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1、备战2018年高考之数学 解答题高分宝典 专题01 三角函数与解三角形（核心考点）文专题01三角函数与解三角形 核心考点一三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质是高考的热点，尤其是三角函数的奇偶性、周期性与单调性及对称性等性质(在考查时经常与诱导公式、三角恒等变换等相结合，解题时要充分利用三角函数的图象及性质，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解. 2,【经典示例】已知函数( fxxxxx,，2cossinsincos，,2,fx(1)求函数的单调递增区间; ，yfx,(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移，3,gygx,个单位，得到函数的图
2、象，求的值( ，,6,答题模板 第一步，化简:三角函数式的化简，一般化成的形式，即化为“一角、一次、一函yAxh,si(n),，数”的形式. ,x，第二步，整体代换:将看作一个整体，利用的性质确定条件. yxyx,sin ,cos ,x，第三步，求解:利用的范围求条件解得函数的性质，写出结果. yAxh,si(n),，第四步，反思:反思回顾，查看关键点、易错点，对结果进行估算，检查规范性. 2,1)【满分答案】( fxxxxx,，2cossinsincos，,2,，sin2cos22xx ,， ,，2sin22x,4,3kxkk,，,Z,2kxkk,，,22Z,由得 ，882421 3，所以的
3、单调递增区间是 fxkkk,，,Z.，,88，,(2)由(1)知， fxx,，2sin22，,4,把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图yfx,yx,，2sin2，,4,象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象， yx,，2sin2,312,gxx,，2sin2，所以， ,12,g,3所以( ,6,【解题技巧】此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为的形式，再结合yAxB,si(n),，正弦函数的性质研究其相关性质( yx,sin(1)已知三角函数解析式求单调区间: ?求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”;
4、?求形如或(其中0)的单调区间时，要视“x，”为一个整yAx,，sin(),yAx,，cos(),体，通过解不等式求解(但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错( (2)函数图象的平移变换解题策略: ?对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩yx,sinyAx,，sin(),yAx,，cos(),x,再平移，只要平移|个单位，都是相应的解析式中的x变为x?|，而不是x变为. ?注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 模拟训练 32fxxxx()3sincoscos,，1(已知函数. 2,yfx,()x,(1)当时，求函数的值域
5、; 632 ,x,gx()gxf()(),，,0(2)已知，函数，若函数在区间上是增函数，求的最大21236值. 3,3【答案】(1);(2). 12x,2,gxfx()()sin()2x,，,，x，,，,(2)，当时， 21233633363,gx(),0?在区间上是增函数，且， 362,2,2,，,，,，,kkkZ?， 3363222,5,，,，,2,kkZ,3,kkZ,3324即，化简得， ,，,112,kkZ，,，,2,kkZ,632,0?， 15,kk,Z?， 1212k,0,1?，解得， ,1因此，的最大值为. 核心考点二解三角形 解三角形是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判
6、断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，题目常常以文字加式子描述或以三角形图形为背景，结合所给平面图形的几何性质、正弦定理、余3 弦定理进行命题.解题时要掌握正、余弦定理及其三角恒等变换的灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用. 【经典示例】在中，分别是角的对边，. ?ABC2coscos0bcAaC,abc,ABC,，(1)求角的大小; Aa,2S(2)若，求?ABC的面积的最大值. 答题模板 第一步，定条件:即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向. 第二步，定工具:即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步，求结果.
7、 第四步，再反思:在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路:一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形. 1)因为2coscos0bcAaC,， 【满分答案】(，2coscoscos0bAcAaC,所以， 2sincossincossincos0BACAAC,2sincossin0BAAC,，,由正弦定理得，即， ，ACB，,又， sinsinACB，,所以， ，sin2cos10BA,所以， ，sin0B,?ABC在中， 12cos10A,cosA,所以，即， 2A,0,A,由得( ，313cosA,(2)由，得. sinA,2222222abcbc
8、Abcbc,，,，,2cos由余弦定理得:， 42,bcbcbc?， 4 133bc,?，当且仅当时“”成立，此时为等边三角形， ?ABC,SbcAbc,，,sin43244S?的面积的最大值为( ?ABC3【解题技巧】(1)利用正、余弦定理求边和角的方法: ?根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置( ?选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题(一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. ?在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角
9、形内角和定理的应用( (2)求三角形面积的方法: ?若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解( ?若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键( 模拟训练 ?ABCsin223cos()cos()BBB,，,2(在锐角中，角的对边分别为，已知. ABC,abc,44B(1)求角的大小; 3b,1?ABC?ABC(2)若，的面积为，求的周长( 233，B,【答案】(1);(2). 6cos20B,因为， 5 所以， tan23B,因为， 0,B2所以. B,6222
10、22(2)由余弦定理，得， bacacB,，,2cos12cos,，,acacB22所以13,，,acac， 3?ABC因为的面积为， 213ac,23所以，即， acsin,26222所以ac，,7， 22所以， ()743(23)ac，,，,，ac，,，23所以， ?ABCabc，,，3333，所以，即的周长为( 核心考点三三角函数与解三角形的综合问题 高考中常将解三角形与三角函数的图象与性质两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等，其中常涉及三角恒等变换、向量等，且以此为出发点考查三角函数的图象与性质或解三角形，也是解决三角函数与解三角形问题的基础，
11、必须熟练掌握. u,sin,cosxxv,，,6sincos,7sin2cosxxxxfx,uv【经典示例】已知向量，设函数.将，fxgx函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象. ，24，gx(1)若，求函数的值域; x,，,122，,?ABCa,23gA,，262(2)已知abc,分别为中角ABC,的对边，且满足，A,0,，,2,b,2?ABC，求的面积. 6 答题模板 第一步，化条件:根据向量运算将向量式转化为三角式. 第二步，化三角式:三角函数式的化简，一般化成的形式，即化为“一角、一次、一yAxh,si(n),，函数”的形式. 第三步，求解:利用的范围及条件解得函数的性质，写出结果.
12、 ,x，yAxh,si(n),，第四步，代换:利用角的关系与三角函数式进行转化代换并化简结果. 第五步，选工具:根据条件和所求，合理选择正、余弦定理求出最终结果. 第六步，反思:反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性. 【满分答案】(1)由题意，得fx,uv,，sin6sincosxxxcos7sin2cosxxx, ，22,，6sin2cos8sincosxxxx ,，4sin24cos22xx ,. ,，42sin22x,4,，,所以. gxx,，42sin22,，42sin22x，,3244,，因为， x,122，2，所以， 2,x,363，1,，所以， sin2,1x
13、,32,，gx,，222,422所以， ，,，222,422gx所以函数的值域为. ，gA,，262(2)因为， ，3,所以. sin2A,32,7 ,因为， A,0,2,2,所以. 2,A,333,所以，解得. 2A,A,3331所以. cosA,2222bca，,b,2又，且， a,23cosA,2bcc,4所以. 1?ABCSbcA,所以的面积. sin23?ABC2【解题技巧】此类问题是将向量、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形综合命题进行考查，解题时，只需从条件出发，由向量转化为三角函数，再转化为解三角形问题，其间只需熟练掌握向量的简单计算，三角函数的图象与性质的求解方法以
14、及解三角形的相关知识即可顺利解决. 模拟训练 23(已知函数( fxxxx()cos22sin2sin,，x,(1)将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，若，求函数的fx(2)gx()gx()6122值域; ?ABC(2)已知分别为锐角中角的对边，且满足，abc,ABC,bfAabA,，,2,()21,32sin?ABC求的面积( 33，0,3【答案】(1);(2). 38 ,22,x,?， 3635,x,x,gx()0,gx()3,当时，;当时，( minmax1212gx()0,3?函数的值域为( (2)由已知及正弦定理得:( 32sinabA,3sin2sinsinABA,3?，
15、sinB,2,0,B?， 2B,?， 3,2A,由得，从而， fA()21,，sinA,4226， 由正弦定理得:a,3，11266233?( SabC,，,sin2?ABC22343核心考点四三角函数与解三角形的实际应用 三角函数与解三角形模型在实际中的应用体现在两个方面:一是已知函数模型，利用三角函数或解三角形的有关知识解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数或解三角形模型，再利用三角函数或解三角形的有关知识解决问题，其关键是建模. AP1515:，,:BAC【经典示例】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北
16、偏东方向上，匀，2060:60:BPP速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角，已知山高23为千米. (1)船的航行速度是每小时多少千米, 10DD(2)若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向, 9 答题模板 第一步，分析:理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形); 第二步，建模:根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型; 第三步，求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解; 第四步，检验:检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解( PC?BCPtan2，,
17、PBCBC【满分答案】(1)在中， ，,:,PBCPC60,23BC?ABC在中， BCBACABC,，,:，,:,:,:2,15,18060120BCABAB2AB,，231由正弦定理得:,，解得， ，sinsinsin15sin45，:BACBCA2(31)，又,，6(31)， 13631，所以船的航行速度是每小时千米. ，1?BCDBDDBCBC,，,，,:,6(31)31,60,22)在(中， 622CDBCBDBCBDDBC,，,，,2cos6由余弦定理得:， CDBC2?BCD在中，由正弦定理得:, ,，,sinCDBsinsin2，DBCCDB，,:CDB4545:D所以，即山顶
18、位于处南偏东. 【解题技巧】解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题( 10 模拟训练 OC4(如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路，另一侧修建一条休闲大道，ODDBC它的前一段是函数的一部分，后一段是函数k,0yAx,，sin,ykx,，8,DFOC,(，,)，时的图象，图象的最高点为，垂足为F. x,84,A,00，,B5,3,23,(一)数与代数(1)求函数的解析式; yAx,，sin,，4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。OD
19、(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童游乐园PMFE，问点P落在曲线上何处时，儿童游乐园的面积最大, 二特殊角的三角函数值,44383,P【答案】(1);(2)点的坐标为时，儿童游乐园的面积最大. ,yx,sin,33363,(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.函数的增减性：,所以， 3d=r 直线L和O相切.83,故. yx,sin,363,83,x,4D4,4(2)在中，令，得， yx,sin，,363,初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；ODyxx,204从而曲路的方程为， ，cos11 22,ttPt,Stt,4设点，则儿童游乐园(矩形)的面积，则 04,t，,44,23t,， Stt,404，4对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；,4343,时，单调递增;时，单调递减， St,0StSt,0Stt,0,t,4，,33,43443所以时儿童游乐园(矩形)的面积最大，此时点的坐标为. P,t,333,d=r 直线L和O相切.12