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1、北京市2017届高考押题金卷理科数学试卷及答案北京市2017高考押题金卷 理科数学 第一部分(选择题共40分) 一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 21已知全集U=R，A=x|x,4x+3?0，B=x|logx?1，则A3?B=( ) A(3 B(x|,x?1 C(x|x,1 D(x|0,x,1 m2. 已知数列a为等差数列，且满足a+a=90(若(1,x)n152展开式中x项的系数等于数列a的第三项，则m的值为( ) nA(6 B(8 C(9 D(10 3已知单位向量，满足，则与夹角的余弦值为( ) A( B( C( D(
2、 4.设x，则“x”是“”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A( B( C( D(4 6. 已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 7. ?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则?ABC的面积为( ) A( B( C( D( 8. 已知函数，若m,n，且f(m)=f(n)，则n,m的取值范围是( ) A(3,2ln2，2)
3、B(3,2ln2，2 C(e,1，2 D(e,1，2) 第?卷(非选择题 共110分) 二、填空题(共6个小题，每题5分，共30分) 9. 若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点(1，1)处取得最小值，则实数k的取值范围是 ( 10若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是 ( 11采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为 (
4、 2212. 直线(t为参数)与圆C:(x+6)+y=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为 ( 213. 已知直线l:y=k(x,2)与抛物线C:y=8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为 ( 14. 若函数,则不等式的解集是_. 三、解答题(共6小题，共80分(解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 15.(本小题满分13分) 已知a，b，c分别为?ABC三个内角A，B，C的对边，c,asin C,ccos A. (1)求A; (2)若a,2，?ABC的面积为，求b，c. 16. (本小题满分13分) 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情
5、况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位:小时)，统计结果绘成频率分别直方图(如图)(已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间2，4的有8人( (?)求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间10，12的人数; (?)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望( 17.(本小题满分13分) 如图，四棱锥中中，底面ABCD是直角梯形，AB/CD，侧面且为等腰直角三角形，. (?)求证: (?)求平面与平面PBC所成锐二面角的余弦值. 18.(本小题满分13分) 已知函
6、数的定义域为，设. (?)试确定t的取值范围，使得函数在上为单调函数; (?)求证:; (?)若不等式对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明(解答过程可参考使用以下数据) 19.(本题满分14分) 已知椭圆E:的离心率为，其右焦点为F(1，0)( (1)求椭圆E的方程; (2)若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值( 20.(本小题满分 14 分) *已知数列a的前n项和为S，且S=2a,2(n?N)( nnnn(1)求a的通项公式; n(2)设，b=8，T是数列b的前n项和，求1nn*正整数k，使得对任意n?N均有T?T恒成立;
7、kn(3)设，R是数列c的前n项和，nn*若对任意n?N均有R,恒成立，求的最小值( n试卷答案 1A 【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可( 2【解答】解:A=x|x,4x+3?0=x|1?x?3，B=x|logx3?1=x|x?3， 则A?B=3， 故选:A 2D m【分析】利用等差数列的性质，求出a=45，利用(1,x)32展开式中x项的系数等于数列a的第三项，可得=45，n即可求出m( 【解答】解:数列a为等差数列，且满足a+a=2a=90，?n153a=45， 3m2?(1,x)展开式中x项的系数等于数列a的第三项， n?=45，?m=10， 故选D( 3D 【分析
8、】设单位向量，的夹角为，根据，得(+2)=0，代入数据求出cos的值( 【解答】解:设单位向量，的夹角为， ?， ?(+2)=+2=0， 2即1+211cos=0， 解得cos=,， ?与夹角的余弦值为,( 故选:D( 4.A 5B 【解答】解:如图所示，由三视图可知该几何体为:四棱锥P,ABCD( 连接BD( 其体积V=V+V B,PADB,PCD= =( 故选:B( 6D 【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，考查了存在问题与逻辑思维能力.,因为曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直，所以有两个不同的解，令,由得x2，由得x 7A 【解答】解:由题意cosC=，a=
9、1，c=2， ， 那么:sinC=cosC=，解得b=2( 由，可得sinB=， 那么?ABC的面积= 故选A 8A 【解答】解:作出函数f(x)的图象如图: 若m,n，且f(m)=f(n)， 则当ln(x+1)=1时，得x+1=e，即x=e,1， 则满足0,n?e,1，,2,m?0， 则ln(n+1)=m+1，即m=2ln(n+1),2， 则n,m=n+2,2ln(n+1)， 设h(n)=n+2,2ln(n+1)，0,n?e,1 则h(n)=1,=， 当h(x),0得1,n?e,1， 当h(x),0得0,n,1， 即当n=1时，函数h(n)取得最小值h(1)=1+2,2ln2=3,2ln2，
10、 当n=0时，h(0)=2,2ln1=2， 当n=e,1时，h(e,1)=e,1+2,2ln(e,1+1)=1+e,2=e,1,2， 则3,2ln2?h(n),2， 即n,m的取值范围是3,2ln2，2)， 故选:A 9. 【gkstk答案】(,4，2) 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围( 【解答】解:作出不等式对应的平面区域， 由z=kx+2y得y=,x+， 要使目标函数z=kx+2y仅在点B(1，1)处取得最小值， 则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方， ?目标函数的斜率,大于x+y=2的斜率且小于直线2x,y=1的斜
11、率 即,1,2， 解得,4,k,2， 即实数k的取值范围为(,4，2)， 故答案为:(,4，2)( 10.6 【解答】解:由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得 A=1，S=1 满足条件A,M，第1次进入循环体S=21+1=3， 满足条件A,M，第2次进入循环体S=23+1=7， 满足条件A,M，第3次进入循环体S=27+1=15， 满足条件A,M，第4次进入循环体S=215+1=31， 满足条件A,M，第5次进入循环体S=231+1=63， 由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5; 所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次( 故
12、答案为:6( 11.10 【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a=9+(n,n1)30=30n,21，由451?30n,21?750 求得正整数n的个数，即为所求( 【解答】解:由960?32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列， 且此等差数列的通项公式为a=9+(n,1)30=30n,21( n由 451?30n,21?750 解得 15.7?n?25.7( 再由n为正整数可得 16?n?25，且 n?z， 故做问卷B的人数为10， 故答案为:10( 12.? 22【分析】直线(t为参数)与圆C:(x+
13、6)+y=252联立，可得t+12tcos+11=0，|AB|=|t,t|=?(t+t)12122,4tt=10，即可得出结论( 12【解答】解:直线(t为参数)与圆C:(x+6)222+y=25联立，可得t+12tcos+11=0( t+t=,12cos，tt=11( 121222?|AB|=|t,t|=?(t+t),4tt=10，?cos=，121212tan=?， ?直线AB的斜率为?( 故答案为?( 13.或 【分析】设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，?BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，在直角三角形ABC中，得出直线AB
14、的斜率( 【解答】解:如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F， 过B作AE的垂线BC， 在三角形ABC中，?BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值， 设|BF|=n，?|AF|=3|BF|，?|AF|=3n， 根据抛物线的定义得:|AE|=3n，|BF|=n， ?|AC|=2n， 在直角三角形ABC中，tan?BAC=， ?k=k=( ABAF?直线l的倾斜角为( 根据对称性，直线l的倾斜角为，满足题意( 故答案为或( 14. 【gkstk答案】 15. 【gkstk答案】(1)由c,asin C,ccos A及正弦定理，得 sin Asin C,cos A?sin C,s
15、in C,0， 1由于sin C?0，所以sin6,2， 5又0A，所以,6A,66，故A,3. 1(2)?ABC的面积S,2bcsin A,，故bc,4. 22222而a,b，c,2bccos A，故b，c,8，解得b,c,2. 1由于sin C?0，所以sin6,2， 5又0A，所以,6A,66，故A,3. 1(2)?ABC的面积S,2bcsin A,，故bc,4. 22222而a,b，c,2bccos A，故b，c,8，解得b,c,2. 16.解:(1)由直方图知，(0.150+0.125+0.100+0.0875+a)2=1，解得a=0.0375， 因为甲班学习时间在区间2，4的有8人
16、，所以甲班的学生人数为( 所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间10，12的人数为400.03752=3(人)( (2)乙班学习时间在区间10，12的人数为400.052=4(人)( 由(1)知甲班学习时间在区间10，12的人数为3人(在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3.，( 所以随机变量的分布列为: 0 1 2 3 P ( 17. 解:(?)取的中点，连结( ， 2分 ，且， 是正三角形，, 又, 平面( ( 5分 (?) ?侧面底面， 又，底面( (?直线两两互相垂直， 故以为原点,直线所在直线为轴、轴和轴建立 如图所示的空间直角坐标系(
17、 设，则可求得，(7分 ( 设是平面的法向量，则且( 取，得( 9分 又平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为, 则, 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为(13分 18. 解:(?)因为1分 令，得:或;令，得: 所以在上递增，在上递减3分 要使在为单调函数，则 所以的取值范围为4分 (?)证:因为在上递增，在上递减， 所以在处取得极小值 又，所以在的最小值为6分 从而当时，即8分 (?)等价于 即9分 记， 则， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 对任意正实数恒成立， 等价于，即11分 记， 则， 所以在上单调递减， 又， 所以的最大值为12分 当时，由 ，则13分 令
18、19解:(1)由椭圆的离心率公式可知:e=，由c=1，则a=， 222b=a,c=1， 故椭圆方程为;(4分) (2)如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(1，0)， 且PQ?MN，设直线PQ的斜率为k(k?0)， 则PQ的方程为y=k(x,1)，P(x，y)，Q(x，y)， 11112222则，整理得:(1+2k)x,4kx+2k,2=0， x+x=，xx=， 1112，于是则丨PQ丨=，(7分) 同理:( 2则S=丨PQ丨丨MN丨=，令t=k+，T?2， S=丨PQ丨丨MN丨=2(1,)，当k=?1时，t=2，S=，且S是以t为自变量的增函数， 当k=?1时，四边形PMQN
19、的面积取最小值( 当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2( 综上:四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2( 20.解:(1)由S=2a,2，得S=2a,2两式相减，得a=2annn+1n+1n+1n+1,2a n?a=2a n+1n数列a为等比数列，公比q=2 n又S=2a,2，得a=2a,2，a=2? 11111(2) ， 2、100以内的进位加法和退位减法。3、思想教育，转化观念端正学习态度。方法一当n?5时，?0 3.余弦：因此，T,T,T,T=T,T, 1234565.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的
20、方位角分别为45、135、225。*?对任意n?N均有T=T?T，故k=4或5( 45n(4)面积公式:(hc为C边上的高);方法二(圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.两式相减，得， tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”；和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.n+1=(6,n)2,12， 当1?n,4，T,T，当n=4，T=T，当n,4时，T,T， n+1n45n+1n综上，当且仅当k=4或5时，均有T?T kn(3)?= 1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。*?对任意n?N均有成立， 64.24.8生活中的数3 P30-35?， 所以的最小值为(