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1、构造齐次式解决圆锥曲线问题中与斜率有关的问题聊城市茌平区第一中学康希怀问题的捉出*己知点A是半面内-个定点，圜锥曲线C上有两动点巴Q,证明ELAP j AQM率之和戚者斜率Z枳为Ti或者有关何题*问赳的解决.將企只点龙半移和旗点 设平林后的直线为祗+睜巧惆锹曲线方程(平移后)朕也-次项乘以酥+叩，常数项乘以5卄町，肉造齐次at r2 + bxy + 0f = 0 黙看等武两边同时除Ll X2 得到(J + r + C 化简为处S融XuO,可以直接利用韦达定理得出斜率之和豉占料率之积，即可得 出答案，如果是过定点題目，还需要还瓏直线，Z蔺如何平移，现在反平移回占。 惘锥曲线齐次化解题的棊本比曝：
2、L Tt 2*联立并齐次化*E冋除戏：4韦达疋理；5.过定点迦LL需圧原自红，即反半移凹去.侃点是*人人减小了计畀虽提高准确率！峡点2 mr-l- =1不就駁刃t过眾心的自线：【引入】已j5attWSSC：r = 2/nJ(p0). BQ (.f- + Zl.过c上动点麻引BSQ的切线 切线长的 最小值为ML(U求卩的萌； 已iDP(1.2)r过点N仿)的宜绘交(？于扎月网点，当斜率&/泊的和为定伯时.求”的恒【解析】 设M (x, y)在抛物线C : y2 =2px上，所以y2 =2px切线长为 | MT F JMQ |2二(x -4)2 y2 -1 二 x2 -8x 2px 15-：x2
3、(2p -8)x 15 二,x (p -4)2 15 _(p _4)2当p -4 _O时，I MT Imin15,此时不适合题设，舍去。当 P -4 ：0 时，|MT Imin15-(p -4)2，根据题设得到, 15 (p -4产=“诃,解得p = 2 抛物线C : y2 = 4x为了能使用构造齐次式，按PO平移抛物线 C : y2 =4x 转化为 C, : (y2)2 =4(x 1)平移后点P转化为点P (0,0)直线 A B :ax by =1 过点 N (n -1, -2)所以 a(n -1) _2b = 1()2直线 AB :ax by -1 与抛物线 G : (y 2) -4(x
4、1)交于 A，B则(y 2)2=4(x dax by =12可得 y4(y -x)(ax by) =0即(y)24(丫 -1)(bya) =0xx x即(1 4b)(y)24(a -b) y - 4a = 0xx所以 kpA kpB =kp，A， kP，B，- -4 U 为常数，设为 m1 +4b所以a(n -1) -2b -1i 4(a - b) m1 4b，即 a(n2b=1fb 4a = m +4mb即(2m2)a(n1)1 4a m = 0即(2m -2)(n -1) 4a (2 -m) =0所以(2m-2)(n-1)012 m = 0n = Tm =2所以n = -1.【题目】例1担
5、mi*僥西如图.椭经过点且离&率为史.a b21）求椭圜E的方程？2）经江白（LI且詢率为k的宜线与椭圆迟交于不同的两自、P * Q均异干A J）-址明- 亘线与丿卩辑率之相为2一2解析：X y2 =12- 2按AO 平移后，A(0,0) , E:X (y_i)2=i,2PQ:mx ny -1 过新定点(1,2)得到 m 2n = 1(“)整理得 x22y2 _4y(mx ny) =02 2即(2-4n)y -4mxy x = 0得(2 -4n)k2 -4mk 1=0壯也2.24n4m2 - 4n所以 kap kaq - kA P kA Q例Z b0)tr bEQ号 中恰有三点在柄圆?上.(1
6、)求(：的方稈；匕设亶峡丿不经过号点且与(:相交于/ .僅两点若直线弓4与直线弓号的卿率的和为一1证朋：f过定点”解析：(1) y 2 = 14一 2y按 PO 平移，P2 (0,0) , C :(y 1)2=1 ,4A B : mx ny = 12 2整理得 x 4y8y (mx ny)二 0即(4 8n)y28mxy x2 = 0得(4 8n)k28mk x2 = 0所以 kp2A kp2B =kp2A kp2B122224 +8n所以 2m -2n =1这说明直线AB过点(2, -2)所以直线AB过点(2, -1).例4.【20甬靳谭标D设椭fflc： + /=1的右焦点为F .过戸的直
7、疑！与C交于丿，号两 2点，点血的坐标为2,0).(1) 芳与x轴垂II时，求H线.畑的方程；(2) 垃0为坐标原点*证朋：ZOMA = AOMB .解析：略需证直线AM ,BM的斜率之和为零,按MO平移后,M (0,0) , C : (X2y2 =1 ,2F(-1,0)AB:mx ny =1 过新定点 F(-1,0)得到 m = -1 C)整理得 x2 2y2 4x(mx ny) 2(mx ny)2 =02 2 2即(2 2n)y4n(1 m)xy (m 4m 1)x = 0所以 k am kBM - kA M kB M2 2n得(2 2n)k24n(1 m)k(m24m 1)=0这说明 O
8、MA =/OMB例几41山期耒)已知拋物线的顶点为原点，关于卩轴对称，U过点恥-1丄厂(1) 求馳物线的方程宇(2) 已知C(Q-乃，若直线F=后亠f 扼物线交1Q，月为点，记直线CX.匚甘的斜率分別为比.&、求证耐甩4尸为定伉解析：(1) x2 = 2y按CO平移后，C (0,0)，抛物线：x2-2(y-2)=0,A B : mx ny =1 过新定点(0,4)故 4n =1整理得 x2 -2y(mx ny) 4(mx ny)2 =02 2 2 2即(1 4m )x(8mn -2m)xy (4n 2n)y = 0即(4n2 - 2n)K 2 (8mn -2m)K (1 4m2) = 0得到kh14m24n2 -2n2 2-4(1 4m ) - -4 - 16m又因为k - -m = -4m2kjk2 - -4 -16m得到k1k2 k -4为定值.