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1、南京市2009届高三第一次调研考试数学试题2009.3一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、计算：= 。 2、若复数是虚数单位）为纯虚数，则= 。 3、某人5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，。已知这组数据的平均数为10，则其方差为 。 4、已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21 ，则 。 5、设是两个集合，定义集合，若，则 。6、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 。7、已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为 。8、过椭圆的左顶点作斜率为的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为。若，则该椭圆的离心率为 。9、若方程在区间上有解，则所有满足条件
2、的的值的和为 。10、如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔、，灯塔位于灯塔的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西方向，与相距海里的处；乙船位于灯塔B的北偏西方向，与相距5海里的处，则两艘船之间的距离为 海里。 11、如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，若截面是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 。12、设：函数在区间上单调递增；，如果“p”是真命题，“P或q”也是真命题，那么实数的取值范围是 。13、如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 。 14、已知函数，是其图象上不同的两点.若直线的斜率总满足，则实数的值是 。二、解答题15、（本
3、题满分14分） 某学校篮球队，羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1) 该队员只属于一支球队的概率；（2）该队员最多属于两支球队的概率16、（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面中为菱形，为的中点。（1） 若，求证：平面平面；（2） 点在线段上，试确定实数的值，使得平面。17、（本题满分14分）已知函数。（1） 求函数在上的值域；（2） 在中，若，求的值。 18、（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知抛物线横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5。（1） 求抛物线的标准方程；（2） 设点是抛物线上的动点，若以为圆心
4、的圆在轴上截得的弦长为，求证： 圆过定点。 19、（本题满分16分）设，函数.(1) 当时,求曲线在处的切线方程;(2) 当时,求函数的最小值.20、（本题满分16分）在数列中，已知，且，（1） 若数列为等差数列，求的值。（2） 求数列的前项和（3） 当时，求证：南京市2009届高三第一次调研试数学附加题21、选做题(在四小题中只能选做2题，每小题10分,共计2分).选修：几何证明选讲 如图，已知四边形内接于O,切O于点.求证：.B.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵，。在平面直角坐标系中，设直线 在矩阵对应的变换作用下得到的曲线，求曲线的方程。C.选修4-4;坐标系与参数方程 已知直线和参数方
5、程为 ,是椭圆上任意一点，求点到直线的距离的最大值。D选修4-5：不等式选讲 已知为正数，求证：.必做题：第22题、第23题每题10分，共20分。22已知圆：，定点（1，0），动圆过点，且与圆相内切。 （1）求点的轨迹的方程； （2）若过原点的直线与（1）中的曲线交于两点，且的面积为，求直线的方程。23.已知：（1）当时，求的值。（2）设，。试用数学归纳法证明： 当时，参考答案一、 填空1、；2、；3、；4、；5、；6、5；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、。二、解答题 15、（本题满分14分）解：（1）（设“该队员只属于一支球队的”为事件A，则事件A的概率 （2）设“该
6、队员最多属于两支球队的”为事件B，则事件B的概率为答：（略）16、（本题满分14分）解：（1）连，四边形菱形 ， 为的中点， 又 ， （2）当时，使得，连交于，交于，则为 的中点，又为边上中线，为正三角形的中心，令菱形的边长为，则，。 即： 。17、解：（1） ， 在区间上的值域为 （2） ， ， 18、解：（1）依题意，得：，。 抛物线标准方程为： （2）设圆心的坐标为，半径为。 圆心在轴上截得的弦长为 圆心的方程为： 从而变为： 对于任意的，方程均成立。故有： 解得： 所以，圆过定点（2，0）。19、解（1）当时， 令 得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1， 所以曲线在处的切线方程为：
7、。 （2）当时， ，恒成立。 在上增函数。故当时， 当时，（）（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，且此时(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数故当时，且此时(iii)当；即 时，在时为负数，所以在区间1,e上为减函数，故当时，。综上所述，当时，在时和时的最小值都是。所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为。当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为所以函数的最小值为20、解：（1）设数列的公差为，则， 依题得：，对恒成立。即：，对恒成立。所以，即：或，故的值为2。（2） 所以， 当为奇数，且时
8、，。 相乘得所以 当也符合。 当为偶数，且时， 相乘得所以 ，所以 。因此 ，当时也符合。所以数列的通项公式为。当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 所以 南京市2009届高三第一次调研试数学附加题参考答案21、选做题 .选修：几何证明选讲 证明：因为切O于点，所以 因为，所以 又A、B、C、D四点共圆，所以 所以 又，所以所以 即所以 即：B.选修4-2：矩阵与变换解:由题设得,设是直线上任意一点,点在矩阵对应的变换作用下变为,则有, 即 ,所以因为点在直线上,从而,即：所以曲线的方程为 C.选修4-4;坐标系与参数方程解： 直线的参数方程为 为参数）故直线的普通方程为 因为为椭圆上任意点，故
9、可设其中。 因此点到直线的距离是所以当，时，取得最大值。D选修4-5：不等式选讲证明：，所以 必做题：第22题、第23题每题10分，共20分。22、解：（1）设圆的半径为。扇形的面积S扇形=LR2 因为圆与圆，所以 所以，即：当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆且设椭圆方程为其中 ，所以 所以曲线的方程3、学习并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。 （2）因为直线过椭
10、圆的中心，由椭圆的对称性可知，点在圆外 dr. 因为，所以。 不妨设点在轴上方，则。所以，即：点的坐标为或所以直线的斜率为，故所求直线方和程为23、（1）当时， 原等式变为(1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.令得 四、教学重难点： （2）因为 所以 当时。左边=，右边 左边=右边，等式成立。1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。假设当时，等式成立，即176.186.24期末总复习那么，当时，函数的取值范围是全体实数；左边 右边。故当时，等式成立。(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.综上，当时，