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1、第 1 页 共 7 页初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公
2、因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用写出结果三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项
3、都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=每组之间还有公因式！=思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=原式=第 2 页 共 7 页练习：分解因式1、2、（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=例4、分解因式：解：原式=
4、注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、4、综合练习： （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点： （1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由 于 6=2 3=(-2) (-3)=1 6=(-1) (-6) ，从 中 可 以 发 现 只 有 2 3 的 分 解 适 合 ，即 2+3=5 。12解：=13=12+13=5第 3 页 共 7 页用此方法进行分解的关键：将常数项
5、分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式=1-1=1-6（-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1)(2)(3)练习6、分解因式(1)(2)(3)（二）二次项系数不为1的二次三项式条件： （1）（2）（3）分解结果：=例7、分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）= -11解：=练习7、分解因式： （1）（2）（3）（4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解：=练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数
6、不为1的齐次多项式例9、例10、1-2y把看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式=解：原式=练习9、分解因式： （1）（2）综合练习10、 （1）（2）（3）（4）（5）（6）第 4 页 共 7 页（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、主元法.例11、分解因式：5-2解法一：以为主元2-1解：原式=(-5)+(-4)= -9=1-(5y-2)=1(2y-1)=-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以为主元1-1解：原式=12=-1+2=1=2(x-1)=5-(x+2)=5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练
7、习11、分解因式(1)(2)(3)(4)六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。条件： （1），（2），即：，则例12、分解因式（1）（2）解： （1）应用双十字相乘法：第 5 页 共 7 页，原式=（2）应用双十字相乘法：，原式=练习12、分解因式（1）（2）七、换元法。例13、分解因式（1）（2）解： （1）设2005=，则原式=（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=设，则原式=练习13、分解因式（1）（2）（3）例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项
8、式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=设，则原式=（2）解：原式=第 6 页 共 7 页设，则原式=练习14、 （1）（2）八、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1）解法1拆项。解法2添项。原式=原式=（2）解：原式=练习15、分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）九、待定系数法。例16、分解因式分析： 原式的前3项可以分为， 则原多项式必定可分为解：设=对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=例17、 （1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。（2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设=则=第 7 页 共 7 页比较对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=（2） 分析：是一个三次式， 所以它应该分成三个一次式相乘， 因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设=则=，解得，=21练习17、 （1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。