2013公务员数学运算之(二十)解析.doc

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1、数学运算之行程问题专题 行程问题的“三原色”路程、速度、时间。问题千变万化，归根结底就是这三 者之间的变化。行测问题细分来看有四大类：一是相遇问题；二是追及问题；三 是流水冋题；四是相关冋题。 1、相遇问题： 相遇问题是行程问题的一种典型应用题 ，也是相向运动的问题.无论是走路, 行车还是物体的移动，总是要涉及到三个量 - 路程、速度、时间。相遇问题的 核心就是速度和。 路程、速度、时间三者之间的数量关系，不仅可以表示成： 路程=速度刘寸间,还可以变形成下两个关系式：速度=路程诩寸间,时间= 路程他度. 一般的相遇问题：甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，然后两人在 A 地到 B

2、地之的 某处相遇，实质上是甲，乙两人一起了 AB 这段路程，如果两人同时出发，那有: 甲走的路程+乙走的路程=全程 全程=（甲的速度+乙的速度）对目遇时间=速度和对目遇时间例 1:甲、乙 两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么 4 小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走 1 千米，那么 5 小时相遇。A、B 两地 相距多少千米？ 【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走 1 千米）仍然走 4 小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多 少呢？就是两人 4 小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们 5 小 时相遇

3、，换句话说，再行 1 小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能 求出他们现在的速度和了。 【解】1 4X2- （5-4） 5=40 （千米） 这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和 X寸间=（相隔的）路程。 但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面 的关系式。但在实际问题中、两人可能在不同的时间出发 ，或因题目的其他条件 使一般的相遇问题变得非常复杂，要小心审题，耐心推敲.对于有三个以上人或车 同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时， 还要弄清此时 此刻另外的人或车处于什么位置，他与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题 时，最好画线

4、段图帮助思考理解并熟记下面的结论， 对分析、解答复杂的行程问 题是有好处的 例 2:上午 9 时,小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动，小宇骑自行车，每分 钟行 300 米;弟弟步行、每分钟行 70 米.小宇到达学校后，呆了 30 分钟后立即返回家 中、途中遇到正前往学校的弟弟时是 10 时 10 分.你知道从家到学校有多远吗？ 虽然小宇和弟弟同时从家中出发，似乎不符合相遇问题的条件，但在整个的行 走过程中隐含著一个相遇问题，即小宇从学校返回，而弟弟正在途中向学校走去， 直到两人相遇我们可以用图示法将二人的行走路线表示出来 ，以便於理解从图 中可以看出两人共同走的路程是从家到学校路程的 2 倍

5、.那只需求出两人共走了 多少路程，则从家到学校这段路程可求两人共走的路程,即小宇骑自行车的速度X 所走的时间加上弟弟的步行速度X所走的时间解 2 从 9 点到 10 点 10 分,共有 70 分钟, 因为小宇呆了 30 分钟所以小宇走了分钟，弟弟一直没停，则弟弟走了 70 分钟. 答:从家到学校距离 8450 米. 例 3 有甲，乙两列火车,甲车长 96 米，每秒钟行驶 26 米,乙车长 104 米，每秒钟行 驶 24 米,两车相向而行、从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开、 需要多少秒钟？ 假设乙列车停止不动，那易知甲行走的路程为两个列车的车身长 200 米.而实 际上乙列车没有停，它的速度是

6、 24 米秒，也就相当於乙列车把它的速度给了甲列 车，使自己的速度为 0.相当於甲车速度为 50 米秒,那从相遇到离开的时间=列车长 度和/速度和.例 4:田田坐在行驶的列车上，发现从迎面开来的货车用了 6 秒钟才通过他窗 口 ,后来田田乘坐的这列火车通过一座 234 米长的隧道用了 13 秒.已知货车车长 180 米,求货车的速度？ 田田坐在列车上，货车用 6 秒通过他的窗口，这是一个相遇问题，是田田与货车 相遇,因此与列车车长无关假设田田不动，则货车行驶了一个货车车长，用时 6 秒. 由速度和二全程/相遇时间，可求田田与货车的速度和，田田的速度即列车的速度 那只需利用下一个过隧道的条件求出

7、列车的速度 ，此问题可解 例 5 （用比例关系）学校田径场的环形跑道周长为 400 米，甲、乙两人同时 从跑道上的 A 点出发背向跑步，两人第一次相遇后，继续往前跑，甲在跑 26 又 2/3 秒第一次回到 A 点，乙再跑 1 分钟也第一次回到 A 点，求甲乙两人的速度。 设甲乙二人相遇的时间是 X 由题意得知，乙开始 X 秒所行的距离甲行了： 26 又 2/3 秒那么甲乙的速度比 是： X: 80/3=3X : 80 甲开始 X 秒所行的距离乙行了 60 秒， 即甲乙的速度比也是： 60 : X 所以有：3X : 80=60 : XX=40 秒那么甲乙的速度比是：60 : 40=3 : 2 又

8、甲 乙的速度和是：400/40=10 米/秒所以甲的速度是：10*3/3+2=6 米/秒,乙的速度 是：10*2/5=4 米 /秒。 例 4:田田坐在行驶的列车上，发现从迎面开来的货车用了 6 秒钟才通过他窗 2:追及问题：两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去 追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快的与 慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程， 我们也 把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差 用寸间=追及（或领先的）路 程。追及冋题的核心就是速度差。 例 1:甲、乙两人联系跑步，若让乙先跑 12 米，则甲经 6 秒追上

9、乙，若乙比 甲先跑 2 秒，贝 U 甲要 5 秒追上乙，如果乙先跑 9 秒，甲再追乙，那么 10 秒后，两人 相距多少米？ A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】C。解析：甲乙的速度差为 12W=2 米/秒，则乙的速度为 20 吃=5 米/秒，如果乙先跑 9 秒，甲再追乙，那么 10 秒后，两人相距 5 9 2 X10=25 米。 例 2 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们 发现并调过船头时，水壶与船已经相距 2 千米，假定小船的速度是每小时 4 千米, 水流速度是每小时 2 千米，那么他们追上水壶需要多少时间？ 分析 此题是水中追及问题，已知路程差是 2

10、千米，船在 顺水中的速度是 船速+水速水壶飘流的速度只等于水速。 解：路程差锚占速=追及时间 2 詔=0 . 5 （小时）. 答：他们二人追回水壶需用 0. 5 小时。 3、流水问题。 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在 这种情况下计算船只的航行速度、 时间和所行的路程，叫做流水行船问题。流水 行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程） 的关系在这里将要反复用到此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速，（1） 逆水速度=船速-水速.（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程 . 水速

11、，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时 和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（I）可以得到: 水速二顺水速度-船速, 船速二顺水速度-水速。 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速。 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中 的任意两个，就可以求出第三个量。 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和 相减就可以得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）吃， 水速=（顺水速度-逆水速度）吃。 例 1 甲、乙两港间的水路长 208 千米，一只船从甲港开往乙

12、港，顺水 8 小时 到达，从乙港返回甲港，逆水 13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。 分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出 顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系， 用 路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。 解： 顺水速度：208 =26 （千米/小时） 逆水速度：208 3=16 （千米/小时） 船速：（26+16）吃=21 （千米/小时） 水速：（2616）吃=5 （千米/小时） 答：船在静水中的速度为每小时 21 千米，水流速度每小时 5 千米。 例 2 某船在静水中的速度是每小时 15 千米，它从上游甲地开往下游乙地共

13、 花去了 8 小时，水速每小时 3 千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间 的路程和逆水速度。 解: 从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18 （千米/小时），甲乙两地路程：18 8=144 （千米），从乙地到甲地的逆水速度：153=12 （千米/小时），返回时逆行用的 时间：144 勻 2 = 12 （小时）。 答：从乙地返回甲地需要 12 小时。 例 3 甲、乙两港相距 360 千米，一轮船往返两港需 35 小时，逆流航行比顺流 航行多花了 5 小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时 12 千米，这机帆船往返 两港要多少小时

14、？ 分析 要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速由题意可以知道，轮船逆 流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是 35 小时与 5 小时，用和差问题解法可 以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度. 在此基础上再用和差冋题解法求出水速。 解： 轮船逆流航行的时（35+5 ）吃=20 （小时），顺流航行的时间： （355） 吃=15 （小时），轮船逆流速度：360 吃 0=18 （千米/小时），顺流速度：360 T5=24 （千米/小时），水速：（24 18）吃=3 （千米/小时），帆船的顺流速度：12 + 3 二 15 （千米/小时），帆船的逆水速度：123=9 （

15、千米/小时）,帆船往返两港所 用时间： 360 勻 5 + 360 七=24+40=64 （小时）。 例 4 某船第一次顺流航行 21 千米又逆流航行 4 千米，第二天在同一河道中 顺流 航行 12 千米，逆流航行 7 千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度 及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是： A. 2.5 : 1 B. 3: 1 C . 3.5 : 1 D. 4: 1 （2005 年 中央真题）解析 1:典型流水问题。如果设逆水速度为 V，设顺水速度是逆水速 度的 K倍，则可列如下方程： 21/KV+4 =12/KV+7 将 V 约掉，解得 K=3 解析 2,推荐。注意一

16、个关系量，两次时间相等，也就是说，第二天虽然顺 流少行了 9km 而节约的时间与逆流多行的 3km 所花的时间抵消了。两者时间相 等。时间一定，速度比等于路程比，故顺逆比为 21-12/7-4=3:14、相关问题例 3 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶， 两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的 扶梯上，男孩每秒钟向上走 2 个梯级，女孩每 2 秒向上走 3 个梯级。结果男孩用 40 秒钟到达，女孩用 50 秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有： A. 80 级 B. 100 级 C. 120 级 D. 140 级 （2005 年 中央真题）解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶

17、梯静止时可看 到的 扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时 的速度为 X，则可列方程如下，（X+2） M0= （X+3/2 ） 50 解得 X=0.5 也即扶 梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5 ） 40=100 所以，答案为 B。 五、特殊的思维方法。 整体的思维方法 例 1C、D 两地间的公路长 96 千米，小张骑自行车自 C 往 D，小王骑摩托车自 D往 C,他们同时出发，经过 80 分两人相遇，小王到 C 地后马上折回，在第一次 相遇后40 分追上小张，小王到 D 地后马上折回，问再过多少时间小张与小王再相 遇？ 分析与解：依题意小张、小王三次相遇情

18、况可画示意图（2）。这道题如果从 常规思路入手，运用相遇问题的基本数量关系来求解是非常不易的。 但可根据题 中小张、小兰三次相遇各自的车速不变和在相距 96 千米两地其同时相向而行相 遇时间不变，进行整体思维。从图（2）可以看到：第三次相遇时，小王小张和 走了 3 个全程，所花的时间是 80 X3=240 （分）。可见，从第二次相遇到第三次相 遇所经过的时间的综合算式是：80 X3-80-40=120 （分）。 六、精选例题及解答 例 1小张从甲地到乙地，每小时步行 5 千米，小王从乙地到甲地每小时步行 4 千米。两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点 1 千米的地方相遇，甲、乙 两地间的距离

19、是多少？ 分析：用公式路程差 越度差=时间。 解：1 X2- （5-4） =2 小时。 甲乙两地间的距离为：（5+4） X2=18 （千米）例 2.小张从甲地到乙地步行 需要 36 分，小王骑自行车从乙地到甲地需要 12 分。他们同时出发，几分后两人 相遇？ 解：小张速度：小王速度=13 两人相遇所需时间 36 *（ 1+3） =9 （分） 例 3. 一列火车长 152 米，它的速度是每小时 63.36 千米。一个人与火车相向 而行，全列火车从他身边开过要 8 秒，这个人的步行速度是每秒多少米? 分析：相向而行的计算公式 ：路程=速度和 x 相遇时间。注意单位换算成 同一单位。 解：63.36

20、 千米/小时=17.6 米/秒 这个人的步行速度是：152 吒-17.6=1.4 米/秒 例 4.兄妹二人在周长 30 米的圆形水池边玩。从同一地点同时背向绕水池而 行，兄每秒走 1.3 米，妹每秒走 1.2 米。他们第 10 次相遇时，妹妹还需走多少米才 能回到出发点？ 解：他们第 10 次相遇时所用时间 30- ( 1.2+1.3 ) X10=120 秒由 1.2 X120 十 30=4 . 24 此时妹妹已跑了 4 圈零 24 米。妹妹还需走 6 米才能回到出 发点。 例 5.甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑 10 米，则甲跑 5 秒可追上乙。若 乙比甲先跑 2 秒，贝 U 甲跑 4 秒

21、能追上乙。那么甲、乙两人的速度是多少？ 解：甲乙两人速度差 10 弋=2 (米/秒) 乙的速度 2 M 吃=4 （米/秒） 甲的速度 4+2=6 （米/秒） 例 6. 一只狗追赶一只野兔，狗跳 5 次的时间兔子能跳 6 次，狗跳 4 次的距离与 兔子跳 7 次的距离相等。兔子跳出 550 米后狗才开始追赶，那么狗跳多少米才能 追上兔子呢？ 解：狗跳 5 次的时间兔子能跳 6 次，则狗跳 20 次的时间兔子能跳 24 次；又因 为狗跳 4 次的距离与兔子跳 7 次的距离相等，所以兔子跳 24 次的距离与狗跳 5 X7 次的距离相等，狗与野兔的速度比为 5 X7: 4X3=35 : 24。狗比兔子

22、多 35-24=11。 由速度比等于路程比 （时间一定） 得 550 X=1750 （米） 例 7.如图， 甲在南北路 上，由北向南行进，乙在东西路上，由东向西行进。甲出发点在两条路交叉点北 1120 米，乙出发点在交叉点上。两人同时出发，4 分钟后，甲、乙两人所在的位 置距交叉点的路程相等（这时甲仍在交叉点北）。再经过 52 分钟后，两人所在的 位置又距交叉点路程相等（这时甲在交叉点南）。求甲、乙两人的速度。 分析：要认真挖掘题中的隐含条件：（1） 4 分钟后两人所在位置距交叉点相 等，说明甲离交叉点的距离等于乙走过的路程，即两人共走了 1120 米。由于 甲在交叉口北 1120 米处出发，

23、乙在交叉口处出发，经过（4+52 ）分钟后两人距 交叉口等距，说明乙比甲多走了 1120 米 解:甲、乙两人每分钟走的距离和 1120 詔=280 （米）甲、乙两人每分钟走的 距离差 1120 - （4+52） =20 （米）甲每分钟走的距离（280 20）吃=130 （米） 乙每分钟走的距离（280 +20）吃=150 （米）例&甲、乙两车分别从 A、B 两 地同时出发，相向而行。甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 36 干米。相遇以 后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。 已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距 40 千米。A、B 两地相距多远？

24、分析：我们先画出示意图 1 （图 1 中 P、M、N 分别为第一次、第二次、第三 次相遇地点）设：AB 两地的距离为“1 ”.由甲、乙两车的速度可以推知：在相同时 内，乙车所行的路程是甲行路程的=，从而甲、乙两车所行的路程分别占他们共同 行完路 程的 和解：第二次相遇两车共行了全程的 3 倍，甲行了全程的 3 冷 1， 乙行了全程的 3 X=1，此时 AM=全程的=。 第二次相遇两车共行了全程的 5 倍, 乙行了全程的 5 X=2， NB=全程的，此时 AN=全程的,MN=全程的（）=40 千米, 所以 A、B 两地相距 40 =90 千米注意：为了保证计算正确，应当在示意图中 标上三次相遇时

25、甲、乙两车行的方向。 例 9、甲、乙两名同学在周长为 300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习 跑步，甲每秒钟跑 3.5 米，乙每秒钟跑 4 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多 少米才能回到出发点？ 分析：要知道甲还需跑多少米才能回到出发点， 实质上只要知道甲最后一次 离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑 了多远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的 10 倍 （300 X1O=3OOO 米）。因为甲的速度为每秒钟跑 3.5 米，乙的速度为每秒钟跑 4米, 乙、甲的速度比为 8: 7，由于在相同的时间内，走过的路程比也是 8: 7。所以 这

26、段时间内甲共行 1400 米。由此得解。 解：他们第十次相遇时，共跑了 300 X10=3000 米。此时甲跑了 3000 =1400 米由 1400 七 00=4 （圈）200 （米）300-200=100 （米）。因此甲还需跑 100 米才能回到出发点例 10、有甲、乙、丙三人，甲每小时行 3 千米，乙每小时行 4 千米，丙每小时行 5 千米。甲从 A 地，乙、丙从 B 地同时相向出发。丙遇到甲后立 即返回，再遇到乙，这时恰好从出发时间开始算经过了 10 小时。求 A、B 两地之 间的距离。 分析： 画出示意图 2: 由相同时间内甲、乙、丙所走路程之比等于他们速度之比，则图 2 中，AC

27、: CB : DB=3:5:4 贝 U CD:DB=1:4 所以 CD= DB 由丙、乙速度比为 5:4。得 CP : PD : =5: 4PD=CD=DB。PB=10PD。PB 即为乙 10 小时走的距离 PB=4 X0=40 千米 PD=4 千米 DB=40 4=36 千米，得甲、丙相遇时间为 36 詔=9 小时，所以 AB= (4+5+3 ) X9 =72 千米。 解法 （二） 丙 10 小时比乙多走的路程： 2CP=5 X10-4 X10=10 （千米） ， 则 CP=5 （千米）丙走路程 CP 所用时间：5 弋=1 （小时）所以甲、丙二人的相遇时 间：10-仁 9 （小时）。 A、B

28、 两地间的距离：（3+5） X9=72 （千米）。 答：A、B 两地间的距离为 72 千米。 例 11.张老师从北京乘坐飞机回沈阳，原计划八点到机场，结果提前于七点 到达。 他的儿子接他的车尚未到达。张老师就边散步边往家走，走了一段路后， 车到了，此时张老师乘车回家，结果提前 10 分钟到家，请问张老师散步走了多 少时间？ 解：因为汽车提前 10 分钟到家，这节省的时间正好是车接到张老师的地点 到机场距离，车所行时间的 2 倍，所以这个距离车应走 5 分钟。所以车接到张老师 时是七点五十五分，因此张老师走了 55 分钟。 例 12 .甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 50

29、米，丙每分钟 走40 米.甲从 A 地，乙和丙从 B 地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了 15 分钟 又与丙相遇，求 A、B 两地间的距离 画图如下: 分析 结合上图，如果我们设甲、乙在点 C 相遇时，丙在 D 点，因为过 15 分钟 后甲、丙在点 E 相遇，所以 C、D 之间的距离就等于（40 + 60） X15=1500 （米）。 又因为乙和丙是同时从点 B 出发的，在相同的时间内，乙走到 C 点，丙才走 到D 点，即在相同的时间内乙比丙多走了 1500 米，而乙与丙的速度差为每分钟 50-40 = 10 （米），这样就可求出乙从 B 到 C 的时间为 1500 T0 = 150 （分

30、钟），也 就是甲、乙二人分别从 A、B 出发到 C 点相遇的时间是 150 分钟，因此，可求出 A、 B 的距离。 解：甲和丙 15 分钟的相遇路程： （40 + 60） X15=1500 （米）。 乙和丙的速度差：每分钟 50-40=10 （米）。 甲和乙的相遇时间： 1500 10=150 （分钟）。 A、B 两地间的距离: （50 + 60） X150 = 16500 （米）=16.5 千米。 答：A、B两地间的距离是 16.5 千米. 附：公务员行测必备数学公式总结（全） 1.1 基础数列类型 常数数列如 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 等差数列如 11, 14, 17

31、, 20, 23, 26, 等比数列如 16, 24, 36, 54, 81, 周期数列如 2, 5, 3, 2, 5, 3, 2, 5, 3, 对称数列如 2, 5, 3, 0, 3, 5, 2, 质数数列如 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 合数数列如 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 注意：1 既不是质数也不是合数 1.2 200 以内质数表 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 1

32、09, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 1.3 整除判定 能被 2 整除的数，其末尾数字是 2 的倍数（即偶数） 能被 3 整除的数，各位数字之和是 3 的倍数 能被 5 整除的数，其末尾数字是 5 的倍数（即 5、0） 能被 4 整除的数，其末两位数字是 4 的倍数 能被 8 整除的数，期末三位数字是 8 的倍数 能被 9 整除的数，各位数字之和是 9 的倍数 能被 25 整除的数，其末两位数字是 25 的倍数 能被 125 整除的数，其末三位数字 125

33、的倍数 要点提示：提取公因式进行简化计算是一个最基本的四则运算方法， 但一定要注 意提取公因式时的公因式选择的问题。 【例 1 】计算 999999 777778+333333 W66666 方法一：原式=333333 X3 X777778+333333 666666 =333333 X 3 X777778+666666 ) 1.4 经典分解 91=7X 13 133=7 X 19 147=7X21 171=9X19 11 仁 3X 37 X 119=7X17 143=11X 13 161=7X 23 X =333333 X(2333334+666666 )=784 =333333 X3000

34、000 =999999000000 方法二：原式=999999 X777778+333333 X3 222222 =999999 X777778+999999 222222 =999999 X (777778+222222 ) =999999 X1000000 =999999000000 评：方法一和方法二在公因式的选择上有所不同，导致计算的简便程度不相同 【例 2】1235 X6788 与 1234 X3789 的差值是： A. 5444 B . 5454 C . 5544 D . 5554 (2001 年中央真题) 解析：原式=1235 X3788 1234 X6788 1234 =678

35、8 X (1235 1234) 1234 =67881234 =5554 【例 3】2745 X1962 2746 X1961 的值是： A. 674 B . 694 C . 754 D . 784 (2004 年浙江真题) 解析：原式二 2745 1761 =784 所以，答案为 D 重复数字的因式分解 核心提示：重复数字的因式分解在公考中是一个重要考点， 这个考点是建立在数 字构造具有一定规律和特点的基础上的。 例如：2424=24 X101 , 101101=101 X1001 , 2230223=22302230/10=2230 X 10001/10=223 X10001 0这些在数字

36、构造上具有一定特点的数字都可以变换成因 式相乘的形式。 【经典例题】 1 . 2002 X20032003-2003 X20022002=? 原式=2002 X2003 X10001-2003 X2002 X10001=0 2.9039030 詔 3043=? 原式=903 X1001 X10 -(43 X1001 ) =210 3.37373737 -8181818 仁？ 原式=(37 X1010101 )-(81 X1010101 ) =37/81 1.5 常用平方数 数字 平方 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 11 121

37、 12 144 13 169 14 196 15 225 16 256 17 289 18 324 19 361 20 400 21 441 22 484 23 529 24 576 25 625 26 676 27 729 28 784 29 841 30 900 1.6 常用立方数 数字 立方 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 8 512 9 729 10 1000 1.7 典型幕次数 数 指数 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 4 9 16 25 36 3 8 27 64 125 216 4 16 81 256 625 1296 5 3

38、2 243 1024 6 64 729 7 128 8 256 9 512 10 1024 1.8 常用阶乘数 数字 阶乘 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40320 9 362880 10 36288000 2.1 浓度问题 1混合后溶液的浓度，应介于混合前的两种溶液浓度之间。 2浓度=溶质宁溶液 2.2 代入排除法 1 奇数+奇数二偶数 奇数-奇数二偶数 偶数+偶数=偶数 偶数-偶数二偶数 奇数+偶数=奇数 奇数-偶数二奇数 2. 任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那 么差也是偶数。 任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反

39、；和或差事偶数，则 两数奇偶相同。 3. 余数特性 一个数被 2 除得的余数，就是其末一位数字被 2 除得的余数 一个数被 5 除得的余数，就是其末一位数字被 5 除得的余数 一个数被 4 除得的余数，就是其末两位数字被 4 除得的余数 一个数被 8 除得的余数，就是其末三位数字被 8 除得的余数 一个数被 25 除得的余数，就是其末两位数字被 25 除得的余数 一个数被 125 除得的余数，就是其末三位数字被 125 除得的余数 一个数被 3 除得的余数，就是其各位数字相加后被 3 除得的余数 一个数被 9 除得的余数，就是其个位数字相加后被 9 除得的余数 9循环数 198198198=1

40、98X 1001001 2134213421342134=2134X 1000100010001 规律：有多少个循环数，就有多少个 1, 1 之间 0 的个数是循环数位 数减 1 例如 2134213421342134 中有“ 2134”四个，所以应该有 4 个 1,同 时2134 为四位数，所以两个 1 之间应该有三个 0,所以为 1000100010001 10. 乘方尾数口诀 底数留个位，指数除以 4 留余数（余数为 0,则看做 4） 例如 19991998 的末尾数字为：底数留个位，所以底数为 9;指数除 以 4留余数，1998 除以 4 的余数为 2,所以最后为 92=81，因此末尾

41、 数字为 1 11. 韦达定理 2 ax bx c = 0 其中 x1 和 x2 是这个方程的两个根，则: b x1+x2二 a c x1 xx2= a 逆推理： 女口果 a+b=m ax b=n 则 a、b 是x -mx n =o的两个根。 5.4 行程问题 1路程=速度x时间 2. 相向运动：速度取和；同向运动：速度取差 3 促进运动：速度取和；阻碍运动，速度取差 5.5 工程问题 工作总量二工作效率x工作时间 5.6 几何问题 1. 常用周长公式： 正方形周长C正方形=4a 长方形周长C长方形=2(a+b) 圆形周长C圆形 2. 常用面积公式 2 正方形面积S正方形 长方形面积S长方形

42、2 圆形面积&形YR S三角形=ah 三角形面积三 2 平行四边形面积S平行四边形=ah 1 S弟形=(a+b) h 梯形面积 2 3常用表面积公式 2 正方体表面积二也 长方体表面积=2ab - 2ac 2bc 2 球表面积 圆柱体表面积=2二Rh 2二R 4常用体积公式 3 正方体体积V正方体二a 长方体体积V长方体=abc 7球=-HR-nD3 球的体积 3 6 2 圆柱体体积V圆柱体= R h 5几何图形放缩性质 若将一个图形扩大至原来的 N 倍，贝心对应角度仍为原来的 1 倍; 对应长度变为原来的 N 倍；面积变为原来的 N2 倍；体积变为原来的 扇形面积 S扇形 360 圆锥体体积

43、 V圆锥体 N3 倍 6. 几何最值理论 1 平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。 2. 平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。 3. 立体图形中，若表面积一定，越接近于球体，体积越大。 4. 立体图形中，若体积一定，越接近于球体，表面积越小。 7. 三角形三边关系 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 题目中例 8 非常重要。 5.7 容斥原理 1. 两集合标准型核心公式 满足条件I的个数+满足条件H的个数-两者都满足的个数二总个数- 两者都不满足的个数 2. 三集合标准核心公式 |AlBUC|=|A|B|C|-|AnB| AC | - | BP1C| AU BU

44、 C | 3. 三集合整体重复型核心公式 假设满足三个条件的元素数量分别为 A、B、C,而至少满足三个条 件之一的总量为 W。其中：满足一个条件的元素数量为 x，满足两个 条件的数量为 y,满足三个条件的数量为 z,从而有下面两个等式： W=x+y+z A+B+C二x X 1+y X 2+zX 3 5.8 排列组合问题 1. 排列公式: An n (n -1) (n -2)川(n-m 1) (n -m)! 2组合公式： n! n x (n 1)x(n 2)川x(n m + 1) (nm)! m! m (m1) (m2) 1 3. “捆绑插空法”核心提示 相邻问题捆绑法：先将相邻元素全排列，然后

45、视其为一个整体与 剩余元素全排列； 不邻问题一一插空法：现将剩余元素全排列，然后将不邻元素有序插 入所成间隙中。 4. 对抗赛比赛场次基本公式 淘汰赛一一仅需决出冠亚军 =N-1 需决出 1、2、3、4 循环赛一一单循环（任意两个队打一场比赛） 双循环赛（任意两个队打两场比赛） 5.9 概率问题 1. 单独概率二满足条件的情况数+总的情况数 2. 某条件成立概率=1-该条件不成立的概率 3. 总体概率二满足条件的各种情况概率之和 比赛场次 比赛场次=N 2 比赛场次二Cn 比赛场次二Pn 4. 分布概率二满足条件的每个步骤概率之积 5. 条件概率：“A 成立”时“ B 成立的概率”二A、B 同

46、时成立的概率 宁 A 成立的概率 5.10 边端问题 1. 段数公式：段数二总长宁株距 2. 线性植树：单边植树：棵树 二段数+ 1 双边植树：棵树二（段数+1）X 2 3 楼间植树：单边植树 棵树=段数-1 双边植树 棵树二（段数-1）x 2 4. 环形植树：单边植树 棵树=段数 双边植树 棵树=段数X 2 5 方阵问题核心法则： 人数公式：N 层实心方阵的人数二N2 外周公式：N 层方阵最外层人数二（N-1） *4 对于三角阵、五边阵的情况可以此类推 6过河问题核心法则： M 个人过河，船上能载 N 个人，由于需要一个人划船，共需往返 M -1 NT 次（需要X 2） “过一次河”指的是单

47、程，“往返一次”指的是双程 载人过河的时候，最后一次不再需要返回。 5.12 初等数学问题 1同余问题 余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期 例如：一个数除以 4 余 1,除以 5 余 1,除以 6 余 1,则取 1,表示 为 60n+1 一个数除以 4 余 3,除以 5 与 2,除以 6 余 1,则取 7,表示 为 60n+7 一个数除以 4 余 1,除以 5 余 2,除以 6 余 3,则取 3,表示 为 60n-3 2. 等差数列核心公式 求和公式： 知（首项+末项）项数 和 2 :平均数 项数二中位数 项数 项数公式： 末项-首项 项数公差1 级差公式： 第 N 项-第 M 项（N

48、 -M） 公差 通项公式： aa-i - (n -1)公差 5.13 年龄问题 1.基本知识点 每过 N 年，每个人都长 N 岁 两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的 两个人的年龄之间的倍数随着时间的推移而变小。 2平均分段法 例如：甲对乙说：当我岁数是你现在岁数时，你才 4 岁。乙对甲说: 当我的岁数是你现在岁数的时候，你是 67 岁，则现在甲乙各多少岁？ 画出如下图： 67 67-4=63,即相差了 63 67-甲-乙-4,共有三段，所以每段为 63 3=21 所以乙=4+2 仁 25 岁 所以甲=25+2 仁 46 岁 5.14 统筹问题 1“非闭合”货物集中问题 判断每条“路”的两侧

49、的货物总重量， 在在这条路上一定是从轻的一 侧流向重的一侧。 特别提示：本法则必须适用于“非闭合”的路径问题中 本法则的应用，与各条路径的长短没有关系 我们应该从中间开始分析，这样可以更快。 2 货物装卸为题 如果有 M 辆车和（NM）个工厂，所需装卸工的总数就是需要装卸 工人数最多的 M 各工厂所需的装卸工之和。（若 M=N，则需要把各 个点上的人加起来即答案） m 排列数公式：Pn = n （n 1） （n 2）（n m+ 1）, （mn） m m m 0 组合数公式：Cn = Pn + Pm =（规定Cn = 1）o “装错信封”问题： D1 = 0, D2 = 1, D3 = 2, D

50、4 = 9, D5 = 44, D6 =265, 年龄问题：关键是年龄差不变； 几年后年龄=大小年龄差 咅数差-小年龄 几年前年龄=小年龄-大小年龄差 弓咅数差 日期问题：闰年是 366 天，平年是 365 天，其中：1、3、5、7、8、 10、12 月都是 31 天，4、6、9、11 是 30 天，闰年时候 2 月份 29 天, 平年 2月份是 28 天。 植树问题 （1） 线形植树：棵数=总长，间隔+ 1 （2） 环形植树：棵数=总长间隔 （3） 楼间植树：棵数=总长“间隔一 1 （4） 剪绳问题：对折 N 次，从中剪 M 刀，则被剪成了（2N X M + 1）段 鸡兔同笼问题： 鸡数=（