《二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.0001.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.0001.docx（29页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第八章二次型这一理论二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题,.本章主要介绍二次在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 8.1二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出:2 2ax bxy cy dx ey f 0(1.1)要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去xy项，通
2、常的坐标变换公式为x x cosy siny x siny cos(1.2)从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只考虑二次齐次多项式.定义8.1.1 设f是数域P上的n元二次齐次多项式：f(X1,X2，Mxn) a1必22盼必2川2弘們II 2a2nX2X2an 1,n xn 1 xn ann xn2*22X22223X2X3an 1,n 1Xn 1(1.3)称为数域P上的n元
3、二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R，则称f为实二次型；如果数域P为复数域C，则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即f (X1，X2,Xn) d1xj d2X22 HI dnXn2称为标准形式的二次型，简称为标准形.说明：在这个定义中，非平方项系数用2aj主要是为了以后矩阵表示的方便 例8.1.2下列多项式都是二次型f(x, y) x2 3xy 3y2f(x, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz 罷Z下列多项式都不是二次型定义 8.i.3设 Xi,X2,Xn；yi, y2f (X, y) X2 3xy 3y2 2x if (X, y, z) 2x3 2xy 4yz 3z
4、2 iJ|),yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式XiCiiyiey?1q/nX2c；2iyiC22y2IIIC2nyn(i.4)Xn(liCn2y211Cnnyn，yn的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式称为由x1, x2,Xn 到 yi,光、0,那么线性替换(1.4)就称为非退化的.在研究二次型时，矩阵是一个有力工具，因此我们先把二次型用矩阵来表示令aijaji,则有 2ajXiXjajXXjajjXjXj,于是(i.3)式可以改写为f(Xi,X2,Xn) aiixjai2X2 j2 a2i X2Xi 822X2ainXiXnIIIa2nX2XnIIIaniXnXian2X
5、nX2Xi(aiiXiai2X2 IX2 (a2iXi822X2III x/aniXi2annXnIIIainXn)；III a2nXn) 卅annXn)an2X2aiiXiai2X2ainXnaiia2iani则二次型可记为(X,X2,II，Xn)a2iXianiX,aiia22X2a2nXnan2X2annXnai2ainXi(Xi,X2,|,Xn)ai2a22an2IIIaina2nannxtAx,a2iani,Xa22an2XiX24Xna2nannXn(i.5)其中A是对称矩阵.称(i.5)式为二次型的矩阵形式例 8.i.4 二次型 f (X, y,z) 2x2 2xy 3xz y2
6、 4yz J3z2 的矩阵形式为f (x, y, z) (x,y,z)132X2 y品z说明：任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵.反之，任给一个对称矩阵可唯一地确定2一个二次型.因此，二次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系.把对称矩阵 A称为二次型f的矩阵，也把f称为对称矩阵A的二次型.称对称矩阵A的秩为二次型的秩.例8.1.5给定对称矩阵则其对应的二次型为：f (X1,X2, X3, X4) X,24x1x22X36x1X46X2X32x2x4 3x| 4x42对于二次型f xtAx,作线性替换X Cy,其中c11CI21GnyC呛1 4 *C221 4 *4I+1C2n,y4 * hy
7、2Cn1Cn2IIICnn申ynf xT Ax (Cy)TA(Cy) yTCT ACy yT (Ct AC )yB CTAC，则有 BT (CTAC )T CTAT(CT)T CTAC B ,即 B 是对称矩阵.这对称矩阵B同样定义了一个二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型 定义8.1.6设A,B是数域P上的n阶方阵，如果有数域P上的n阶可逆矩阵C，使得CtAC B则称矩阵A与B合同，记作A二B.合同是矩阵之间的一个关系.易知，合同关系具有：(1)反身性：即A与A合同，因为A EtAE；(C 1)TBC 1；B c/ AC 1 和.这样，我们就对称性：即若A与B合同，则B与A合同，因为由B
8、 CtAC ,即得传递性：即若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，C C2TBC2,即得 C C2TBC2 (C1C2)T A(C1C2).说明：经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的 把二次型的变换通过矩阵表示出来 ，为以后的讨论提供了有力的工具 .另外，在二次型变换时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的，因为这样我们可以把所得的二次型还原定理8.1.7若A与B合同，则rankA rankB .证明：因为A与B合同，所以存在n阶可逆矩阵C ,使得ctac b由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩，故rankA rankB .说明：这个定理给我们化二次型为标准形提供了
9、保证.这样，若B是对角矩阵，则非退化的线性替换X Cy就把二次型化为了标准形 .因此，把二次型化为标准形的问题其实质是：对于对称矩阵A ,寻找可逆矩阵C，使得CtAC B为对角矩阵. 8.2化二次型为标准形现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题1配方法，即只含有平定理8.2.1数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形 方项.证明：对变量的个数n作数学归纳法.2对于n 1，二次型就是f (X1)印必1，显然已经是平方项了 .现假定对n 1元的二次型，定理的结论成立.再设f(x1,x2J(,xn)naij xixj (aij aji ) j 1分三种情形来讨论：(i 1,2
10、,川，n)中至少有一个不为零aii，例如印1f(N，X2，|,Xn)6必2aii(Xia11(x1n2CjEjj 2n1 2 a11a,jXj) j 2na111aijXj)2j 2na1jX1Xjj 2n na Xi Xj2 j 2na,a1jXj)j 2n nhjXji 2 j 2n这里i 2nbjXiXjj 2na11 (a1j xj )j 2n najXiXji 2 j 2ajXiXjj 2najXiXjj 2是一个关于X2, X3,|,Xn的二次型.令这是一个非退化线性替换，它使n由归纳法假定，对i 2能使它变成平方和于是非退化线性替换就使 f ( X-I, x2,yiXiy2X2h
11、llllllXnynyi1aii QjXj2aiyj2X2y2Xnynf (Xi,X2，HLxn)nbljViVjj 2,Xn)变成f (Xl,X2,aiiyin nbij Yi Yj2 j 2有非退化的线性替换Z2C22 y2C?3 y3C2nynZ3C32 y2CS3 y3CsnynIlhH.ZnCn2y2WYs|Cnnynd2Z22dsZs2IdnZn2ZiYi11Z2C22y2C?3 y3C2nynCn2y2Cn3y3IIIZnHICnnyn|収)2 aiiZid2Z22d3Z32 I Id nzn即变成平方和了 .根据归纳法原理，定理得证.aii(i1,2,川，n)都等于零，但是至少
12、有一个a-j(2)所有0( j 2,3, III，n)，不失普遍性，设a120 令X3IIIHIhlXnZnZ3它是非退化线性变换，且使f (Xi，X2,Xn)2ai2XiX2 IIc222ai2Zi2ai2Z22ai2(Zi Z2)(Zi Z2)川II这时，上式右端是 Zi，Z2，Hain0,由对称性知a2ia3i2，Zn的二次型，且Zi的系数不为零，属于第一种情况，定理成立 aii ai2ani 0这时 f （Xi，X2，M，Xn）n naijxixj是n i元的二次型，i 2 j 2根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和证毕例8.2.2用配方法化二次型f(Xi，X2, X3)为2
13、 2x222X)X22x1x3 6X2X3为标准形，并写出所用的非退化线性替换解：由定理的证明过程，令yiXiX2X3Xiyiy2 y3y2X2X2y2y3X3X3y32得：f (Xi，X2，X3) yi2y2上式右端除第一项外已不再含yi，继续配方，令ZiZ2yy2 2y3,yiy2ZZ2 2Z3Z3y3y3Z32得：f（Xi，X2，X3） Zi2Z2所有的非退化线性替换为例8.2.3 用配方法化二次型XiX2X3f (Xi,X2,X3,X4) 2X1X2为标准形，并写出所用的非退化性替换解：由定理的证明过程，令Xi代入原二次型得：f (Xi,X2,X3, X4)这时yi2项不为零，于是f(
14、Xi,X2,X3,X4)(2y122(y12y32y4)2(%11y31 2 尹4)2( y11 “31 2 二 y4)2y222y22于是，f (Xi,X2,X3, X4)Z1 Z2 Z3Z2 2z3Z3X1X3X2X3X42yi22y1y32炖4)1 2 4y31 2741 21y31(y3yiyiy3y42y2234丫3丫4y4)2x1x4 X2X3 X2X4 2x3x4y2y22yiy32yiy42丫3丫42丫3丫42y222 y3y42Z122z222其中Z4的系数为零，故没有写出2y4Z1y11尹3Z2y2Z3y3y4Z4y4212Z3为求非退化线性替换，我们可将第二个替换代入第一
15、个替换中，得XiZiZ22Z31ZX2ZiZ2Z3Z42X3Z3Z4X4Z4说明：在用配方法化二次型为标准形时，必须保证线性替换是非退化的.有时,我们在配方过程中会遇到看似简单的方法，但得到的结果未必正确.如若令则 f(Xi,X2,X3)f (Xi,X2,X3)X2)2(Xi2 2 22x12x2 2x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3X3)2(Xi(X2X3)2yiXiy2y3XiX2X3X32 yi2y22y3 .然而，所以，此处所作的线性替换是退化的,于是最后的结果并不是所求的2初等变换法由于二次型与对称矩阵对应,所以能用非退化线性替换化标准形的过程也可以用矩阵的方法做到，由 8.i
16、我们知道，矩阵合同可以将矩阵化为对角阵.于是，定理8.2.i可以用矩阵的语言描述出来定理8.2.4数域P上任意一个对称矩阵A都合同于一对角矩阵D.即存在可逆矩阵C ,使dictac dd2(2.i)dn现在我们就根据定理8.2.4,讨论用矩阵的初等变换来求定理 8.2.4中的可逆矩阵C及对角矩阵D.由前面的知识，我们知道，可逆矩阵C可以表示为有限个初等矩阵Pi, P2|, Pm的乘积，即(2.2)CPiPj|PmEPAIII Pm将(2.2)式代入(2.1)式，得(2.3)PmT |P2TRTAPRillPmD(2.3)式表明，对对称矩阵 A施行m次初等行变换及相同的m次初等列变换,A就变为了
17、对角矩阵D.而(2.2)式表明对单位矩阵E施行上述的初等列变换,E就变为可逆矩阵C .这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵C及对角矩阵 D,使得A与D合同的方法称为 初等变换法.具体做法：对以n阶对称矩阵A和n阶单位矩阵E做成的2nn矩阵进行初等变换对A施行初等行变换对2n n矩阵施行相同的初等列变换则ctac D .例8.2.5已知对称矩阵用初等变换法求可逆矩阵C及对角矩阵D,使得A与D合同.r3C3(2)2(2)C2所求可逆矩阵2C2(1)(1(1)q(3C3(1)(1(1)C1C及对角矩阵D为:且ctac D .例8.2.6 已知二次型f (X1,X2,X3)2x1x22x1X36X2X3用
18、初等变换法将其化为标准形，并求非退化的线性替换解：二次型对应的矩阵为于是有，r2C2r2C2（尹（扣22121203C30122121203C34”24)C20丄20丄2120故非退化线性替换为X1X2X312丄20y1y2y3这样，二次型化为2y1222y6y3 8.3惯性定理我们知道，二次型与对称矩阵对应，并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵.又因为合同不改变矩阵的秩，这样一来，任意一个对称矩阵合同的对角矩阵对角线上不为零的元素的个数是不变的，就是矩阵的秩.因此，在一个二次型的标准形中，系数不为零的项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.至于标准形中的系数，就不是唯一确定的比如在例
19、8.2.6中，我们还可以进一步，令Z1 V2y1，z2则二次型化为fzj z22 z32.这说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关F面只就实数域和复数域的情形来进一步讨论唯一性的问题设对称矩阵A的秩为r,则由定理824知，存在可逆矩阵C，使得矩阵A合同于对角矩 阵D,即dictac ddr0,di0,i12|,r即此时原二次型化为f (X1,X2, I, Xn)d1X12d2X22d3X32III,dp 0;d p 10,dp 20,drXr2(3.1)在这些不为零的dj中,假设a 0, d20,dr0 ,这样(1) 在实数域内，我们令yiyp 1何X1
20、,y2 屁 X2,卅,yp 7d?Xp, JJ dp 1Xp 1, yp 2d p 2 Xp 2 ,yr厂d?Xr则(3.1)式变为：f(X,X2,、 2 2Xn)y1y2II2 2yp yp 12yp2yr这就是说对称矩阵 A合同于下列对角矩阵：,其中有P个1, rP 个 1,n r个0.(2) 在复数域内，我们令y1则(3.1)式变为：f(X,X2Lxn)屈X, y22 2 y1y27d?X2,yr /d7xr2 Yr这就是说对称矩阵 A合同于下列对角矩阵：定义8.3.1实二次型的规范形.定理 8.3.2 (则必有,其中有r个1.在实数域内,称f （x,x2,Xn)2*2规范形；在复数域内
21、，称f（X1,X2, H，Xn）惯性定理）设f (X1,X2，H|,Xn)是一个q.2y12Z12y22Z22yp2Zq2yp12Zq证明：用反证法.设P q,由前面知识知，2y12Z12y22Z22yp2Z2yp 12Z 1又设By, X其中X1y1于是，z C 1By.令因为p q,齐次线性方程组X2IXn1B,yy2ynII2y12yp2y2n元实二次型，且II yr2 ,2Zr2yp 22Zq 22yp 22ZqCz,z2yp2yp22yr为复二次型的Yr2为f可化为两个规范形：Z2IZn2yr2Zr(3.2)c112GnC211C221C2n111Cn11Cn21丨Cnn5%C12y
22、2IIIC1nynC21y1CP2 y2C2nynIIIHICnMCn2y2IICm ynZ2召ciiyi切2 IIIC1nyn0C2iyiC22y2C2nynCqiyiyp 1Cq2y20Cqn ynyn 0必有非零解(n个未知数,n (p q)个方程式).令其中一个非零解为yi ai,y2 a2,把这组解代入(3.2)式中的上式，得到:2 2Y2yiyp0,，yn但这时z-iZ22 2Ypyp1Zq0,故(3.2)式中的下式为2 yr2a22ap2 2Z1Z22 2ZqZq 12Zr2Zq 12Zr这样就得出了矛盾 同理可证 P q也不可能.于是 P q.证毕.说明：这个定理表明了实二次型
23、的规范形是唯一的|，Xn)中，则称r是该二次型的秩，P是它的正惯性指数定义8.3.3在实二次型的规范形f(x,X2,2y12y22yp2 2Yp 1 yp2,q rp是负惯性指数，s p2yrq称为f的符号差.推论834两个实二次型合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数定理 8.3.5 设 f(x1,X2,xn)是一个n元复二次型，则f经过适当的非退化线性替换可以化为规范形，且规范形是唯一的.推论8.3.6两个复二次型合同当且仅当它们有相同的秩 8.4正定二次型在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位.所以本节主要介绍实二次型，并讨论它们的定义 8.4.1 设 f (X1,X2|,Xn)正定性.
24、xtAx是一个n元实二次型，如果对任意n维列向量X 0都有:(1) f0,则称f为正定二次型，并称实对称矩阵 A为正定矩阵；(2) f 0,则称f为负定二次型，并称实对称矩阵A为负定矩阵；(3) f 0,则称f为半正定二次型，并称实对称矩阵 A为半正定矩阵；(4) f 0,则称f为半负定二次型，并称实对称矩阵 A为半负定矩阵；(5) f既不满足(3),又不满足(4)，则称f为不定二次型，并称实对称矩阵A为不定矩阵.例842 已知A和B都是n阶正定矩阵，证明A B也是正定矩阵.证明：因为A和B都是n阶正定矩阵，所以AtA, BtB,于是(A B)T AT BT a BB也是对称矩阵.又任意X 0
25、,有 xtAx 0,xtBx 0,从而xt(A B)x xtAx xt Bx 0即xT(A B)x是正定二次型，故A B是正定矩阵.定理8.4.3 n元实二次型f(X1,X2,II，Xn) XTAx正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.证明：设n元实二次型f(Xi,X2,Xn) xtAx经过非退化线性替换 X Cy化为标准形n. 2diWi 1充分性已知di 0(i1,2,卅，n),对于任意X 0有y C 1x0,故n2di yi0i 1必要性用反证法.假设有某个dt 0,当取y tf xtAx tTCTAC t dt 0(0,|,1,川,0)T 时，有 X C t 0,此时这与已知f为正
26、定二次型矛盾.故di0(i1,2,卅，n).证毕.推论8.4.4实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正数.推论8.4.5实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A合同于单位矩阵 E.推论8.4.6实对称矩阵A为正定矩阵的必要条件是 det A 0.证明：因为A为正定矩阵，由推论8.4.5,A合同于单位矩阵 E,所以有可逆矩阵 C使ctec ctc两边取行列式，有det A det(CTC)T2detC detC (detC) 0.所以我们下说明：从定义可以看出，如果我们根据定义来判断二次型的正定性是比较麻烦的 面给出一个方便判断的结论 定义8.4.7 子式a11ai2aiia21
27、a22a2i11hl11ai1a 2aiii,(i1,2jj|,n)称为矩阵A (aij)nn的顺序主子式.定理8.4.8 n元实二次型f(x1,X2,II，Xn)xtAx正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零.n证明：f (X1,X2,|,Xn) XTAxi 1naij Xi Xj必要性.已知二次型f是正定的.令fk(Xi,X2,Xk)kaijXiXj(k 1,2,1 |, n)j 1则对任意的列向量(X1,X2,|H,Xk)T 0,有fk(X1,X2,Xk)f (X1,X2, M Xk,0,川,0) 0 (k 1,2，川,n)从而fk(X1,X2,H|,Xk)是k元正定二次型.由上面
28、的推论8.4.6知，a11 a12a1ka21 a22a2kkIII IIIIak1ak2IIakk0,(k1,2,n)充分性.已知0(k 1,2,II,n).对阶数n作数学归纳法2.当 n 1 时，f311X1 ,由1 a11f是正定的.假设论断对n 1元二次型成立.以下来证n元二次型的情形.注意到a110,将f关于X1配方，得(a11X1312 X2a112a1nXn)nbijXiXji 2 j 2其中bijaija1ia1 ja11(i, j 2,3,n)k由 aij ajibjXjXj是正定的，则由定义知f也知bij bji .如杲能证明n 1元实二次型i 2是正定的.根据行列式性质，
29、得b2na11a21a12a22a1ka2kr ai1 ra110a12aikb2kkIIIDIIrir1a11IIII)1ak1ak2akki 2,3，卅,n0bk2bkk|a11 :bk2从而由归纳假设知nb22bk2b2nbkk|0(kZ3,1n)bkk(k 2,3”，n)1元实二次型ibijXXj是正定的.证毕.2例849判断下列二次型的正定性2X24X1X28X1X3 4X2X3二次型f的矩阵为因为所以f是正定的.5245 210,32122 14251 5 0, 21 0.例8.4.10 试求t的取值范围，使下列二次型为正定二次型f x12 4x224 x32 3x422tXiX2
30、 2x1x3 4X2X3；解：二次型对应的矩阵为矩阵A的顺序主子式为1i11 1 0, 21t11 t 4 t2, 3t42t 11244(t 1)(t 2),12(t1)(t2)为了使A正定,必须有：0(i123,4)即有t20,(t 1)(t 2)0解得 2 t 1.最后，我们注意到正、负定二次型的关系，于是有下面的结论.定理8.4.11n元实二次型 f(x1,x2,Xn) xTAx负定的充分必要条件是下列条件之一成(1)f的负惯性指数为n ；A的特征值全为负数；A合同于 E;xtAx半正定的充分必要条件是下列条件之一成A的各阶顺序主子式负正相间，即奇数阶顺序主子式为负数，偶数阶顺序主子式
31、为正数 定理 8.4.12 n 元实二次型 f(x1，x2j，xn)(1)f的正惯性指数与秩相等；A的特征值全为非负数；A合同于 Er 0，其中r为矩阵A的秩；0 0存在实矩阵C使得A CTC;A的各阶主子式都非负，其中主子式就是指行指标与列指标相同的子式说明：仅有顺序主子式非负是不能保证半正定性的.如2f(X1,X2)X2(为，X2)0x11 X2就是一个反例.习题八(A)1.证明：秩等于r的对称矩阵等于r个秩为1的对称矩阵之和.2.设,in是n的一个排列，则下面两个对角阵i2合同。in3.若可逆矩阵 A和B合同，求证： A 1和B1也合同.4. 用配方法把下列二次型化成标准形4X|X2 2
32、x1X3 2x2X3;2 2x1 2x1x2 2x2 4x2x34x32 ；x12 x22 2x1x2 4x1x32X2X3 2x2x42x3X4 ；X1X2X1X3X1X4X2X3X2X4X3X45. 用初等变换法把下列二次型化为标准形，并求可逆矩阵3(X12X122X22X32x4 ) 2x1x2 2x1x4 2x2X32X2X4 2X3X4 ；2X1XiX22X23x324X|X42X|X3 2x2X3 ；3x32X2X32x1x22X1X34x2x48X2X3；6X3X46. 设A是一个n阶矩阵，证明(1)A是反对称矩阵当且仅当对于任一个n维向量X，有 XTAX 0 ；(2)如果A是对
33、称矩阵，且对任一个 n维向量X有XtAX 0，那么A 0.7.如果把实n阶矩阵按照合同分类，即两个实n阶矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类?8.证明：一个秩大于1的实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式之积的充分必要条件是它的秩等于2且符号差等于零9.设n阶实对称矩阵 A是正定的，P是n阶实可逆矩阵，证明:ptap也是正定矩阵.10.设A是n阶实对称矩阵，证明：A是正定的当且仅当存在n阶实可逆矩阵P，使得A pTp.11.设A是一个正定矩阵，证明:(1 )对于任意正实数 k，kA是正定矩阵；(2 )对于任意正整数k，Ak是正定矩阵;1 *(3)A 是正定矩阵；(4)A的伴随矩阵 A也
34、是正定矩阵.12.判别下列二次型是否正定:(1) 5x128 x225 x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3 ；2 2 2(2)10X1 8X1X2 24X1X3 2X2 28X2X3 X3 ；n2(3)i 1XiXj ；1 i j nn(4)i 1n 1XXi 1i 113.如下列二次型是正定的，求（1） 5x12 x22x32 4x1x2的取值范围:2xiX3 2x2X3 ；2 2 2(2)X14x2X32 X1X210x1X3 6x2X314.设a是实对称矩阵，证明：当实数 t充分大之后，tE a是正定矩阵.15.设A是一个n阶实对称矩阵，且I A I 0 ,证明：必存在实n维向
35、量X 0 ,使XtAX 0.n216.证明：n xi 1n2（Xi）是半正定的.i 1习题八（B）1.用非退化的线性替换化下列二次型为标准形:(1) X1X2 X2X3Xn 1Xn ；n(2) x2i 1XiXj1 i j n2.设实二次型f (X1,X2,1(- Xn)(ai1X1ai 2X2ainXn)2 证明：f(X1,X2,I I ,Xn )的秩等于矩阵311a12321I322*a2n+as1as2asn的秩.3.设 fn22J2X1X2iXnX2川 Xn）2的正惯性指数为 p，秩为r，证明: n4.设 f(X1,X2,|,Xn) XTAX是一实二次型，若有实 n维向量X1,X2使证
36、明：必存在实n维向量XoX1tAX10,X2tAX200，使 X0TAX00.5.设A是一个n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c使对任一个实n维向量X都有|XTAX | cXTX22y26.设实二次W，Xn)yyiaiiXiai2X2型 f(X1,X2,III ainXn(i 1,2j|j,k s)，求证:IIIf22yk yk 12yk s的正惯性指数p k,负惯性指s.7.设f2XinbXxn i 1，其中a,b是实数，问i 1a, b满足什么条件时二次型f是正定的?8.证明(1)如果aijXXj (aij a”)是正定二次型，那么 j 1f(yi,y2,齐)a11a12Cn*a21pa22d2n目21pan144an24n* t yny1y2yn0是负定二次型;(2 )如果A是正定矩阵，那么|A| ann Pn 1，这里的Pn1是A的n 1级顺序主子式;(3)如果A是正定矩阵，那么|A| a11a22ann ；(4)如果T(tj)是n阶实可逆矩阵，那么|T |2(t： t；i IIItn2).i 19.