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1、偏微分方程的matlab解法,1,优学课堂,1、设置PDE的定解问题即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式；和系数 2、用有限元法（FEM）求解PDE即网格的生成、方程的离散以及求出数值解； 3、解的可视化,主要讲述如何用MATLAB实现对偏微分方程的仿真求解MATLAB的偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）的出现，为偏微分方程的求解以及定性研究提供了捷径主要步骤为：,2,优学课堂,PDEToolbox注意事项,只能解决二维模型，一维的扩成二维，三维的缩成二维，时间维不计算在内公式类型，只能解决部分偏微分方程，由公式类型决定边界条件两种，Dirichlet和Neumann初始条件,3
2、,优学课堂,先确定方程大类,4,优学课堂,Draw Mode,画图模式，先将处理的区域画出来，二维，方形，圆形，支持多边形，可以手动更改坐标，旋转rotate例如，对于细杆导热，虽然是一维问题，可以将宽度y虚拟出来，对应于y的边界条件和初始条件按照题意制定,5,优学课堂,Boundary Mode,6,优学课堂,PDE Mode,PDE Specification，确定偏微分方程类型共有四种：,7,优学课堂,椭圆形Elliptic,8,优学课堂,抛物型Parabolic,9,优学课堂,双曲型Hyperbolic,10,优学课堂,Mesh Mode,网格划分，细化,11,优学课堂,Solve，P
3、lot,如果有初始条件（与t有关），则在Solve的Parameters里有其设定，如果没有初始条件（与t无关），则不必设定Plot只是确定画图的参数，包括是否动画，是否3D，是否画出等温线，是否有箭头。,12,优学课堂,Save As,保存成M-file，自动生成,13,优学课堂,例： 解热传导方程 边界条件是齐次类型，定解区域自定。 【解】第一步：启动MATLAB，键入命令pdetool并回车，就进入GUI在Options菜单下选择Gid命令，打开栅格，栅格使用户容易确定所绘图形的大小第二步：选定定解区域本题为自定区域：自拟定解区域如图22 1所示：E1-E2+R1-E3具体用快捷工具分别
4、画椭圆E1、圆E2、矩形R1、圆E3然后在Set formula栏中进行编辑并用算术运算符将图形对象名称连接起来(或删去默认的表达式，直接键入E1-E2+R1-E3),14,优学课堂,15,优学课堂,第三步：选取边界 首先选择Boundary菜单中Boundary Mode命令，进入边界模式然后单击Boundary菜单中Remove All Subdomain Borders选项。从而去掉子域边界，如图22 2单击Boundary菜单中Specify Boundary Conditions选项，打开Boundary Conditions对话框，输入边界件本例取默认条件，即将全部边界设为齐次Di
5、richlet条件，边界显示为红色如果想将几何与边界信息存储，可选Boundary菜单中的Export Decomposed GeometrvBoundary Conds命令，将它们分别存储在g、b变量中，并通过MATLAB形成M文件,16,优学课堂,17,优学课堂,第四步：设置方程类型选择PDE菜单中PDE Mode命令，进入PDE模式，再单击PDE菜单中PDE Secification选项，打开PDE Secification对话框，设置方程类型本例取抛物型方程故参数c,a,f,d,分别是l，0，10，1第五步：选择Mesh菜单中Initialize Mesh命令，进行网格剖分，选择Mes
6、h菜单中Refine Mesh命令，使网格密集化，如图22.3,18,优学课堂,19,优学课堂,第六步： 解偏微分方程并显示图形解选择Solve菜单中Solve PDE命令，解偏微分方程并显示图形解，如图 2.4 所示,20,优学课堂,21,优学课堂,第七步：单击Plot菜单中Parameter选项，打开Plot Selection对话框，选中Color,Height(3D plot)和Show mesh三项.再单击Polt按钮，显示三维图形解，如图22.5所示.,22,优学课堂,第八步：若要画等值线图和矢量场图，单击plot菜单中parameter 选项，在plot selection对话框
7、中选中contour 和arrow两选项。然后单击plot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图，如图2.6所示。,23,优学课堂,求解椭圆型方程的例子,24,优学课堂,求解抛物型方程的例子,考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。板的左边保持在100 C，板的右边热量从板向环境空气定常流动，其他边及内孔边界保持绝缘。初始 是板的温度为0 C ，于是概括为如下定解问题;,区域的边界顶点坐标为(-0.5,-0.8), (0.5,-0.8), (-0.5,0.8), (0.5,0.8)。内边界顶点坐标(-0.05,-0.4), (-0.05,0.4) ,(0.05,-0.4), (0.05,0.4)。,25,优学课堂,求解双曲型方程的例子,26,优学课堂,