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1、 等腰、直角三角形存在性问题 1 专题六：二次函数之等腰直角存在性问题专题六：二次函数之等腰直角存在性问题 一、一、解题策略分析解题策略分析 二次函数之等腰、 直角三角形存在性问题， 主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰或直角三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用. （一）（一）涉及主要知识点：涉及主要知识点： 1.已知 A、B 两点，通过“两圆一线” （所谓两圆是指分别以 A、B 两点为圆心，AB 长度为半径所作的圆；一线是指 AB 的垂直平分线）可以找到所有满足条件的等腰三角形.
2、即以即以 AB 为边的等腰三角形的另一个顶点的轨迹是为边的等腰三角形的另一个顶点的轨迹是 除除 P、 A、C、B、 Q 五点五点外的外的 “两圆一线”“两圆一线” （如图（如图 1） . 2.已知 A、B 两点，通过“两线一圆” （所谓的两线是指过已知边 AB 的两个端点所作的与 AB 垂直的两条直线；一圆就是以已知边 AB 为直径，以 AB 的中点为圆心所作的圆）可以找到所有满足条件的直角三角形. 即以即以 AB 为边的为边的直角直角三角形的另一个顶点的轨迹是三角形的另一个顶点的轨迹是 除除 A、B 两两点外的“两点外的“两线线一一圆圆” （如图（如图 2）. 图 1 QPNCMAB 图 2
3、 OAB 等腰、直角三角形存在性问题 2 （二）（二）关于等腰三角形存在性问题解题策略分析关于等腰三角形存在性问题解题策略分析 （三）（三）关于直角三角形存在性问题解题策略分析关于直角三角形存在性问题解题策略分析 两圆 一线 等腰三角形存在性问题 分类 讨论 确定点的位置 等腰三角形性质 腰长相等 底角相等 三线合一 两点间距离公式 AB=AC AB=BC AC=BC （算出结果后， 一定要检验三角形的存在性， 舍去图 1 中的所谓的五个点） （算出结果后， 一定要检验三角形的存在性， 舍去图 2 中的所谓的两个点） 两线 一圆 直角三角形存在性问题 分类 讨论 确定点的位置 两点间距离公式
4、222ABBCAC 222ABACBC 222ACBCAB 直角相关模型 构造一线三直角模型 构造子母直角三角形模型 等腰、直角三角形存在性问题 3 二、典型例题分析 （2019.4 嘉定区二模） 在平面直角坐标系xOy中， 如图， 抛物线cxaxy22（a、c是常数） 经过点)3 , 2(A、)0 , 3(B，与y轴的交点为点C （1）求此抛物线的表达式； （2）点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为 15， 求线段CD的长度； （3）设点 Q 为 x 轴一个动点， 当BQC为等腰三角形时，求点 Q 的坐标 （改编）（改编） （4）设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点， 当BPC为
5、直角三角形时，求点P的坐标 （5）设点S为抛物线上的一个动点， 当BSC为以BC为直角边的直角三角形时，求点S的坐标 （改编）（改编） 分析：分析： （1）抛物线的表达式是322xxy. （2）33CD或333. （3）根据“两圆一线”法，可知符合条件的点有 4 个： O 1 1 x y -1 -1 等腰、直角三角形存在性问题 4 【思路一：两点间距离公式思路一：两点间距离公式】 【方法方法 1 1】设点Q为)0 ,( m, 0 , 3-B,(0,3)C, 得182BC，223 mBQ，922 mCQ， 分 3 种情况讨论： 当22BQBC 时，即：1832m，解得： 23-3,23321mm
6、； 当22QCQB 时，即：9322mm，解得： 0m； 当22CQCB 时，即：1892m，解得： 3, 321mm； 经检验, 0 , 3无法与点B、点C构成三角形，不符合题意，故舍去. 从而求得点Q的坐标为： 0 ,233或33 2,0 或 ）或 0 , 0或 0 , 3. 【思路二：等腰三角形的性质思路二：等腰三角形的性质】 【方法方法 2 2】同方法 1，分 3 种情况讨论： 当BQBC 时， 0 , 3-B，3 2BQBC， 得点133 2,0Q 或233 2,0Q ； 当QCQB时，,BCxQ作垂直平分线交 轴于点Q易证点 与原点重合，得3Q 0 , 0； 当BCQC时，由等腰三
7、角形“三线合一” 的性质可得：QOBO ，得4Q 0 , 3. 从而求得点Q的坐标为：Q 0 ,233或 0 ,23-3或 0 , 0或 0 , 3. 【说明说明】方法 1 利用“两点间距离公式”体现数形结合思想，该方法思路简单，但有一定的计算量；方法 2 利用“等腰三角形的性质”解题，需要学生熟练掌握几何知识. Q2Q1Q4BCQ3yx 等腰、直角三角形存在性问题 5 （4）根据“两线一圆”法，可知符合条件的点有 4 个： 【思路一：两点间距离公式思路一：两点间距离公式】 【方法方法 1 1】易得对称轴:直线1x，设), 1(tP ，(0,3)C，( 3,0)B 218BC ，2222( 1
8、 3)4PBtt ，2222( 1)(3)610PCttt ， 若点B为直角顶点， 则222BCPBPC即：22184610ttt解得：2t ， 若点C为直角顶点， 则222BCPCPB即：22186104ttt解得：4t ， 若点P为直角顶点，则222PBPCBC即：22461018ttt解得： 13172t，23172t. 综上所述P的坐标为：( 1, 2) 或( 1,4)或317( 1,)2或317( 1,)2. 【思路二：直角相关模型思路二：直角相关模型】 【方法方法 1 1】同方法 1，分 3 种情况讨论： 若点B为直角顶点，则可构造如右图所示的“一线三等角” 模型， 设), 1(t
9、P ， 易得： 3MC， 3MB，2NP ,由NPMBBNMC可得2BN ，得-2, 1-P； 等腰、直角三角形存在性问题 6 第、种作图如下，解法同上. （5）若题中BSC为直角三角形，根据“两线一圆”法，符合条件的点有 4 个. 但本题“以BC为直角边” ，所以符合条件的点有 2 个： 21,SS. 【思路一：两点间距离公式思路一：两点间距离公式】 【方法方法 1 1】由抛物线322xxy，设),(wnS，且322nnw， 又点C的坐标是)3 , 0(，点B的坐标是)0 , 3( 218BC ，222)3(wnSB，222)3(wnSC， 若点C为直角顶点，则222BCSCSB即：18)3
10、()3(2222wnwn，解得：1, 021nn，得)4 , 1(),3 , 0(21SS. 若点B为直角顶点，则222BCSBSC即：18)3()3(2222wnwn， 当点C为直角顶点时 ( 1,4)P 当点 P 为直角顶点时 317( 1,)2P 当点 P 为直角顶点时 317( 1,)2P 等腰、直角三角形存在性问题 7 解得：3, 221nn， 得)0 , 3(),5, 2(43SS.经检验，),3 , 0(1S)0 , 3(4S不符合题意，应舍去.综上所述的S坐标为)4 , 1(或)5, 2( . 【思路思路二二：直角相关模型直角相关模型】 【方法方法 2 2】同方法 1，分 3
11、种情况讨论： 若点C为直角顶点，则可构造“一线三等角”相似模型 设2( ,23)S nnn，易得： 3OCOB,2,2SWn WCnn 由SWOCCWOB可得1, 021nn，得12(0,3),( 1,4)SS ； 若点B为直角顶点，则可构造“一线三等角”相似模型 同理可得)0 , 3(),5, 2(43SS； 经检验，),3 , 0(1S)0 , 3(4S不符合题意，应舍去. 综上所述S的坐标为)4 , 1(或)5, 2( . 【说明】方法 1 利用“两点间距离公式”体现数形结合思想，该方法思路简单，但如果点在抛物线上，计算量明显大很多.设S点坐标时引入两个参数，在计算过程中适当化简，可避免
12、出现四次运算，否则计算量会更大；方法 2 利用“一线三等角”相似模型解题，需要学生熟练掌握运用该模型.对本题而言方法 2 更为方便。 另当BC作为斜边时的直角三角形，由于用方法 1 的计算必然会涉及到四次幂运算， 在此不作考虑； 但利用方法 2， 计算量会大大减少， 较为方便 （如下图） 。 22215,323215 55(,)22nnnnnnnS 得则 22215,323215 55(,)22nnnnnnnS 得则 等腰、直角三角形存在性问题 8 三、三、精选练习巩固精选练习巩固 1.（2016.4 崇明区二模） （本题满分 12 分，其中每小题各 4 分） 已知，一条抛物线的顶点为( 1,
13、 4)E ，且过点( 3,0)A ，与轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且31m ，过点D作DKx轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H （1）求这条抛物线的解析式； （2）求证：GHHK； （3）当CGH是等腰三角形时，求m的值 2.（2018.4 闵行区二模） （本题满分 12 分，其中每小题各 4 分） 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线22yaxxc 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0） ，与 y 轴相交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标； （2）求证：DAB=ACB； （3）点 Q 在抛物线上，且ADQ 是以 AD
14、 为 底的等腰三角形，求 Q 点的坐标 y（第 24 题图） y x O K A C H G D E B （备用图） y x O A C E B A B O C x y D 等腰、直角三角形存在性问题 9 第 24 题图 yxBAO3.（2017.4 金山、长宁、青浦区二模） （本题满分本题满分 12 分）分） 已知OAB在直角坐标系中的位置如图， 点A在第一象限， 点B在x轴正半轴上， OA=OB=6， AOB=30. （1）求点 A、B 的坐标； （2）开口向上的抛物线经过原点 O 和点 B，设其顶点为 E，当OBE 为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式； （3）设半径为 2 的P 与直线
15、 OA 交于 M、N 两点，已知 MN=32， P(m，2） （m0),求 m 的值. 4. （2015.4 松江区二模） （本题满分 12 分，每小题各 4 分） 如图，二次函数bxxy2的图像与x轴的正半轴交于点 A（4，0） ，过 A 点的直线与 y 轴的正半轴交于点 B， 与二次函数的图像交于另一点 C， 过点 C 作 CHx 轴， 垂足为 H 设二次函数图像的顶点为 D，其对称轴与直线 AB 及x轴分别交于点 E 和点 F （1）求这个二次函数的解析式； （2）如果 CE=3BC，求点 B 的坐标； （3）如果DHE 是以 DH 为底边的等腰三角形，求点 E的坐标 （第 24 题图）
16、 A B x y O F E D C H 等腰、直角三角形存在性问题 10 5. （2015.4 普陀区二模） （本题满分 12 分） 如图 10，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点1,0A ，4,0B，0,2C 点D是点C关于原点的对称点， 联结BD， 点E是 x 轴上的一个动点， 设点E的坐标为(m, 0)，过点E作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点P （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点E在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点Q当四边形CDQP是平行四边形时，求 m 的值； （3）是否存在点P，使BDP是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由 图 10 备用图 CABOxy图 10 CABOxy