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1、1 几何证明初步练习题 1、三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180. 推理过程: 1 作CM AB ,则A= ,B= ,ACB +1+2=1800( ,A+B+ACB=1800. 2 作MN BC ,则2= ,3= ,1+2+3=1800,BAC+B+C=1800 . 2.求证:在一个三角形中,至少有一个内角大于或者等于60。 3、.如图,在ABC 中,C B,求证:AB AC 。 4. 已知,如图,AE/DC ,A=C ,求证:1=B. 5. 已知:如图,EF AD ,1 =2. 求证:AGD +BAC = 180. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图,
2、在平面内,AB 是L 的斜线,CD 是L 的垂线。 求证:AB 与CD 必定相交。 8.2是无理数。 一.角平分线-轴对称 9、已知在ABC 中,E为BC的中点,AD 平分BAC ,BD AD 于D .AB =9,AC=13求DE的长 第9题图 第10题图 第 11题图 分析:延长BD交AC于F.可得ABD AFD .则BD =DF .又BE =EC ,即D E为BCF 的中位线. DE=12FC=12 (AC-AB)=2. 10、已知在ABC 中,108A = ,AB =AC ,BD 平分ABC .求证:BC =AB +CD . 分析:在BC上截取BE=BA,连接DE.可得BAD BED .
3、由已知可得: 18ABD DBE = ,108A BED = ,36C ABC = .72DEC EDC = ,CD =CE ,BC =AB +CD . 11、如图,ABC 中,E是BC 边上的中点,DE BC 于E ,交BAC 的平分线AD 于D ,过D 作DM AB 于M,作DN A C 于N .求证:BM =CN . 分析:连接DB 与DC .DE 垂直平分BC ,DB =DC .易证AMD AND . 有DM =DN .BMD CND (HL).BM =CN . C B A D E F D A B C B A E N M B D A C 二、旋转 12、如图,已知在正方形ABCD 中,
4、E在BC 上,F在DC 上,BE +DF =EF . 求证:45EAF = . 分析:将ADF 绕A顺时针旋转90 得ABG .GAB FAD =.易证AGE AFE . 1 452FAE GAE FAG = = 13、如图,点E 在ABC 外部,D 在边BC 上,DE 交AC 于F .若123=, AC=AE.求证:ABC ADE . 分析:若ABC ADE ,则ADE 可视为ABC 绕A逆时针旋转1所得.则有B ADE =. 12B ADE +=+,且12=.B ADE =.又13=. BAC DAE =.再AC=AE.ABC ADE . 14、如图,点E为正方形ABCD的边CD上一点,点
5、F为CB的延长线上的一点,且EAAF.求证:DE=BF. 分析:将ABF 视为ADE 绕A 旋转90 顺时针即 可. 90FAB BAE EAD BAE +=+= . F B A =. 又90FBA EDA = ,AB=AD.ABF ADE .(ASA)DE=DF. 平移 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 三、平移 15、如图,在梯形ABCD 中,BD AC ,AC =8,BD =15.求梯形ABCD 的中位线长. 分析:延长DC到E使得CE=AB.连接BE.可得ACEB .可视为将AC平移到BE.AB 平移到CE.由勾股定理可得DE=17.梯形ABCD中位线长为8.5. 16、
6、已知在ABC 中,AB =AC ,D 为AB 上一点,E为AC 延长线一点,且BD =CE .求证:DM =EM 分析:作DFAC交BC于F.易证DF=BD=CE.则DF可视为CE平移所得. 四边形DCEF为DCEF .DM=EM.线段中点的常见技巧 -倍长 四、倍长 17、已知,AD为ABC 的中线.求证:AB+AC 2AD. 分析:延长AD到E使得AE=2AD.连接BE易证BDE CDA . BE=AC.AB+AC 2AD. E 18、如图,AD 为ABC 的角平分线且BD =CD .求证:AB =AC . 分析:延长AD到E使得AD=ED.易证ABD ECD .EC=AB. BAD CA
7、D =.E CAD =.AC=EC=AB. 19、已知在等边三角形ABC中,D和E分别为BC与AC上的点,且AE=CD.连接AD与B E交于点P,作BQAD于Q.求证:BP=2PQ. 分析:延长P D 到F 使得F Q =P Q .在等边三角形A B C 中A B =B C =A C ,60ABD C = .又AE=CD,BD=CE.ABD BCE . CBE BAD =.60BPQ PBA PAB PBA DBP =+=+= . 易证BPQ BFQ .得BP=BF,又60BPD = .BPF 为等边三角形. BP=2PQ. 中位线 五、中位线、中线: 20、已知在梯形ABCD 中,AD BC
8、 ,E和F分别为BD 与AC 的中点, 求证:1 ()2EF BC AD = -. 分析:取DC中点G,连接EG与FG.则EG为BCD 中位线,FG为ACD 的中位线. EG=12BC ,FG =1 2 AD .AD BC .过一点G有且只有一条直线平行于 已知直线BC,即E、F、G共线.1 () 2EF BC AD =-. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 21、已知,在ABCD 中BD AB 2 1 =.E为OA的中点,F为OD中点,G为BC中点. 求证: EF=EG. 分析:连接B E .BD AB 2 1 =,AE=O E.BECE,BG=CG. BD EG 21=.又EF为AOD
9、 的中位线.AD EF 2 1 =.EF=EG. 22、在ABC 中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DGCE于G. 求证:(1)CG=EG.(2)2B BCE =. 分析:(1)连接DE.则有DE=BE=DC.Rt CDG Rt EDG (HL). EG=CG. DE=BE.B BDE DEC BCE =+. DE=CD.DEC BCE =.2B BCE =. 几何证明初步测验题(1) 一、选择题(每空3 分,共36 分) 1、使两个直角三角形全等的条件是( ) A 、一组锐角对应相等 B 、两组锐角分别对应相等 C 、一组直角边对应相等 D 、两组直角边分别对应相等 2、如图,已知AB
10、CD ,A =50,C =E .则C =( ) A .20 B .25 C .30 D .40 第2题图 第4题图 第6题图 第7题图 3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”,应先假设这个三角形中( ) A .有两个角是直角 B .有两个角是钝角 C .有两个角是锐角 D .一个角是钝角,一个角是直角 4、如图,直线AB 、CD 相交于点O ,BOE=90,OF 平分AOE ,1=1530,则下列结论不正确的是( ) A .2=45 B .1=3 C .AOD+1=180 D .EOD=7530 5、下列说法中,正确的个数为( ) 三角形的三条高都在三角形内,且都相交于一点 三
11、角形的中线都是过三角形的某一个顶点,且平分对边的直线 在ABC 中,若A=12B=1 3 C ,则ABC 是直角三角形 一个三角形的两边长分别是8和10,那么它的最短边的取值范围是2b18 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6、如图,在AB=AC 的ABC 中,D 是BC 边上任意一点,DF AC 于F ,E 在AB 边上,使ED BC 于D ,AED=155,则EDF 等于( ) A 、50 B 、65 C 、70 D 、75 7、如图,已知ABC 是等腰直角三角形,A=90,BD 是ABC 的平分线,D E BC 于E ,若BC=10cm ,则DEC 的周长为( ) A .8
12、cm B .10cm C .12cm D .14cm 8、如图,已知ABC 中,ABC=45,AC=4,H 是高AD 和B E 的交点,则线段BH 的长度为( ) A. B. C.5 D.4 9、如图,正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ,M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上.小明认为:若MN = EF ,则MN EF ;小亮认为: 若MN EF ,则MN = EF .你认为( ) A .仅小明对 B .仅小亮对 C .两人都对 D .两人都对 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 10、如图,ABC 为等边三角形,AQ=PQ ,PR=PS ,PR
13、AB 于R ,PS AC 于S ,?则四个结论正确的是( ). 点P 在A 的平分线上; AS=AR; QP AR; BRP QSP. A .全部正确; B .仅和正确; C .仅正确; D .仅和正确 11、如图,ABC 中,CD AB 于D ,一定能确定ABC 为直角三角形的条件的个数是 ( ) 1= +2=90 =3:4:5 A .1 B .2 C .3 D .4 12、如图,过边长为1的等边ABC 的边AB 上一点P ,作PE AC 于E ,Q 为BC 延长线上一点,当PA =CQ 时,连PQ 交AC 边于D ,则DE 的长为( ) A .13 B .12 C .2 3 D .不能确定
14、 二、填空题(每空3 分,共15 分) 13、命题“对顶角相等”中的题设是_ ,结论是_ 。 14、请写出 “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题: 15、如图,已知1=2,请你添加一个条件:_,使ABD ACD 。 16、 对于同一平面内的三条直线、,给出下列五个论断:;.以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题:_. 17、如图,C 为线段AE 上一动点(不与点A ,E 重合),在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ,AD 与BE 交于点O ,AD 与BC 交于点P ,BE 与CD 交于点Q ,连结PQ .以下五个结论: AD=BE ; PQ AE ; A
15、P=BQ ; DE=DP ; AOB=60. 恒成立的结论有_(把你认为正确的序号都填上). 三、计算、简答题 18、 已知:如图,AD 是ABC 的角平分线,DE AB ,DF AC ,E 、F 分别为垂足. 求证:AD 垂直平分EF . 19、如图7,已知A 、B 、C 在一条直线上,分别以AB 、BC 为边在AC 同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ,AE 交BD 于点F ,DC 交BE 于点G 。 求证:AE=DC,BF=BG; 第19题图第20题图第21题图第22题图 20如果ABC三点不在一条直线上,那么AE=DC和BF=BG是否仍然成立明。 21、已知:如图,P是正方形A
16、BCD内一点,在正方形ABCD外有一点E,满足ABE=CBP,BE=BP. (1)求证:CPBAEB; (2)求证:PBBE; (3)图中是否存在旋转能够重合的三角形?若存在,请说出旋转过程;若不存在,请说明理由. 22、如图,已知:ADBC,EFBC,1=2.求证:3 =B. 23、如下图,ABC中,ACB=90,D为AB上一点,过D点作AB的垂线,交 AC于E,交BC的延长线于F。 (1)1与B有什么关系?说明理由。 (2)若BC=BD,请你探索AB与FB的数量关系,并且说明理由。 24、阅读理解题 我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型,来逐步认识这个事物;比如我们通过学习两类特殊的
17、四边形,即平行四边形和梯形(继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等)来逐步认识四边形;我们对课本里特殊四边形的学习,一般先学习图形的定义,再探索发现其性质和判定方法,然后通过解决简单的问题巩固所学知识。请解决以下问题:如图,我们把满足、 且的四边形叫做“筝形”; (1)写出筝形的两个性质(定义除外); (2)写出筝形的两个判定方法(定义除外),并选出一个进行证明; 几何证明初步测验题(2) 一、选择题每空3分,共36 分) 1、等腰三角形的周长是18cm,其中一边长为4cm,其它两边长分别为() A.4cm,10cm B.7cm,7cm C.4cm,10cm或7cm,7cm D.无法确定 2
18、、若A、B、C三点在同一条直线上,且AB=5,BC=3,那么AC=() A、8 B、2 C、2或 8 D、4 3、如图,一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上,若AOD=150,则 BOC等于() A.30 B.45 C.50 D.60 4、一架飞机向北飞行,两次改变方向后,前进的方向与原来的航行方向平行, 已知第一次向左拐50,那么第二次向右拐() A.40; B.50; C.130; D.150. 5、如图,ABEF,C=90,则、的关系为() A. B. C.D. 6、如图,三角形ABC中,AD平分BAC,EGAD,且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、 F、G,下列四个式子
19、中正确的是() 第6题图第7题图 7、如图,小明作出了边长为的第1个正A1B1C1,算出了正A1B1C1的面积。 然后分别取A1B1C1的三边中点A2、B2、C2,作出了第2个正A2B2C2,算出了 正A2B2C2的面积。用同样的方法,作出了第3个正A3B3C3,算出了正A3B3C3的 面积,由此可得,第10个正A10B10C10的面积是() A.B. C. D. 8、如图,在ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点, 若ADBEDBEDC,则C的度数为( ) A.15 B.20 C.25 D.30 第8题图第9题图第10题图第11题图 9、在等腰ABC中,AB=AC,BE、CD分别是底角的平
20、分线,DEBC, 图中等腰三角形有() A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 10、如图,梯形ABCD中,ADBC,AB=CD,ACBD于点O,BAC=60,若BC=,则此梯形的面积为( ) A.2 B. C. D. 11、如图所示,在ABC中BAC=90,D是BC中点,AEAD交CB延长线于E点,则下列结论正确的是( ) A.AEDACB B.AEBACD C.BAEACE D.AECDAC 12、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图1).结合轴对称变换和平移变换的有
21、关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个 对应三角形(如图2)的对应点所具有的性质是() A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分 C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行 二、填空题(每空3 分,共15 分) 13、如图a是长方形纸带,DEF=25,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的CFE的度数是_. 第13题图第14题图 14、如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE, AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ。则下列结论: AD=BE; PQ AE; AP=BQ; D
22、E=DP。其中正确的是。 15、如图,在直角梯形ABCD中,ABBC,ADBC,EF为中位线,若AB=2b,EF=a, 则阴影部分的面积_. 16、如图,已知正方形 ABCD,E是BA延长上的点,且E=60,现将ADE绕点A顺时方向旋转到AGF的位置,则当旋转角度EAF=_时,FGAB。 。 15题 16题 17题 18题 三、计算与简答题 17、如图所示,折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处,已知BC=10厘米,AB=8厘米,求FC和EF的长。 18、如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H. (1)求证:EB
23、=GD;(2)判断EB与GD的位置关系,并说明理由; (3)若AB=2,AG=,求EB的长. 19、如图,是等边三角形,是顶角的等腰三角形,以D为顶 点作60的角,它的两边分别与AB,AC交于点M和N,连结MN。 三、教学内容及教材分析：(1)探究:之间的关系,并加以证明; 94.234.29加与减（二）4 P49-56(2)若点M,N分别在射线AB,CA上,其他条件不变,再探究线段BM,MN,NC之间的 互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)函数的取值范围是全体实数；关系,在下图中画出相应的图形,并就结论说明理由。 3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）20、如图,在ABC中,ACB=90,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角74.94.15有趣的图形3 P36-41于E,F在射线DE上,并且EF=AC.(1)求证:AF=CE; 1.正切：若a0，则当x时，y随x的增大而减小。(2)当B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?请回答并证明你的结论;(3)四边形ACEF有可能是正方形吗?为什么? (1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.