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1、初中数学北师大版八年级上册第二章：实数第一、二、三节试题八年级数学第二章:实数 第一、二、三节北师大版 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 第二章:实数 第一节:数怎么又不够用了 第二节:平方根 第三节:立方根 二. 教学要求 1. 感受无理数的实际背景和引入的必要性，理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数，会用“逼近法”估算无理数的大小。 2. 了解数的算术平方根和平方根概念，会用根号表示一个数的算术平方根和平方根，会进行有关算术平方根的运算，理解算术平方根和平方根的区别和联系，培养学生的抽象概括能力。 3. 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，并能用立方根运算求某些数的
2、立方根，培养学生的独立思考的能力，提高数学表达和运算能力。 三. 重点及难点 重点: 1. 理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数。 2. 算术平方根和平方根的概念、性质及求法。 3. 立方根的概念、性质及求法。 难点: 1. 对无理数的概念的引入的理解，关键是通过现实生活中的实例，说明存在着不是有理数的数，这样的数就是无理数，再通过分析它的特征，掌握它的概念。 2. 对算术平方根和平方根意义的理解，关键是理解算术平方根与平方根的联系和区别。 3. 会利用立方与开立方是互逆的运算求一个数的立方根，关键是掌握立方根的概念及性质。 四. 课堂教学 ,知识要点, 2S,R例如，面积的公式:
3、中，不能表示成有理数的形式，它是一个无限不循环小,数，我国南北朝时期的祖冲之得到3.1415926,3.1415927，日本利用计算机算的近,似值精确到2061亿多位，可见，的小数点后面的数字无限不循环。 ,一. 1. 无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数 说明:有理数是指有限小数和无限循环小数，而无理数包括:(1)开方开不尽的数，如;(2)有特定意义的数，如，及含的数;(3)有一定结构的无限小数，如，5,0.080080008;(4)无限不循环小数 一个有理数a 与一个无理数b进行四则运算时，a，b，a-b，都是无理数，当a?0时，abaab，都是无理数，当a,0时，ab，都是有理数。 ,
4、bab2. 无理数的特征 (1)无理数的小数部分位数无限 (2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 小数的分类 3. 2确定中的正数x的近似值的方法 4. x,a(a,0)(1)确定正数x的整数部分。 2x,5根据平方的定义，把x夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分，例如:求222222,5,32,x,3中的正数x的整数部分。因为，即，所以，因此小数部2,x,3分为2。 (2)确定x的小数部分十分位上的数字。 将这两个整数平方和的平均数与a比较，预测十分位上数字的取值范围，如两个整数2222，3,6.5,5和3的平方和的平均数为所以x的十分位上的数字一定比3小，不妨设 2x?2.
5、2。 2设误差为k(k必为一个纯小数，且k可能为负数)，则x,2.2，k。所以(2.2，k)22,5，所以4.84，4.4k， k,5，由于k是小数，所以k很小，把它舍去，所以4.84，4.4k,5，所以k?0.036，所以x,2.2，k,2.2，0.036?2.236 注意:实际估算中，整数部分的数字容易估计，十分位上的数字可以采用试验的方法进222行估计，即所以4.8455.29。所以2.14.41,2.24.84,2.35.29,2222.2,x,2.3所以2.2,x,2.3，所以十分位上的数字为2。 二. 1. 算术平方根 2x,a(1)算术平方根的概念:一般地，如果一个正数x的平方等
6、于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，特别地，,的算术平方根是0。 2(2)算术平方根的表示方法:非负数a的算术平方根记作“”或“”，读作“根aa号a”，其中符号读作“二次根号”，a叫做被开方数，2叫做根指数，通常省略不写。 “”2例如:4,16，16的算术平方根是4，即。 16,4(3)算术平方根的性质:?正数a的算术平方根为，?0的算术平方根是0，即a0,0，(3)负数没有算术平方根。 (4)算术平方根具有双重非负数:?被开方数是非负数，即a?0，?算术平方根a本身是非负数，即?0。 aa2. 平方根 2x,a(1)平方根的概念:一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就
7、叫做a的平方根(也叫做二次根式)。 (2)平方根的性质:?一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根“”，另a一个是“”，它们互为相反数，合起来记作“”，读作“正，负根号a”，例如:,a,a5的平方根是;?,的平方根是,;?负数没有平方根。 ,53. 开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开平方。 2如:因为，所以 (,5),25,25,5说明:由于开平方与平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，也常用平方运算检验所求得的平方根是否正确，注意被开方数是非负数。 4. 平方根与算术平方根的区别与联系 (1)区别:?定义不同;?个数不同:一个正
8、数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个;?表示方法不同:正数a的平方根表示为，正数a,a的算术平方根表示为;?取值范围不同:正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根a是一正、一负。 (2)联系:?具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个;?存在条件相同:平方根和算术平方根都只有非负数才有;?0的平方根与算术平方根都是0。 5. 无理数的常见类型 主要有三类:(1)圆周率及含有的数;(2)看似循环而实质不循环的数，如,0.8080080008(相邻两个8之间0的个数逐次增加);(3)开方开不尽的数，如。 36. 两个重要的性质 222(1)，即当
9、时，当时， a,0a,aa,0a,aa,a2(2) (a),a(a,0)【典型例题】 例1. 下列说法:(1)有限小数和无限循环小数都是有理数(2)分数是有理数(3)无限,小数是无理数(4)是分数。其中正确的有( ) 5A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案:B 1,10例2. 下列各数，中，是无理数的有( )，是有理数,9,0.1010010001()353的有( ) 1,100.1010010001,9答案:无理数有:，;有理数有:，。 ,()353例3. 若正三角形的边长为4，高为h，则h是介于正整数( )和( )之间的无理数。 分析:正三角形的边长为4，内角为60度，运用
10、直角三角形中含30?角的性质及勾股222222h,123,12,43,h,4定理，得，所以，所以，所以h介于3和4之间。 答案:3，4 .0.23例4. 利用方程的知识把化为分数的形式 .0.23分析:因为是循环小数，也是有理数，所以要把它化为分数的形式，就想办法把.0.23它的循环小节去掉，因为100,23.23，小数部分也为0.23，两式相减，就可以把小数部分的循环节去掉了。 .解:设x,0，则100x,1000,23 .23.23.23.23所以,23,0，99x,23，所以 x,100x,x.23.2399说明:利用这种方法可以将任何一个无限循环小数化为分数，从而验证了无限循环小数是有
11、理数。 例5. 求下列各数的算术平方根和平方根 112,6(,4)10(1);(2)0.0001;(3);(4);(5)0 12511366362)因为1,， 解:(1(),25255251166所以的算术平方根是，平方根是。 1,25552(2)因为 (0.01)0.0001,0.01所以0.0001的算术平方根是0.01，平方根是。 ,3,3,6,32(3)因为，即算术平方根是，平方根是。 10,1010,(10)22(,4),16,4,(,2)(4)因为。 2(,4),2所以的算术平方根是2，平方根是。 2(5)因为，所以0的算术平方根是0，平方根也是0。 00,3例6. 如果的平方根是
12、，则a,() a分析:把看作是一个数，求出，再求出a。 aa2,3因为的平方根是，所以，所以a,81 a,(,3),9a例7. 使式子有意义的x的取值范围是() 2x,1分析:若有意义，则2x,1,0，解出x即可 2x,11解:因为有意义，所以2x,1,0，所以。 x,2x,1212例8. 已知，求x的值。 (2x，3),1423x，分析:把看作是一个整体，运用开平方和方程知识进行求解。 1222x，3,2解:因为，所以，所以 (2x，3),1(2x，3),44152x，3,22x，3,2x,x,所以或所以或 22yx例9. 已知y,x,2，2,x，2x，求的值。 分析:要想求出x，y的值，可
13、考虑由已知出发，因为，有意义，所以x,22,xx,2,02,x,0，且得出x的值后，代入原式即可求出y的值。 解:因为，有意义，所以，且，所以且，x,2,02,x,0x,2x,2x,22,xyx,16所以x,2，所以y,4所以。 【模拟试题】(答题时间:40分钟) 一. 选择题 1. 下列说法错误的是( ) A. 无限不循环小数是无理数 B. 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示 25cm面积为的正方形边长b是一个有理数 C. D. 任何有限小数或无限小数不都是有理数 2. 下列各数是无理数的是( ) .,A. B.3.14 C. D.0 0.37,223. 如果,10，下列说法正确的是
14、( ) xA. x可能是整数 B. x可能是分数 C. x可能是有理数 D. x不是有理数 4. 面积为3的正方形的边长是( ) A. 有理数 B. 无理数 C. 整数 D. 分数 下列说法中正确的是( ) 5. A. 0的平方根是0 B. 1的平方根是1 2C. -1的平方根是-1 D. 的平方根是-1 (1),6. 下列各式中，无意义的是( ) 2,3(,2)A. B. C. D. 3,2,27. 下列计算正确的是( ) 2(,3),3A. B. ,25,(,5),5111122，,，C. D. 3，4,5 9163418.的平方根是( ) 41111A. B., C. D. , 2216
15、29.的平方根是( ) 81,9,3A. B. 9 C. D. 3 二. 填空题 222a，b,c1. Rt?ABC中， (1)若a,3，b,4，则c,( ) (2)若a,16，c,34，则b,( ) (3)若b,12，c,13，则a,( ) 2(4)若a,5，b,3，则c,( )，c是整数吗,( )，c是分数吗,( ) .,4222202. 把下列各数，分别填入相应的集合内:，,0,3,0.23,8,33553.2626626662, 整数集合 ,分数集合 ,有理数集合 ,负数集合 ,无理数集合 ,3. 在迎新年晚会布置教室时，同学们用彩色的矩形纸剪成直角三角形小彩旗，小明量出矩形的长为40
16、厘米，宽为20厘米，要想剪成两个全等的直角三角形，则它的斜边长应为( )厘米，它是( )数。 4. 16的平方根是( ) 5. 9的平方根是( )，81的算术平方根是( )，的算术平方根的相16反数是( )。 6. 如果一个非负数的平方根是2a-1和a-5，则这个数是( ) 223x,1，1，y,07. 若，则,( ) 9x，ya,5,b,28. 若，且，则,( ) ab,0a,b三. 解答题 1. 某小区为改善居民的居住环境，准备将如图所示的四边形污水池填平，种植花草来美化环境，已知?A,?C,90?，?D,60?，BC,2米，AD,6米，借助计算器求四边形ABCD的面积。(精确到0.01平
17、方米) 2. 求下列各式中x的值 122(1) (2x,3),54122(1)(,) ，x,2x,1,3,x3. 已知有意义，化简 2x,63、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。【试题答案】 一. 选择题 1. C 2. C 3. D 4. B 5. A 6. B 7. D 8. D 9. C 3.余弦：填空题 二. 1. (1)5 (2)30 (3)5 (4)34 不是 不是 0,0,3,8,？2. 整数集合 .4222,？,，,0.23 分数集合 ,355,3、通过教科书里了解更
18、多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。.4222,0,？0,3,8,，,0.23有理数集合 ,355,.2,0,？3，,0.23，,负数集合 ,5,7.三角形的外接圆、三角形的外心。,2,，？，？3.2626626662,无理数集合 ,3,3. ，无理 205,44. ,3 9 -2 5. 周 次日 期教 学 内 容6. 9 （1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.7. 2 化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。8. ,9 3、第五单元“加与减(二)”，第六单元“
19、加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。三. 解答题 1. 延长CB、DA交于E， S,S,S,27.71,CDE,ABE四边形ABCD1372. (1)x,或x, 2231(2)x,，或x, 224、在教师的具体指导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。3. 解:由有意义，得2x,6,0，x,3所以x,1,0，3,x,0， 2x,62. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角x,1,3,x,x,1,(3,x),x,1，3,x,2所以