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1、20152015 级高三高考冲刺第一次考试理科数学卷 一、选择题（本大题共 1212小题，共 60.060.0分） 1. 已知复数 z 满足 ，则复数 z 在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合 ，全集 ，则 等于 A. B. C. D. 3. 若 ，且 ，则 的值为 A. B. C. D. 4. 已知双曲线 E： ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， 的中点为 双曲线 E 的两个焦点，且双曲线 E 的离心率是 直线 AC 的斜率为 则 等于 A. 2 B. C. D. 3 5已知函数 的图象与直线 的三个相邻交点的横坐 标分
2、别是 ，则 的单调递减区间是 A. B. C. D. 6如图所示是三棱锥 的三视图，点 O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于 A. B. C. D. - 1 - 7 某旅游景点统计了今年 5 月 1 号至 10 号每天的门票收入 单位：万元，分别记为 如： 表示 5 月 3 号的门票收入，表是 5 月 1 号到 5 月 10 号每天的门票 收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 门票收入 80 120 110 91 65 77 131 116 55 77 万元 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8
3、来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外， 每天还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂， 现知道： 甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈； 四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈； 甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通； 乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译针对他们懂的语言 正确的推理是 A. 甲日德、乙法德、丙英法、丁英德 B. 甲日英、乙日德、丙德法、丁日英 C. 甲日德、乙法德、丙英德、丁英德 D. 甲日法、乙英德、丙法德、丁法英 9如图，已知抛物线的方程为 ，过点 作直线与 抛物线相交于
4、两点， 点 B 的坐标为 ，连接 ，设 与 x 轴分别相交于 两点如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为 ，则 的大小等于 A. B. C. D. 10已知函数 ，若关于 x 的方程 恰好有 4 个不相等的实数 根，则实数 m 的取值范围为 - 2 - A. B. C. D. 11如图，在 中， 分别是 的中点，若 ，且点 P 落在四边形 ABNM 内含边界，则 的取值范围是 A. B. C. D. 12已知函数 ，点 A、B 是函数 图象上不同 两点，则 为坐标原点的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 4 小题，共 20.020.0 分） 13 在 的展开式中，
5、含 项的系数为_ 14由约束条件 ，确定的可行域 D 能被半径为 的圆面完全覆 盖，则实数 k 的取值范围是_ 15如图，已知 O 为 的重心， ，若 ， 则 A 的大小为_ 16 九章算术 是我国古代数学成就的杰出代表其中 方田 章给出计算弧田面积所用的 经验公式为：弧田面积 弦 矢 矢 “”弧田，由圆弧和其所对弦所围成公式中 弦 指 “圆弧对弦长， 矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田 面积与实际面积之间存在误差现有圆心角为 ，弦长等于 9 米的弧田按照 九章算术 中弧 田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为_ 三、解答题（本大题共 7 7 小题，共
6、84.084.0分） 17已知数列 是各项均不为 0 的等差数列，公差为 为其前 n 项和，且满足 数列 满足 为数列 的前 n 项和 求数列 的通项公式和 ； 是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由 - 3 - 18为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取 60 人，从文科乙班抽取 50 人参 加环保知识测试 根据题目条件完成下面 列联表，并据此判断是否有 的把握认 为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关 优秀人数 非优秀人数 总计 甲班 乙班 30 总计 60 现已知 三人获得优秀的概率分别为 ，设随机变量 X 表示 三人中获 得优秀的人
7、数，求 X 的分布列及期望 附： 19已知多面体 ABCDEF 如图所示，其中 ABCD 为矩形， 为等腰等腰三角形， ， 四边形 AEFB 为梯形，且 若 G 为线段 DF 的中点，求证： 平面 ABCD； 线段 DF 上是否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 FCD 所成角的余 - 4 - 弦值等于 ？若存在，请指出点 N 的位置；若不存在，请说明理由 20 已知点 ，点 P 是圆 上的任意一点，设 Q 为该圆的圆心，并且 线段 PA 的垂直平分线与直线 PQ交于点 E 求点 E 的轨迹方程； 已知 两点的坐标分别为 ，点 T 是直线 上的一个动点，且直线 分别交 中点 E 的轨迹于 两点 四点互不相同，证明：直线 CD 恒过一定点，并求出该定点坐标 21 已知函数 ln 1 . x f x ax 1 （1）当 a 1，求函数 y f x的图象在 x 0 处的切线方程； （2）若函数 f x在0,1上单调递增，求实数 a的取值范围； （3）已知 x ， y ， z 均为正实数，且 x y z 1，求证 3x 1lnx 1 3y 1lny 1 x 1 y 1 3z 1lnz 1 z 1 . 0 22 在平面直角坐标系 xOy 中，斜率为 1 的直线 l 过定点 以 O 为极点，x 轴非 负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程为 - 5 -