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1、圆与扇形目tM蚱 例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.圆的面积=2 ;扇形的面积= C阴影=6 X C圆二C圆，所以C阴影=12.5666【答案】12.56例4下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米?【考点】圆与扇形【难度】3星【解析】割补法.如右图，格线部分的面积是36平方厘米.【答案】36【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米?【题型】解答 36平方厘米.【考点】圆与
2、扇形【难度】3星【解析】割补法.如右图，格线部分的面积是【答案】36例5如图，在18x8的方格纸上，画有1, 9, 9, 8四个数字.那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几?圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16 = 54 个，其中部分有 6+6+8 = 20个, _ 部分有6+6+8 =20（个），而1个所以阴影部分共包含54+20 =74（个）完整小正方形,和1个正好组成一个完整的小正方形，而整个方格纸包含8 M 18 = 144（个）完整小正方形.所以图中阴影面积占整个方格纸面积的上，即之.144723772在4X 7的方格
3、纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧.问阴影面积占纸板面积【考点】【难度】3星矩形纸板共28个小正方格，其中弧线都是【题型】解答11圆周，非阴影部分有3个完整的小正方形，其余部分可4拼成6个小正方格.因此阴影部分共2863=19个小正方格.所以，阴影面积占纸板面积的2828【例6】 在一个边长为 2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的 面积为平方厘米.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【关键词】西城实验【解析】采用割补法.如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等
4、腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半， 所以阴影部分的面积等于 22黑1=2平方厘米.2【答案】2【例7】 如图，止方形边长为 取 3.14) b【考点】圆与扇形【难【关键词】人大附中，分班考试 【解析】把中间止方形里向的 个止方形面积与四个 幻影=4MSl+4MS71,正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积.(兀111度】4星【题型】解答4个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四90口的扇形的面积之和，所以，= 4MS+酶 =4父12+兀父12 =4+兀=7.14 . -J【答案】7.14【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】
5、阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为4x44-2 = 8.【答案】8【例8】 图中的4个圆的圆心是正方形的 4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径 都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如下图所示：可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为（1x1 + 2）父4=0.5父4 = 2 （平方厘米），所以阴影部分的总面积为 2父4=8 （平方厘米）.【答案】8【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m,阴影部分的面积是 .【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析
6、】我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公 式也可以求出阴影部分面积.如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于（2 2.22）2 =16 （m2）.【答案】16【例9】 如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心.则花瓣图形的面积是多少平方厘米？（兀取3）【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解.如右上图，连接顶角上的 4个圆心，可得到一个边长为 4的正方形.可以看出，与原图相比，正方 形的每一条边上都多了一个半圆，所以可
7、以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下 4个-圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为44 +兀父1 =19（平万厘米）.【总结】在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形， 从而利用面积公式进行求解.这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需 要多多练习，这样才能快速找到切割拼补的方法、(圆周率取3.14)【例10如图中三个圆的半径都是 5cm,三个圆两两相交于圆心.求阴影部分的面积和.【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为5M
8、5M3.14+2=39.25(cm2)【答案】39.25Si ,空白部分面积为 S2 ,那么这两个部分如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形.设大圆半径为 r ,则 S2 =2r2, S, =/ -2r2,所以 S, : & =(3.142 ):2=57:100 .移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系.【答案】57:100【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】将右边的扇形向左平移，
9、如图所示.两个阴影部分拼成一个直角梯形.(5+10 )5+2 =75+2 =37.5(平方分米).【答案】37.5 【巩固】如图，阴影部分的面积是多少?222【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧!观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积.则阴影部分面积(2 2 2) 4 (2 2) 4 =8【答案】8【难
10、度】4星【例12】【题型】解答【考点】圆与扇形 【解析】法一：为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了.要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样.如此一来，就会出现一 个长方形的面积.因此，所求的面积为10M3 =30(cm2).由于原来的月牙形很难直接计算，我们可以尝试构造下面的辅助图形:辅助图形缩进的部分超出的部分如左上图所示，我们也可以这样来思考，让图形往右侧平移3cm就会得到右上图中的组合图形，而这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积.显然图中右侧延伸出了多少面积，左侧就会缩进多少面积. 因此，所求的面积是10M3
11、=30(cm2).【答案】30【例13】求图中阴影部分的面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图，连接BD,可知阴影部分的面积与三角形BCD的面积相等，即为 -x-xi2xi2=36.2 2【答案】36【例14】求如图中阴影部分的面积.(圆周率取3.14)90s,则阴影部分转化为四分之一圆减去【考点】圆与扇形【难度】2星【题型】解答 【解析】可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为1父兀父42 -父4父4 = 4.56 .42兀取近似值22 .7【答案】4.56【巩固】如图，四分之一大圆的半径为7,求阴影部分的面积，其中圆周率【考
12、点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求.因为四分之一大圆的半径为7,所以其面积为：1212 2277 黑兀之一7 7 黑=38.5 .4471四分之一大圆内的等腰直角二角形ABC的面积为1x7x7 =24. 5所以阴影部分的面积为238.5 - 24.5 14【答案,14【例15】求下列各图中阴影部分的面积.10【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】在图（1）中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10,高为5的三角形，利用三角形面积公式可110以求得 Sg影=M10
13、M =25；22在图（2）中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b,宽为a的长方形，利用长方形面积公式可以求得时影=a Mb =ab .【答案】25, ab【巩固】求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为cm ,圆周率按3计算）：(4)【考点】圆与扇形【解析】4.5【答案】4.51.51.5【例16如图,（6）【题型】解答4.54.5FA=AD=DE=1,求阴影部分的面积.（取汽=3）ABCD是正方形，且WNAD【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再
14、来考虑，可能会有新的发现.由于对称性，我们可以发现，弓形 BMF的面积和弓形 BND的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图形BDWC的面积.因为 ABCD是正方形，且 FA=AD=DE=1,则有CD = DE .那么四边形 BDEC 为平行四边形，且/ E=45。.我们再在平行四边形BDEC中来讨论，可以发现不规则图形BDWC和扇形 WDE共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积=平行四边形BDEC-扇455形 DEW=1M1x 兀勺2 =5 .3608方法二：先看总的面积为 1的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总4面积扣除一个等腰直角三角形，
15、一个1圆，一个45口的扇形.那么最终效果等于一个正方形扣除一4个45调扇形.面积为 俨1_1父3父12 =5.888【巩固】求图中阴影部分的面积 （单位：cm）.2【考点】圆与扇形【难度】2星【题型】解答【解析】从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积， 所以阴影部分面积为 1父化+4)乂3 =9cm2 .【答案】9【例17如图，长方形 ABCD的长是8cm,则阴影部分的面积是 cm2.(n=3.14)【考点】圆与扇形【难度】2星【题型】填空【解析】阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以 可.长方形的长等于两个圆直径，宽等于1个圆直径，所
16、以右图的阴影部分的面积等于：28X8-2 一(8 + 2 + 2 )父兀父2 =6.88所以左图阴影部分的面积等于6.88;2=3.44平方厘米.【答案】3.44【例18如图所示，在半径为 4cm的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A与其它部分面积 B之差(大减小)是 cm2.3星【题型】填空【关键词】西城实验，期末考试 【解析】如图，将圆对称分割后,B与A中的部分区域能对应， B仅比A少了一块矩形，所以两部分的面积差为：(2父2 (1 22 )=8cm2.【答案】8 【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人.但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块.现甲取、两块，乙取
17、、两块.如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？【考点】圆与扇形2cm3cm5cm7.5cmcm3cm7.5cm5cm2cn2 cm【难度】3星【题型】解答(53)M(7.52) =2M5.5=11(cm2),而原本应是两【解析】如右上图所示，的面积与I的面积相等，的面积等于与n的面积之和.可见甲比乙多拿的部分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为：人平分，所以甲应付给乙：X1000 =5500（元）.2【答案】5500【难度】3星【例【考点】圆与扇形【题型】解答【解析】看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积, 因为阴影部分
18、非常不规则，无法入手.这样，平移和旋转就成了我们首选的方法.20cmAB的长度未知.单独求（法1）我们只用将两个半径为 10厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积之和即可，其中、面积相等.易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边AC部分面积不易，于是我们将、部分平移至一起，如右下图所示，则、部分变为一个以为直角边的等腰直角三角形，而 AC为四分之一圆的半径，所以有AC = 10.两个四分之一圆的面积和为150,而、部分的面积和为 1父10父10=50 ,所以阴影部分的面积为 150-50 = 100（平方厘2米）.（法2）欲求图中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180。，使
19、A与C重合,从而构成如右图的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.121所以阴影部分面积为一黑冗父10 -一父10父10 =100 （平万厘米）.D【例20如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以 BC为边向内侧作等边三角形, 分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧.求阴影部分面积.（n=3.14）【关键词】 走美，决赛【解析】根据题意可知扇形的半径 r恰是正方形的对角线，所以r2 =32X2=18,如右图将左边的阴影翻转右11一一 一一边阴感;下郃， 时影=S扇形一S卯叶=一父18兀一2（一父18兀一3父3） =18 3n=8.5834【答案】8.58