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1、南通、泰州、扬州2012届高三第一次调研测试 数学试题南通市2012届高三第一次调研测试 数学? 参考公式: nn2211xxx(1)样本数据，的方差，其中. sxx,xx,()12n,iinn,11ii,fxx()sin,，fxx()cos,，,，,(2)函数的导函数，其中都是常数. ，一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分(请把答案直接填写在答题卡相应位( 置上(22xOyyx,11( 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为 ? . a1 ,b2 ,i12i34i，,，z2( 若复数z满足(是虚数单位)，则z = ? . ， c3 ,ca ,3( 在右图的算法中，最后输出的a，b
2、的值依次是 ? . ab ,bc ,4( 一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差 Print a，b 为 ? . (第3题) 2U,Axxxx,20?，ZA,5( 设全集Z，集合，则 ? .(用列举法表示) ,U1xOyab,6( 在平面直角坐标系中，已知向量a = (1，2)，(3，1)，则 ? . ,ab,27( 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2 号盒子中各有1个球的概率为 ? . yxx,，18. 设P是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，,，则 的取值范围是 ? .
3、x122yx,logyx,9( 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数，的y,，222图象上， 且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为 ? . 10(观察下列等式: y 311, ， B A 332129，, ， 1 D C 1 O 1 x (第9题) 33312336，, ， 33331234100，, ， 3333*123，,，,nn,N猜想: ? (). FABCDABCD,AADCG11(在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点E1111111为正方形 BBCCAEFG的中心. 则空间四边形在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面11积的最
4、大 值为 ? . ，axxax?sinaa,12(若对任意的都成立，则的最小值为 ? . x,0，1221,2，y 13(如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别为椭圆 12B 22yxab,0()的左、右焦点，B，C分别为椭 ，,122abD圆的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一交点为. 2FF O x 127CD若，则直线的斜率为 ? . cos，,FBF12D 2514(各项均为正偶数的数列a，a，a，a中，前三项依次成 1234C (第13题) 公差为d(d 0)的等差数列，后三项依次成公比为q的 aa,88等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为 ? . 41二、解答题:本大题
5、共6小题，共90分(请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字(说明、证 明过程或演算步骤( 15(本小题满分14分) ABC 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c. a2sincossinACB,(1)若，求的值; ctanAsin(2)3sinABB，,(2)若，求的值. tanC2 16(本小题满分14分) ABAD,ABCDABCD,AACC/ABAD,如图，在六面体中，.求证: 11111111D1AABD,(1); 1C 1 A1BBDD/(2). 11B 1D C A B 17(本小题满分14分) (第16题) 将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种
6、植150捆白杨树苗，B组种植200捆 沙棘树苗(假定A，B两组同时开始种植. 2(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用51时小时.应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短, 2(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍2为小时， 52而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加3入B组继 续种植，求植树活动所持续的时间. 18(本小题满分16分) 22xOyCC(1)1xy，,如图，在平面直角坐标系中，已知圆:，圆:1222(3)(4)1xy,，,( C(1 0),，Cl(1)若过点的直线被
7、圆截得的弦长为 y 12. C 62l，求直线的方程; 5CCC(2)设动圆同时平分圆的周长、圆的周长( 12. OC x1 3 (第18题) ?证明:动圆圆心C在一条定直线上运动; C?动圆是否经过定点,若经过，求出定点的 坐标;若不经过，请说明理由( 19(本小题满分16分) fxxx()sin,，已知函数( fx()(1)设P，Q是函数图象上相异的两点，证明:直线PQ的斜率大于0; ，fxaxx()cos?(2)求实数的取值范围，使不等式在上恒成立( 0，a，220. (本小题满分16分) 2*n,Nk,Naaa,a设数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，nnknnk2则称 a
8、数列为“J型”数列. knaa,8a,1a(1)若数列是“J型”数列，且，求; 2n282naa(2)若数列既是“J型”数列，又是“J型”数列，证明:数列是等比数列. 34nn南通市2012届高三第一次调研测试 数学?(附加题) 21(【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作(答( (若多做，则按作答的前两题评分(解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤( A(选修41:几何证明选讲 4 (本小题满分10分) ,3，CD切半圆O于点D， DE?AB， 如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC垂足 D 为E(若AE?EB 3?1，求DE的长( ,? C
9、 E A O B (第21,A题) B(选修42:矩阵与变换 (本小题满分10分) 01，ykx, 在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点,10，P(41), ， k求实数的值( C(选修44:坐标系与参数方程 (本小题满分10分) ,asina,0 在极坐标系中，已知圆()与直线,cos1相切，求实数a的值( ，,，,D(选修45:不等式选讲 (本小题满分10分) (2)(2)(2)27abc，?babc,1 已知正数，满足，求证:( ac【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分(请在答题卡指定区域内作答，解答时(应写出文 字说明、证明过程或演算步骤( 22
10、(本小题满分10分) 5 2a*1na已知数列满足:，( ,Na,an ()n1，n12，a1naa(1)求，的值; 23*0,aan,N(2)证明:不等式对于任意都成立( nn，123(本小题满分10分) xOy如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点为F(1，0)(过抛物线在轴上 xDACCAC方的不同两点、作抛物线的切线、，与轴分别交于、两点，且与ABBDx交于 BDMBCN点，直线与直线交于点( ADy A (1)求抛物线的标准方程; M MN(2)求证:轴; ,xB MN(3)若直线与轴的交点恰为F(1，0)， xN O C D F x 求证:直线过定点( AB南通市201
11、2届高三第一次调研测试 数学?参考答案及评分建议 (第23题) 一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法(每小题5分，共70分( 22xOyyx,11( 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为 ? . a1 ,b2 ,2 答案: c3 ,i12i34i，,，z2( 若复数z满足(是虚数单位)，则z = ? . ， ca ,ab , 答案:1 + 2i bc ,3( 在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是 ? . Print a，b (第3题) 答案:2，1 4( 一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ? . 答案:0.02 2U,Ax
12、xxx,20?，ZA,5( 设全集Z，集合，则 ? (用列举法表示). ,U6 答案:0，1 1xOyab,中，已知向量a = (1，2)，(3，1)，则 ? . 6( 在平面直角坐标系ab,2答案:0 7( 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2 号盒子中各有1个球的概率为 ? . 2答案: 9yxx,，(1)8. 设P是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为,，则 的取值范围是 ? . ，答案: ，y ，,32，9( 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数 B A 2x1 22yx,logyx,，的图象上，且矩形
13、 y,，221 2D C 的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则 1 O x 点D的坐标为 ? . (第9题) 11答案: ，2410(观察下列等式: 311, ， 33129，, ， 33312336，, ， 33331234100，, ， 3333*123，,，,nn,N猜想: ? (). 2nn(1)， 答案: ,2，FABCDABCD,AADCG11(在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点E1111111为正方形 BBCCAEFG的中心. 则空间四边形在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，117 面积的最 大值为 ? . 答案:12 ，axxax?sinaa,12
14、(若对任意的都成立，则的最小值为 ? . x,0，1221,2，y 2 答案: 1,B 13(如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别为椭圆 1222yxab,0()的左、右焦点，B，C分别为椭圆 ，,122ab FF O x 12D的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一交点为. 若 D 27CD，则直线的斜率为 ? . cos，,FBF12C 25(第13题) 12答案: 2514(各项均为正偶数的数列a，a，a，a中，前三项依次成公差为d(d 0)的等差数列，1234后三项 aa,88依次成公比为q的等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为 41? . 58答案: ， ,37二、解答题
15、 15(本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查 运算求解能力(满分14分( ABC 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c. a2sincossinACB,(1)若，求的值; ctanAsin(2)3sinABB，,(2)若，求的值. tanCsinAa解:(1)由正弦定理，得( ,sinBb2sincossinACB, 从而可化为2cosaCb,( 3分 222abc，, 由余弦定理，得2ab，,( 2ab8 ，即 整理得ac,a. 7分 ,1cABCABC，, (2)在斜三角形中， sin(2)3sinABB，,sin3sin，,，
16、,，ACAC 所以可化为， ，即,，sin3sinACAC(10分 ，,，,，sincoscossin3(sincoscossin)ACACACAC 故( 整理，得4sincos2cossinACAC,， 12分 ,0 因为?ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC， 所以tan1A(14分 ,tan2C16(本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力(满分 14分( ABAD,ABCDABCD,AACC/ABAD,如图，在六面体中，.求证: 11111111 D1C AABD,(1); 11 A1BBDD/(2). B 111MAM证明:(1)取线段的
17、中点，连结、， BDAM1D C M ADAB,ADAB, 因为， 11A B (第16题) 所以，BDAM,BDAM,(3分 1BD,AMAMM,AMAM、,AAMAAM 又，平面，所以平面( 1111AA,AAM 而平面， 11所以AABD,.7分 1AACC/ (2)因为， 119 AA,DDCCCC,DDCC 平面，平面， 111111AA/ 所以平面1DDCC(9分 11AA,AADDAADD 又平面，平面平面11111DDCCDD,，11分 111AADD/AABB/ 所以(同理得， 1111所以BBDD/(14分 1117(本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数
18、学阅读、运算求解及解决实际问 题的能力(满分14分( 将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆 沙棘树苗(假定A，B两组同时开始种植( 2(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用51时小时.应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短, 2(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍2为小时， 52而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加3入B组继 续种植，求植树活动所持续的时间. *052,xx,N 解:(1)设A组人数为，且， x则A组活动所需
19、时间2150，605;2分 fx(),xxB组活动所需时间1200，1002(4分 gx(),5252,xx10 3960100fxgx()(),，即，解得( 令x,2xx52,所以两组同时开始的植树活动所需时间 *60,， ?，xx19,N,x Fx(),*100,，?，xx20.,N52,x,6分 6025FF(19)(20), 而故( F(19),，F(20),，19820 32， 所以当A、B两组人数分别为时，使植树活动持续时间最短(8分 2150201，,，65 (2)A组所需时间为1+(小,32067,时)，10分 2200321，,，23 B组所需时间为(小13，,3263，时)
20、， 12分 6 所以植树活动所持续的时间为小37时( 14分 18(本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考 查运算求解、分析探究及推理论证的能力(满分16分( 22xOyCC(1)1xy，, 如图，在平面直角坐标系中，已知圆:，圆:1222(3)(4)1xy,，,( y C(1 0),，lC(1)若过点的直线被圆截得的弦长为 12l 16l ，求直线的方程; l C 225CCC(2)设动圆同时平分圆的周长、圆的周长( 12C ?证明:动圆圆心C在一条定直线上O C 才 x111 (第18题) 运动; C?动圆是否经过定点,若经过，求出定点的 坐标
21、;若不经过，请说明理由( ykx,，(1)kxyk,，,0l 解:(1)设直线的方程为，即( 6lCC 因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1， 225C(3 4)，kxyk,，,0l所以圆心到:的距离为244k,4(3分 ,25k，12341225120kk,，, 化简，得，解得或( k,k,434340xy,，,l 所以直线的方程为或3430xy,，,(6分 Cxy( )，CCCC, (2)?证明:设圆心，由题意，得， 122222(1)(3)(4)xyxy，,，, 即( xy，,30 化简得， xy，,30即动圆圆心C在定直线上运动(10分 Cmm(3)，,C ?圆过定点，设， 222
22、11(1)(3)，,，,CCmm则动圆C的半径为( 12222()(3)1(1)(3)xmymmm,，,，,，,于是动圆C的方程为( 整理，得22xyymxy，,，,622(1)0(14分 33,x,，12，x,12，xy,，,10，,22由得或 ,2233 620xyy，,，, 22y,，; 22.y,2,233 所以定点的坐标为，12 22,，2233(16分 12 22，2212 19(本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方 法进行探究、分析与解决问题的能力(满分16分( fxxx()sin,，已知函数( fx()(1)设P，Q是函数图象上相
23、异的两点，证明:直线PQ的斜率大于0; ，fxaxx()cos?(2)求实数的取值范围，使不等式在上恒成立( 0，a，2,fxx()1cos0,，? 解:(1)由题意，得( fxxx()sin,， 所以函数在R上单调递增( yy,12Pxy( )，Qxy( )， 设，则有，即,01122xx,12k,0( 6分 PQfxxxaxx()sin0cos,，?a?0 (2)当时，恒成立(8分 gxfxaxxxxaxx()()cossincos,，,a,0 当时，令， gxxaxxx()1cos(cossin),，, ,，,，1(1)cossinaxaxx ( 10,a?01,a?gxaxaxx()1
24、1cossin0,，,，, ?当，即时， ，gx() 所以在上为单调增函数( 0，2gxga()(0)0sin00cos00?,，,，, 所以，符合题意( 10分 hxgxaxaxx()()1(1)cossin,，,，10,aa,1 ?当，即时，令， hxaxaxx()(21)sincos,， 于是( a,1210a,hx()0? 因为，所以，从而( ，hx() 所以在上为单调增函数( 0，2 所以，即， hhxh(0)()?2()1,，ahxa?，22亦即(12分 2()1,，agxa?220,a?12,a?gx()0?(i)当，即时， 13 ，gx()gxg()(0)0?,所以在上为单调增
25、函数(于是，符合题意(0，214分 20,aa,2(ii)当，即时，存在，使得 x,0，0，2xx,(0 )，gx()0,gx()(0)，x当时，有，此时在上为单调减函数， 00gxg()(0)0,gx()0,从而，不能使恒成立( 综上所述，实数的取值范围为aa?2(16分 20(本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证 的能力(满分16分( 2*n,Nk,Naaa,a设数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，nnknnk2则称 a数列为“J型”数列( knaa,8a,1a(1)若数列是“J型”数列，且，求; 2n282naa(2)若数列既是
26、“J型”数列，又是“J型”数列，证明:数列是等比数列. 34nn13a18aaaa解:(1)由题意，得，成等比数列，且公比， q,2468，a22所以n,4n,11( 4分 aaq,，22n，2aJ (2)证明:由是“型”数列，得 n4aaaaaa ，成等比数列，设公比为. t1591317216分 aJ 由是“型”数列，得 n3aaaaa, ，成等比数列，设公比为; 1471013114 aaaaa, ，成等比数列，设公比为; 25811142aaaaa,，成等比数列，设公比为; 36912153aaa434343131721 则，( ,ttt123aaa159, 所以，不妨记，且12312
27、343t,( 12分 (32)1k,k,13aaa, 于是， ，3211k,2,(31)1k,k,kk2233 aaataa,， ，,315111k1,31k,k,kk32333 aaataa,， ，39111kn,13aaa, 所以，故为等比数，nn1列(16分 南通市2012届高三第一次调研测试 数学?附加题参考答案及评分建议 21(【选做题】 A(选修41:几何证明选讲 本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力(满分10分( ,3 如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC，CD切半圆O于点D， DE?AB，D 垂足 为E(若AE?EB 3?1，求DE的长( ,解:连接
28、AD、DO、DB( ? C A O E B DOOE, 由AE?EB3?1，得?2?1( ,(第21,A题) ，,DOE60 又DE?AB，所以( ODB 故?为正三角形(5分 ，,，DACBDC30 于是( ，,ABD60，,，CBDC30 而，故( 15 DBBC,3 所以( OBD 在?中，33(10分 DEDB,22B(选修42:矩阵与变换 本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力(满分10分( 01，ykx, 在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点,10，P(41), ， k求实数的值( ,xxxxy01xy,， ，, 解:设变换T:，则，即,
29、yy10yyxyx,. ，,5分 ,ykx,xky, 代入直线，得( P(4 1)， 将点代入上式，得k4(10分 ,C(选修44:坐标系与参数方程 本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力(满分10分( ,asina,0 在极坐标系中，已知圆()与直线,cos1相切，求实数a的值( ，,，,2222aa2,asinxyay，,xy，, 解:将圆化成普通方程为，整理，得( ，24,cos1 将直线化成普通方程为，,，,xy,20( 6分 a,22a,a,，422 由题意，得(解得( 2210分 16 D(选修45:不等式选讲 本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论
30、证能力(满分10分( (2)(2)(2)27abc，?babc,1 已知正数，满足，求证:( ac证明:(2)(2)(2)abc，,，(11)(11)(11)abc 4分 333?333,abc 3,27abc ,27abc,1 (当且仅当时等号成立)( 10分 22(【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力(满 分10分( 2a*1na已知数列满足:，( ,Na,an ()n1，n12，a1naa(1)求，的值; 23*0,aan,N(2)证明:不等式对于任意都成立( nn，1(1)解:由题意，得24( 2分 aa,， 23350,aan,1(2)证
31、明:?当时，由(1)，知，不等式成立(124分 *0,aankk,()N ?设当时，成kk，1立，6分 a,0nk,，1 则当时，由归纳假设，知( k，1而2121aaaa，,，222()aaaa,kkkk，11kkkk，11， aa,0kk，21aaaaaa，11(1)(1)(1)(1)kkkkkk，11117 0,aa 所以， kk，12nk,，1 即当时，不等式成立( *0,aan,N 由?，得不等式对于任意成nn，1立(10分 23(【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理 论证的能力(满分10分( xOy如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶
32、点在原点，焦点为F(1，0)(过抛物线在轴上 xDACCAC 方的不同两点、作抛物线的切线、，与轴分别交于、两点，且与ABBDx交 BDy A MBCN于点，直线与直线交于点( ADM (1)求抛物线的标准方程; B N MN(2)求证:轴; ,xO C D F x MN(3)若直线与轴的交点恰为F(1，0)， x求证:直线过定点( AB2ypxp,2(0)解:(1)设抛物线的标准方程为， (第23题) pp,2 由题意，得，即( ,12所以抛物线的标准方程为2yx,4(3分 Axy( )，Bxy( )，y,0y,0 (2)设，且，( 11221221,y,0yx,4yx,2 由()，得，所以
33、y,( x21AC 所以切线的方程为，即( yyxx,()yyxx,()1111y1x1yyxx,，2()整理，得， ? 11( 0),x，且C点坐标为( 118 tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；yyxx,，2()同理得切线的方程为，? BD22( 0),x，( 且D点坐标为2化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。y 由?消去，得(6）三角形的内切圆、内心.xyxy,1221(5分 x,Myy,121、认真研读教材，搞好课堂教学研究工作，向课堂要质量。充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生，让学生主动参与到各种数学活动中来，
34、提高学习效率，激发学习兴趣，增强学习信心。提倡学法的多样性，关注学生的个人体验。y1 又直线的方程为，? yxx,，()AD2xx，12y2BC 直线的方程为( ? yxx,，()1xx，12xyxy,1221y 由?消去，得( x,Nyy,12定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. （尺规作图）xx,MN 所以，即,xMN轴( 7分 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. （尺规作图）My(1 )，yyx,，2(1)yyx,，2(1) (3)由题意，设，代入(1)中的?，得，( 0011022（5）二次函数的图象与yax2的图象的关系：AxyBxy( ) ( )，yyx,，2(1) 所以都满足方程( 11220yyx,，2(1) 所以直线的方程为( AB02、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。故直线过定点AB3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。(1 0),，(10分 （2）经过三点作圆要分两种情况:19