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1、江苏省南京市2009届高三第一次调研考试数学试题2009.3一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、计算：= 。 2、若复数是虚数单位）为纯虚数，则= 。 3、某人5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，。已知这组数据的平均数为10，则其方差为 。 4、已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21 ，则 。 5、设是两个集合，定义集合，若，则 。6、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 。7、已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为 。8、过椭圆的左顶点作斜率为的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为。若，则该椭圆的离心率为 。9、若方程在区间上有解，则所有满
2、足条件的的值的和为 。10、如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔、，灯塔位于灯塔的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西方向，与相距海里的处；乙船位于灯塔B的北偏西方向，与相距5海里的处，则两艘船之间的距离为 海里。 11、如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，若截面是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 。12、设：函数在区间上单调递增；，如果“p”是正真命题，那么实数的取值范围是 。13、如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 。 14、已知函数，是其图象上不同的两点.若直线的斜率总满足，则实数的值是 。二、解答题15、（本题满分14分）
3、 某学校篮球队，羽毛球队、乒乓球队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1) 该队员只属于一支球队的概率；（2）该队员最多属于两支球队的概率16、（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面中为菱形，为的中点。（1） 若，求证：平面平面；（2） 点在线段上，试确定实数的值，使得平面。17、（本题满分14分）已知函数。（1） 求函数在上的值域；（2） 在中，若，求的值。 18、（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知抛物线横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5。（1） 求抛物线的标准方程；（2） 设点是抛物线上的动点，若以为圆心的圆在轴上截得的弦长为，求
4、证： 圆过定点。 19、（本题满分16分）设，函数.(1) 当时,求曲线在处的切线方程;(2) 当时,求函数的最小值.20、（本题满分16分）在数列中，已知，且，（1） 若数列为等差数列，求的值。（2） 求数列的前项和（3） 当时，求证：南京市2009届高三第一次调研试数学附加题21、选做题(在四小题中只能选做2题，每小题10分,共计2分).选修：几何证明选讲 如图，已知四边形内接于O,切O于点.求证：.B.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵，。在平面直角坐标系中，设直线 在矩阵对应的变换作用下得到的曲线，求曲线的方程。C.选修4-4;坐标系与参数方程 已知直线和参数方程为 ,是椭圆上任意一点，
5、求点到直线的距离的最大值。D选修4-5：不等式选讲 已知为正数，求证：.必做题：第22题、第23题每题10分，共20分。22已知圆：，定点，动圆过点，且与圆相内切。 （1）求点的轨迹的方程； （2）若过原点的直线与（1）中的曲线交于两点，且的面积为，求直线的方程。23已知：（1）当时，求的值。（2）设，。试用数学归纳法证明： 当时，参考答案一、 填空1、；2、；3、；4、；5、；6、5；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、。二、解答题 15、（本题满分14分）解：（1）（设“该队员只属于一支球队的”为事件A，则事件A的概率 （2）设“该队员最多属于两支球队的”为事件B，则事
6、件B的概率为答：（略）16、（本题满分14分）解：（1）连，四边形菱形 ， 为的中点， 又 ， （2）当时，使得，连交于，交于，则为 的中点，又为边上中线，为正三角形的中心，令菱形的边长为，则，。 即： 。17、解：（1） ， 在区间上的值域为 （2） ， ， 18、解：（1）依题意，得：，。 抛物线标准方程为： （2）设圆心的坐标为，半径为。 圆心在轴上截得的弦长为 圆心的方程为： 从而变为： 对于任意的，方程均成立。故有： 解得： 所以，圆过定点（2，0）。19、解（1）当时， 令 得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1， 所以曲线在处的切线方程为：。 （2）当时， ，恒成立。 在上增函
7、数。故当时， 当时，（）（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，且此时(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数故当时，且此时(iii)当；即 时，在时为负数，所以在区间1,e上为减函数，故当时，。综上所述，当时，在时和时的最小值都是。所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为。当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为所以函数的最小值为20、解：（1）设数列的公差为，则， 依题得：，对恒成立。即：，对恒成立。所以，即：或，故的值为2。（2） 所以， 当为奇数，且时，。 相乘得所以 当也符合。 当为偶数
8、，且时， 相乘得所以 ，所以 。因此 ，当时也符合。所以数列的通项公式为。当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 所以 南京市2009届高三第一次调研试数学附加题参考答案21、选做题 .选修：几何证明选讲 证明：因为切O于点，所以 因为，所以 又A、B、C、D四点共圆，所以 所以 又，所以所以 即所以 即：B.选修4-2：矩阵与变换解:由题设得,设是直线上任意一点,点在矩阵对应的变换作用下变为,则有, 即 ,所以因为点在直线上,从而,即：所以曲线的方程为 C.选修4-4;坐标系与参数方程解： 直线的参数方程为 为参数）故直线的普通方程为 因为为椭圆上任意点，故可设其中。 因此点到直线的距离是所以当
9、，时，取得最大值。D选修4-5：不等式选讲证明：，所以 必做题：第22题、第23题每题10分，共20分。22、解：（1）设圆的半径为。6 确定圆的条件: 因为圆与圆，所以2、加强家校联系，共同教育。 所以，即：5.圆周角和圆心角的关系: 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆且设椭圆方程为其中 ，所以切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 所以曲线的方程设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；dr 直线L和O相交. （2）因为直线过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知， 因为，所以。 不妨设点在轴上方，则。所以，即：点的坐标为或所以直线的斜率为，故所求直线方和程为23、（1）当时， 原等式变为12.与圆有关的辅助线33.123.18加与减（一）3 P13-17令得 （2）因为 所以 当时。左边=，右边七、学困生辅导和转化措施 左边=右边，等式成立。假设当时，等式成立，即那么，当时，左边 右边。|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。故当时，等式成立。综上，当时，4.二次函数的应用： 几何方面