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1、北大版高等数学课后习题答案 完整版 习题 1.1 1. 证明 3为无理数. 证 若 3不是无理数,则 3 p p2 , p, q为互素自然数.3 2 , p 2 3q 2 .3除尽p 2 , q q 必除尽p, 否则p 3k , 1或p 3k , 2. p 2 9k 2 , 6k , 1, p 2 9k 2 , 12k , 4,3除 p 2 将余1.故p 3k ,9k 2 3q 2 , q 2 3k 2 , 类似得3除尽q.与p, q互素矛盾. 2. p是正的素数, 证明 p是无理数. 设 证 设 p a a2 , a, b为互素自然数,则p 2 , a 2 pb 2 , 素数p除尽a 2 ,
2、 故p除尽a, b b 2 2 2 2 2 a pk . p k pb , pk b .类似得p除尽b.此与a, b为互素自然数矛盾. (1)若x 0, 则 , x , 1 , x 3, 2 x 3. 解下列不等式 : (1) | x | , | x , 1| 3.;(2) | x 2 , 3 | 2. 解,2, x ,1, (,1, 0); 若0 x 1, 则x , 1 , x 3,1 3, (0,1); 若x 1, 则x , x , 1 3, x 3 / 2, (1,3 / 2). X (,1, 0) (0,1) (1,3 / 2). (2) , 2 x 2 , 3 2,1 x 2 5,1
3、 | x |2 5,1 | x | 5, x (1, 5) ( , 5, ,1). 4. a, b为任意实数,(1)证明 | a , b | | a | , | b |;(2)设 | a , b | 1, 证明 | a | | b | ,1. 设 证(1) | a | | a , b , (,b) | | a , b | , | ,b | | a , b | , | b |,| a , b | | a | , | b | . (2) | a | | b , (a , b) | | b | , | a , b | | b | ,1. 5. 解下列不等式: (1) | x , 6 | 0.1;(2
4、) | x , a | l. 解(1)x , 6 0.1或x , 6 ,0.1.x ,5.9或x ,6.1. X (, , ,6.1) (,5.9, , ). (2)若l 0, X (a , l , , ) (, , a , l ); 若l 0, x a; 若l 0, X (, , , ). a ,1 6. a 1, 证明0 n a , 1 若 , 其中n a b 1.a , 1 n a , 1 ( n a , 1)(b n ,1 , b n , 2 , , 1) n为自然数. n 证若a 1, 显然n( n a , 1). 7. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有有理数.
5、 设 证取自然数n 满足1/10n b , a.考虑有理数集合 m A=An n | m Z. 若An (a, b) , 则A B C , B A x | x b, 10 C A x | x a.B中有最小数m0 /10n , (m0 , 1) /10 n C , b , a m0 /10n -(m0 , 1) /10n =1/10 n ,此与n的选取矛盾. 8. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有无理数. 设 证取自然数n 满足1/10n b , a.考虑无理数集合An 2 , m | m Z. 以下仿8题. 10n n 习题 1.2 -1- 13.证明函数y 1 , x
6、 , x在(1, , )内是有界函数. ( 1 , x , x )( 1 , x , x ) 1 1 ( x 1). 1, x , x 1, x , x 2 ,1 x6 , x4 , x2 13.研究函数y 在(, , , )内是否有界. 1 , x6 x6 , x4 , x2 x 6 , x 4 , x 2 3x 6 解 | x | 1时, 3,| x | 1时, 6 3, 1 , x6 1 , x6 x | y | y 3, x (, , , ). 证y 1 , x , x 习题 1.4 1.直接用 - 说法证明下列各极限等式: (1) lim x a x a ( a 0); (2) li
7、m x 2 a 2 ; (3 ) lim e x e a ; (4) lim cos x cos a. x a x a x a 证(1), 0, 要使 | 只需 x, | x-a| | x-a| | x-a| a | ,由于 , x, a x, a a x a. | x,a| ,| x , a | a .取 a , 则当 | x , a | 时,| x , a | , 故 lim x a a 2 2 (2), 0, 不妨设 | x , a | 1.要使 | x , a | | x , a | x , a | ,由于 | x , a | | x , a | , | 2a | 1, | 2a |,
8、 只需(1, | 2a |) | x , a | ,| x , a | | x 2 , a 2 | , 故 lim x 2 a 2 . x a 1, | 2a | .取 min ,1, 则当 | x , a | 时, 1, | 2a | (3) , 0, 设x a.要使 | e x , e a | e a (e x , a , 1) , 即0 (e x , a , 1) ea ,1 e x , a 1 , ea , 0 x , a ln 1 , a , 取 min ,1, 则当0 x , a 时,| e x , e a | , e 1, | 2a | 故 lim e x e a . 类似证 l
9、im e x e a . lim e x e a . 故 x a , x a , x a x,a x,a x,a x,a (4) 0, 要使 | cos x , cos a | 2 sin , sin 2 sin sin | x , a |, 2 2 2 2 取 , 则当|x , a | 时,| cos x , cos a | , 故 lim cos x cos a. x a 2.设 lim f ( x) l , 证明存在a的一个空心邻域( a , , a) ( a, a , ), 使得函数u f ( x)在 x a 该邻域内使有界函数. 证对于 1, 存在 0, 使得当 0 | x - a
10、| 时,| f ( x ) , l | 1, 从而 | f ( x) | | f ( x) , l , l | | f ( x) , l | , | l | 1, | l | M . 3. 求下列极限 : (1) lim x 0 (1 , x ) 2 , 1 2x , x2 x lim lim(1 , ) 1. x 0 x 0 2x 2x 2 2 x x 2 sin 2 sin 2 1 , cos x 2 1 lim 1 2 1 . (2) lim lim 1 x 0 x 0 x x2 x2 2 x 0 2 2 2 (3) lim x 0 x,a , x a lim x 0 x x( x ,
11、a , a) 1 ( a 0). 2 a x2 , x , 2 2 x2 , 2 x , 3 x2 , x , 2 (5) lim x 0 2 x 2 , 2 x , 3 (4) lim x 1 ,2 . ,3 ,2 . ,3 -2- (6) lim (2 x , 3) 20 (2 x , 2)10 230 30 1. x (2 x , 1)30 2 x 0 (7) lim 1, x , 1, x 2x lim 1. x 0 x ( 1 , x , 1 , x ) x 3 x2 , x , 1 , 3 x2 , x , 2 1 (8) lim , 3 lim lim x ,1 x , 1 x
12、, 1 x ,1 ( x , 1)( x 2 , x , 1) x ,1 ( x , 1)( x 2 , x , 1) ( x , 1)( x , 2) ( x , 2) ,3 lim lim 2 ,1. 2 x ,1 ( x , 1)( x , x , 1) x ,1 ( x , x , 1) 3 (9) lim x 4 1, 2x , 3 ( 1 , 2 x , 3)( x , 2)( 1 , 2 x , 3) lim x 4 x ,2 ( x , 2)( x , 2)( 1 , 2 x , 3) lim (2 x , 8)( x , 2) 2 4 4 . x 4 ( x , 4)( 1
13、, 2 x , 3) 6 3 n n n(n , 1) 2 y , , yn x ,1 (1 , y ) , 1 2 (10) lim lim lim n. x 1 x , 1 y 0 y 0 y y 2 (11) lim x 2 , 1 , x 2 , 1 lim 0. x x x2 , 1 , x2 ,1 a x m , a x m ,1 , , am a (12) lim 0 n 1 n ,1 (bn 0) m . x 0 b x , b x , , bn bn 0 1 ny , , , a0 / b0 , m n a0 x m , a1 x m ,1 , , am (13) lim (
14、a0 0 0) 0, b n m x b x n , b x n ,1 , , b 0 1 n , m n. x4 , 8 1 , 8 / x4 (14) lim 2 lim 1. x x , 1 x 1 , 1/ x 2 3 (15) lim x 0 1 , 3x , 3 1 , 2 x x , x2 2 2 lim x 0 ( 3 1 , 3 x , 3 1 , 2 x )( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) ( x , x 2 )( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) 5x
15、2 2 2 2 lim x 0 x(1 , x)( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) 5 5 lim . 2 2 x 0 (1 , x)( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) 3 (16) a 0, lim x , a , x,a x2 , a2 x a , 0 x, a 1 lim , 2 2 x a , 0 x,a x ,a ( x , a )( x , a ) 1 lim x , a x , a( x , a) , x , a x a ,0 -3- ( x , a) 1 li
16、m , x a , 0 x,a x , a x , a( x , a) x,a 1 1 lim x , a ( x , a ) , x , a 2a . x a , 0 sin x 1 4.利用lim 1及 lim 1 , e求下列极限: x x x x sin x sin x (1) lim lim lim cos x . x 0 tan x x 0 sin x x 0 sin(2 x 2 ) sin(2 x 2 ) 2x2 lim lim 1 0 0 x x 0 x 0 3 x 3x 2x2 tan 3 x , sin 2 x tan 3 x sin 2 x 3 2 1 (3) lim l
17、im , lim , . x 0 x 0 sin 5 x x 0 sin 5 x sin 5 x 5 5 5 x x (4) lim lim 2. x 0 , 1 , cos x x 0 , x 2 sin 2 x,a x,a cos sin sin x , sin a 2 2 cos a. (5) lim lim x a x a x,a x,a 2 (2) lim k (6) lim 1 , x x ,x x k lim 1 , x x x (,k ) k x k k lim 1 , x x ,5 ,k e, k . (7) lim(1 , 5 y )1/ y lim(1 , 5 y )1/
18、(5 y ) e ,5 . y 0 y 0 1 1 1 (8) lim 1 , lim 1 , lim 1 , e. x x x x x x 5.给出lim f ( x) , 及 lim f ( x) , 的严格定义. x x a x , x ,100 100 lim f ( x) , : 对于任意给定的A 0, 存在 0, 使得当0 | x - a | 时f ( x) A. x a x , lim f ( x) , : 对于任意给定的A 0, 存在 0, 使得当x , 时f ( x) , A. 习题 1.5 -4- 1.试用 , 说 法证明 (1) 1 , x 2 在x 0连续 (2) si
19、n 5 x在任意一点x a连续. 证(1), 0, 要使 | 1 , x 2 , 1 , 02 | x2 1, x ,1 2 .由于 x2 1, x ,1 2 x 2 , 只需 x 2 ,| x | , 取 , 则当 | x | 时有 | 1 , x 2 , 1 , 0 2 | , 故 1 , x 2 在x 0连续. (2)(1), 0, 要使 | sin 5 x , sin 5a | 2 | cos 由于2 | cos 5 x , 5a 5( x , a ) | sin | . 2 2 5 x , 5a 5( x , a) | sin | 5 | x , a |, 只需5 | x , a |
20、 ,| x , a | , 2 2 5 取 , 则当 | x , a | 时有 | sin 5 x , sin 5a | , 故 sin 5 x在任意一点x a连续. 5 2.设y f ( x)在x0处连续且f ( x0 ) 0, 证明存在 0使得当 | x , x0 | 时f ( x) 0. 证由于f ( x)在x0处连续, 对于 f ( x0 ) / 2, 存在存在 0使得当 | x , x0 | 时 f ( x) , f ( x0 ) | f ( x0 ) / 2, 于是f ( x) f ( x0 ) , f ( x0 ) / 2 f ( x0 ) / 2 0. 3.设f ( x)在(a
21、, b)上连续, 证明 | f ( x) | 在( a, b)上也连续, 并且问其逆命题是否成立 ? 证任取 x0 (a, b), f 在x0连续.任给 0, 存在 0使得当 | x , x0 | 时 | f ( x) , f ( x0 ) | , 此时 | f ( x) | , | f ( x0 ) | | f ( x) , f ( x0 ) | , 故 | f | 在x0连续.其逆命题 1, x是有理数 不真, 例如f ( x) 处处不连续, 但是|f ( x) | 1处处连续. ,1, x是无理数 4.适当地选取a,使下列函数处处连续: 1 , x 2 , x 0, ln(1 , x),
22、 x 1, (1) f ( x) (2) f ( x) x 0; a arccos x, x 1. a , x 解(1) lim f ( x) lim 1 , x 2 1 f (0), lim f ( x) f (0) a 1. x 0 , x 0, x 0, (2) lim f ( x) lim ln(1 , x) ln 2 f (1), lim f ( x) lim a arccos x ,a f (1) ln 2, x 1, x 1, x 1, x 1, a , ln 2. 5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限 : (1) lim cos x , 1, x , x 1, x , x
23、 cos lim cos 0 1. x , x x 2 2. lim sin 2 x 2 (2) lim x x 2 x 0 x (3) lim e sin 3 x e x 0 sin 3 x e 3 . (4) lim arctan x sin 2 x x4 , 8 x4 , 8 arctan lim 2 arctan1 . 2 x x , 1 x ,1 4 -5- (5) lim ( x 2 , 1 , x 2 , 2) | x | lim ( x 2 , 1 , x 2 , 2) | x | x x 3| x | 3 3 lim . lim 2 2 2 2 x x 2 x ,1 , x
24、, 2 1 , 1/ x , 1 , 2 / x 6.设 lim f ( x) a 0, lim g ( x) b, 证明 lim) f ( x) g ( x ) a b . x x0 x x0 x x0 证 lim) f ( x) g ( x ) lim)e(ln f ( x ) g ( x ) e x x0 x x0 x x0 lim (ln f ( x ) g ( x ) eb ln a a b . 7.指出下列函数的间断点及其类型, 若是可去间断点, 请修改函数在该点 的函数值, 使之称为连续函数: (1) f ( x) cos ( x , x), 间断点n Z, 第一类间断点. (2
25、) f ( x) sgn(sin x), 间断点n , n Z, 第一类间断点. x 2 , x 1, (3) f ( x) 间断点x 1, 第一类间断点. 1/ 2, x 1. x 2 , 1, 0 x 1 (4) f ( x) 间断点x 1, 第二类间断点. ,1 x 2, sin x ,1 1 2 , x , 0 x 1, (5) f ( x) x,1 x 2, 间断点x 2, 第一类间断点. 1 , 2 x 3. 1 , x 8.设y f ( x)在R上是连续函数, 而y g ( x)在R上有定义, 但在一点x0处间断. 问函数h( x) f ( x) , g ( x)及 ( x) f
26、 ( x) g ( x)在x0点是否一定间断? 解h( x) f ( x) , g ( x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续, g ( x) ( f ( x) , g ( x) , f ( x)将在x0点连续,矛盾.而( x) f ( x) g ( x)在x0点 未必间断.例如f ( x) 0, g ( x) D( x). 习题 1.6 -6- 1.证明 : 任一奇数次实系数多项式至少有一实根. 证设P ( x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则 lim P ( x) , , x , x , lim P ( x) , , 存在A, B, A B, P ( A) 0, P
27、( B ) 0, P在 A, B连续, 根据连续函数 的中间值定理, 存在x0 ( A, B), 使得P ( x0 ) 0. 2.设0 1, 证明对于任意一个y0 R, 方程y0 x , sin x有解, 且解是唯一的. 证令f ( x) x , sin x, f ( , | y0 | ,1) , | y0 | ,1 , , | y0 | y0 , f (| y0 | ,1) | y0 | ,1 , | y0 | y0 , f 在, | y0 | ,1,| y0 | ,1连续,由中间值定理, 存在 x0 , | y0 | ,1,| y0 | ,1, f ( x0 ) y0 .设x2 x1 ,
28、f ( x2 ) , f ( x1 ) x2 , x1 , (sin x2 , sin x1 ) x2 , x1 , | x2 , x1 | 0, 故解唯一. 3.设f ( x)在(a, b)连续, 又设x1 , x2 (a, b), m1 0, m2 0, 证明存在 (a, b)使得 f ( ) m1 f ( x1 ) , m2 f ( x2 ) . m1 , m2 m1 f ( x1 ) , m2 f ( x1 ) m1 f ( x1 ) , m2 f ( x2 ) m1 f ( x2 ) , m2 f ( x2 ) f ( x2 ), m1 , m2 m1 , m2 m1 , m2 证如
29、果f ( x1 ) f ( x2 ), 取 x1即可.设f ( x1 ) f ( x2 ), 则 f ( x1 ) 在 x1 , x2 上利用连续函数的中间值定理即可. 4.设y f ( x)在0,1上连续且0 f ( x) 1, ,x 0,1.证明在存在一点t 0,1使得 f (t ) t. 证g (t ) f (t ) , t , g (0) f (0) 0, g (1) f (1) , 1 0.如果有一个等号成立, 取t为0 或1.如果等号都不成立, 则由连续函数的中间值定理, 存在t (0,1), 使得g (t ) 0, 即f (t ) t. 5.设y f ( x)在0, 2上连续,
30、且f (0) f (2).证明在0, 2存在两点x1与x2 , 使得 | x1 , x2 | 1, 且f ( x1 ) f ( x2 ). 证令g ( x) f ( x , 1) , f ( x), x 0,1. g (0) f (1) , f (0), g (1) f (2) , f (1) f (0) , f (1) , g (0).如果g (0) 0, 则 f (1) f (0), 取x1 0, x2 1.如果g (0) 0, 则g (0), g (1)异号,由连续函数的中间值 定理, 存在 (0,1)使得g ( ) f ( , 1) , f ( ) 0, 取x1 , x2 , 1. 第
31、一章总练习题 -7- 1.求解下列不等式 : 5x , 8 () 1 2. 3 | 5x , 8 | 14 2 解 2. | 5 x , 8 | 6,5 x , 8 6或5 x , 8 ,6, x 或x . 3 5 5 2 (2) x , 3 3, 5 2 解 , 3 x , 3 3, 0 x 15. 5 (3) | x , 1| | x , 2 | 1 解( x , 1) 2 ( x , 2) 2 , 2 x , 1 ,4 x , 4, x . 2 2. y 2 x , | 2 , x |, 试将x表示成y的函数. 设 1 解当x 2时, y x , 2, y 4, x y , 2;当x 2
32、时, y 3x , 2, y 4, x ( y , 2). 3 y , 2, y 4 x 1 3 ( y , 2), y 4. 1 3.求出满足不等式 1 , x 1 , x的全部x. 2 解x ,1. 2 1 , x x , 2, 4(1 , x) x 2 , 4 x , 4, x 2 0.x ,1, x 0. 4.用数学归纳法证明下列等式 : 1 2 3 n n,2 (1) , 2 , 3 , , n 2 , n . 2 2 2 2 2 1, 2 1 证当n 1时,2- 1 , 等式成立.设等式对于n成立,则 2 2 1 2 3 n ,1 1 2 3 n n ,1 , 2 , 3 , ,
33、n ,1 , 2 , 3 , , n , n ,1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n , 2 n ,1 2n , 4 , (n , 1) (n , 1) , 3 2 , n , n ,1 2 , 2, , n ,1 2 2 2 2n ,1 即等式对于n , 1也成立.故等式对于任意正整数皆成立. (2)1 , 2 x , 3 x , , nx 2 n ,1 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 ( x 1). (1 , x) 2 1 , (1 , 1) x n , 1x1,1 (1 , x) 2 证当n 1时, 1, 等式成立. (1 , x) 2 (1 , x) 2 设等
34、式对于n成立,则 1 , 2 x , 3 x 2 , , nx n ,1 , (n , 1) x n 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (n , 1) x n 2 (1 , x) -8- 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (1 , x) 2 (n , 1) x n (1 , x) 2 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (1 , 2 x , x 2 )( n , 1) x n (1 , x) 2 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , ( x n , 2 x n ,1 , x n , 2 )(n , 1) (1 ,
35、 x) 2 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , ( x n , 2 x n ,1 , x n , 2 )(n , 1) (1 , x) 2 1 , (n , 2) x n ,1 , (n , 1) x n , 2 , (1 , x) 2 即等式对于n , 1成立.由归纳原理, 等式对于所有正整数都成立. 5.设f ( x) | 2 , x | , | x | ,2 x (1)求f (,4), f (,1), f (,2), f (2)的值; (2)将f ( x)表成分段函数; (3)当x 0时f ( x)是否有极限: (4)当x ,2时是否有极限? 解(1) f (,4)
36、2,4,2 1 ,1 , 2 ,2 , 2 4,2,2 ,1, f (,1) 2, f (,2) 2, f (2) 0. ,4 ,1 ,2 2 ,4 / x, x ,2; (2) f ( x) 2, ,2 x 0; 0, x 0. (3)无因为 lim f ( x) 2, lim f ( x) 0 lim f ( x). . x 0 , x 0, x 0, (4)有. lim f ( x) lim ( ,4 / x) 2, lim f ( x) lim 2 2 lim f ( x), lim f ( x) 2. x ,2 , x ,2 , x ,2 , 2 x ,2 , x ,2 , x ,2
37、 6.设f ( x) x , 14, 即f ( x)是不超过x , 14的最大整数. 2 3 (1)求f (0), f , f ( 2)的值; 2 (2) f ( x)在x 0处是否连续 ? (3) f ( x)在x 2处是否连续 ? 1 3 9 解(1) f (0) ,14 ,14, f , 14 ,6 , ,7. f ( 2) ,12 ,12. 4 2 4 (2)连续因为 lim f ( x) lim y , 14 ,14 f (0). . x 0 y 0 , (3)不连续因为 lim f ( x) ,12, lim f ( x) ,11. . x 2 , x 2 , 7.设两常数a, b
38、满足0 a b, 对一切自然数n, 证明 : (1) b n ,1 , a n ,1 b n ,1 , a n ,1 (n , 1)b n ;(2)( n , 1) a n . b,a b,a -9- 证 b n ,1 , a n ,1 (b , a )(b n , b n ,1a , , a n ) b n , b n ,1b , , b n (n , 1)b n , b,a b,a b n ,1 , a n ,1 类似有 (n , 1)a n . b,a n n ,1 1 1 8.对n 1, 2,3, , 令an 1 , , bn 1 , . n n 证明 : 序列an 单调上升, 而序列
39、bn 单调下降,并且.an bn . 证令a = 1 , 1 1 , n n ,1 1 1 , b 1 , , 则由7题中的不等式, n ,1 n n ,1 1 , 1 , n ,1 1 1 , n n ,1 1 , 1 , n ,1 n 1 (n , 1) 1 , , n 1 1 (n , 1) 1 , n n(n , 1) n ,1 n n 1 1 , n 1 1 , n n ,1 n ,1 n ,1 1 1 1 , 1 , 1 , n n n ,1 n ,1 , 1 1 1 , 1 , n n ,1 n . n ,1 n ,1 1 1 n 1 , , 1 , 1 n n ,1 (n ,
40、1) 1 , 1 1 n ,1 , n n ,1 1 1 1 (n , 1) 1 , 1 , n , 1 n(n , 1) n 1 1 1 1 , 1 , n ,1 n n n n n ,1 n n ,1 1 , 1 , n ,1 n ,1 n ,1 1 , 1 , n ,1 n ,1 1 1 1 1 1 , ,1, 1 , n ,1 n n ,1 n 2 . 1 1 1 我们证明 , 1 , 1 , . n n ,1 n ,1 1 1 2 1 ,1, 1, , n n ,1 n , 1 (n , 1) 2 1 1 .最后不等式显然成立. n(n , 1) (n , 1) 2 1 1 当n 时
41、, 1 , e, 1 , n n 9.求极限 - 10 n n ,1 1 1 e, 故 1 , e 1 , n n n n ,1 . 1 1 1 1 lim 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 n 2 3 4 n 1 1 1 1 解 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 2 3 4 n 1 3 2 4 3 5 n n ,1 1 n ,1 1 (n ). 2 2 3 34 4 n n n 2 2 nx 10.作函数f ( x) lim 2 ( a 0)的图形. n nx , a 0, x 0; nx 解f ( x) lim 2 n nx , a 1/ x, x 0. 11.
42、在 ? 关于有界函数的定义下, 证明函数f ( x)在区间 a, b上为有界函数的充要条件 为存在一个正的常数M 使得 | f ( x) | M , ,x a, b. 证设存在常数M 1 , N 使得M1 f ( x) N , ,x a, b, 取M max| M 1 |,| N | , 1, 则有 | f ( x) | M , ,x a, b. 反之, 若存在一个正的常数M 使得 | f ( x) | M , ,x a, b, 则 , M f ( x) M , ,x a, b. 12.证明 : 若函数y f ( x)及y g ( x)在a, b上均为有界函数, 则f ( x) , g ( x
43、 )及f ( x ) g ( x ) 也都是a, b上的有界函数. 证存在M 1 , M 2 ,| f ( x) | M 1 ,| g ( x) | M 2 , ,x a, b. | f ( x) , g ( x) | | f ( x) | , | g ( x) | M 1 , M 2 , | f ( x) g ( x) | | f ( x) | g ( x) | M 1M 2 , ,x a, b. 13.证明 : f ( x) 1 cos 在x 0的任一邻域内都是无界的, 但当x 0时f ( x )不是无穷大量. x x 1 1 证任取一个邻域(, , ), 0和M 0, 取正整数n, 满足
44、 和n M , 则 f ( ) n M , n n 1 故f ( x)在(, , )无界.但是xn 0, f ( xn ) (2n , 1/ 2) cos(2n , 1/ 2) 0 , 2n , 1/ 2 故当x 0时f ( x )不是无穷大量. - 11 - 14.证明 lim n( x n , 1) ln x( x 0). n 1 1 ln x 证令x , 1 yn , 则 ln x ln(1 , y ), n .lim yn lim x n , 1 0. n n ln(1 , y ) n 1 n 1 ln(1 , y ) 注意到 lim lim ln(1 , y ) y ln lim(1
45、 , y ) y ln e 1, y 0 y 0 y 0 y 1 1 我们有n( x n , 1) 1 yn ln x ln x(n ). ln(1 , yn ) 15.设f ( x)及g ( x)在实轴上有定义且连续.证明 : 若f ( x)与g ( x)在有理数集合处处 相等,则它们在整个实轴上处处相等. 证任取一个无理数x0 , 取有理数序列xn x0 , f ( x0 ) lim f ( xn ) lim g ( xn ) g ( x0 ). n n 16.证明 lim 1 , cos x 1 . x 0 x2 2 2sin 2 x 2 2 2 lim 2sin y 1 lim sin
46、 y 1 2 1 . 1 y 0 x2 4 y2 2 y 0 y 2 2 x,a x ln(1 , y ) e ,e 17.证明 : (1) lim 1;(2) lim ea . y 0 x 0 y x 1 , cos x 证 lim lim x 0 x 0 x2 ln(1 , y ) 证(1) lim lim ln(1 , y ) y ln lim(1 , y ) y ln e 1. y 0 y 0 y 0 y 1 1 e x , a , ea e a (e x , 1) ex ,1 a y 1 lim e a lim e lim ea x 0 x 0 x 0 y 0 ln(1 , y )
47、ln(1 , y ) x x x lim y 0 y 1 ea e a . 1 18.设y f ( x)在a点附近有定义且有极限 lim f ( x) 0, 又设y g ( x)在a点附近有 (2) lim x a 定义,且是有界函数.证明 lim f ( x) g ( x) 0. x a 证设 | g ( x) | M , 0 | x , a | 0 .对于任意 0, 存在 1 0, 使得当0 | x , a | 1时 | f ( x) | / M .令 min 1 , 0 , 则0 | x , a | 时,| f ( x) g ( x) | | f ( x) | g ( x) | M M , 故 lim f ( x) g ( x) 0. x a 19.设y f ( x)在(, , , )中连续, 又设c为正的常数, 定义g ( x)如下 f ( x) 当 | f ( x) | c g ( x ) c 当f ( x) c ,c 当f ( x) ,c 试画出g ( x)的略图, 并证明 g ( x)在(, , , )上连续. - 12 - 证(