y,x，1000 (2) ?由毛利润S,销售总价,成本总价，可得S与x的关系式: （7）二次函数的性质：S,xy,500y,x?(,x，1
19、000),500(,x，100) 2 ,x，1500x,500000 (500,x,800) 2?上式化为顶点式:S,(x,750)，62500 所以，当销售单价定为750元时，获最大利润为62500元。 将此时的销售单价代入一次函数式中:y,x，1000,750，1000,250, 即此时销售量为250件。 8. 观察与分析: (1)由矩形面积公式不难得出。 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。(2)列出函数顶点式，即可求出最大值。 (3)由黄金矩形的特性，构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积，从而得到广 (5)直角三角形的内切圆半径告费用的大小。 （2）圆是轴
20、对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。12,2S,x,x,x，6x解:(1) 矩形面积 ,2,13.13.4入学教育1 加与减（一）1 P2-32(2) 将上式化为顶点式:S=,(x,3)，9，即矩形为边长3米的正方形时，矩形面积最2大，为9m，获得的广告设计费也最多，为91000,9000元。 (3) ?黄金矩形的长是宽与(长，宽)的比例中项 顶点坐标：（，）2?x,6?(6,x) 解得x,3,35 (不合题意，舍去)，x,3，35。 1294.234.29加与减（二）4 P49-5635,3，即黄金矩形的长为，则宽为6,x,6,35,3,9,35 (1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.此时的广告费用为1000()()?8498(元)。 35,39,35